5 放射モデル

放射加熱項 $Q_{rad,i,j}^{n}$ を正味放射フラックスから計算する際には 2 次中央差分を用いる.

$$Q_{rad,i,j}^{n} = Q_{rad,IR,i,j}^{n} + Q_{rad,NIR,i,j}^{n} + Q_{rad,dust,SR,i,j}^{n} + Q_{rad,dust,IR,i,j}^{n},$$ (51)

$$Q_{rad,*,i,j} = - \frac{g}{c_{p}} \frac{F_{*,net,i,j+\frac{1}{2}} - F_{*,net,i,j-\frac{1}{2}}} {\Delta P _{0,j}},$$ (52)

$$F_{*,net,i,j+\frac{1}{2}} = F_{IR,i,j+\frac{1}{2}}^{\uparr... ...d \Delta P_{0,j} = P_{0,j+\frac{1}{2}} - P_{0,j-\frac{1}{2}}.$$

以下, CO${}_{2}$ およびダストの放射フラックス計算の具体的な表現を示す. 放射フラックスは鉛直方向の半整数格子点上で評価する. 下付き添字 $m$ は波 数方向の差分を表す. 時間方向の差分を示す上付き添字は省略してある.

5.1 CO${}_{2}$ の放射

CO${}_{2}$ の放射フラックスは以下のように離散化して計算する.

$$F_{IR,i,j+\frac{1}{2}}^{\uparrow} = \sum _{m}\Delta \nu _{m}\left\{ \pi B_{\nu _{i},T_{sfc,i}}{\cal T}_{i}(0,z_{j+\frac{1}{2}}) \right.$$

$$\left. + \sum _{j'=1}^{j} \pi B_{\nu _{m},T_{i,j'}} \frac{ {\cal ... ...cal T }_{m}(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'-\frac{1}{2}}) } { \Delta z_{j'} } \right\},$$ (53)

$$F_{IR,i,j+\frac{1}{2}}^{\downarrow} = \sum _{m}\Delta \nu _{m}\left\{ \sum _{j'=j}^{J}\pi B_{\nu _{m},T... ...al T }_{m}(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'+\frac{1}{2}}) } { \Delta z_{j'} } \right\} ,$$ (54)

$$B_{\nu _{m},T_{i,j}} = \frac{1.19\times 10^{-8}\nu _{m}^{3}} {e^{1.4387\nu_{i}/T_{i,j}}-1},$$ (55)

$$T_{i,j} = \Pi _{0,j}(\theta _{i,j}+\Theta _{0,j})$$ (56)

透過関数, 透過幅, 光路長は以下のように離散化する.

$${\cal T}_{m}(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'+\frac{1}{2}}) = \exp... ...{*}(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'+\frac{1}{2}})/ \alpha ^{*}_{m}}},$$

$$u(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'+\frac{1}{2}}) = 1.67 g \vert P_... ...\alpha ^{*}_{m}=\alpha _{m} \frac{\overline{p}_{jj'}}{p_{0}},$$

$$P_{0,j+\frac{1}{2}} = 0.5(P_{0,j}+P_{0,j+1}), \quad \over... ...\frac{1}{2}}\vert} {u(z_{j+\frac{1}{2}},z_{j'+\frac{1}{2}})},$$

CO${}_{2}$ の近赤外放射フラックスは以下のように離散化して計算する.

$$F_{NIR,i,j+\frac{1}{2}}^{\downarrow} = \sum _{m}\Delta \nu ... ...{i}(z_{j+\frac{1}{2}},z_{J+\frac{3}{2}})\cos \zeta \right\}.$$ (57)

ここで光路長は以下のように計算される.

$$u(z_{j+\frac{1}{2}},z_{J+\frac{3}{2}}) = \frac{1.67 g \ve... ...{0,J+\frac{3}{2}} \vert} {\mbox{MAX}(\cos \zeta, \epsilon )}.$$

$\epsilon$ は除算例外を防ぐための微小量である.

5.2 ダストの放射

ダストの太陽放射フラックスは以下のように離散化して計算する.

$$F_{dif,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^{\uparrow} = F_{dif,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow} - \Delta \tau _{\nu_{m... ...frac{1}{2}}^{\uparrow} + F_{dif,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow}}{2} \right.$$

$$- \left. \gamma _{2,\nu_{m}}\frac{F_{dif,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}... ...ga}_{\nu_{m}}^{*} S_{0}e^{-\tau _{\nu_{m},j+\frac{1}{2}}^{*} /\mu_{0}} \right],$$ (58)

$$F_{dif,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\downarrow} = F_{dif,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^{\downarrow} + \Delta \tau _{\nu_... ...frac{1}{2}}^{\uparrow} + F_{dif,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow}}{2} \right.$$

$$- \left. \gamma _{1,\nu_{m}}\frac{F_{dif,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}... ...ga}_{\nu_{m}}^{*} S_{0}e^{-\tau _{\nu_{m},j+\frac{1}{2}} ^{*}/\mu_{0}} \right],$$ (59)

$$\Delta \tau _{\nu_{m}, j}= \frac{\overline{Q}_{e,\nu_{m}}}{... ...+\frac{1}{2}} = \sum _{j'=j+1}^{J+1}\Delta \tau _{\nu_{m},j'}.$$

ここで $\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\uparrow}=( F_{dif,\nu_{m},i,\frac{1}{2}}^{\uparrow}, ... ...,i,\frac{3}{2}}^{\uparrow},..., F_{dif,\nu_{m},i,J+\frac{1}{2}}^{\uparrow})^{T}$ のように表すと(58),()は形式的に以下のような行列表現にすることができる.

$$\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\uparrow} = \Dvect{A}\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\uparrow} + \Dvect{B}\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\downarrow} + \Dvect{R},$$ (60)

$$\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\downarrow} = \Dvect{C}\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\uparrow} + \Dvect{D}\Dvect{F}_{dif,\nu_{m}}^{\downarrow} + \Dvect{S}.$$ (61)

これらの式を反復法で解く. 各係数行列の成分は以下のように表される(ただし $0\leq j \leq J$).

$$\begin{eqnarray*} A_{jk} &=& \left\{ \begin{array}{cl} - \frac{1}{2}\Delta \t... ...}}^{*} /\mu_{0}} & j\leq J-1 \\ 0 & j=J \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

ダストの赤外放射フラックスの離散化はダストの太陽放射フラックスの場合と同 様に行う.

$$F_{IR,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^{\uparrow} = F_{IR,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow} - \Delta \tau _{\nu_{m}... ...\frac{1}{2}}^{\uparrow} + F_{IR,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow}}{2} \right.$$

$$- \left. \gamma _{2,\nu_{m}}\frac{F_{IR,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^... ...wnarrow}}{2} -2\pi (1-\tilde{\omega}_{\nu_{m}}^{*})B_{\nu_{m},T_{i,j}} \right],$$ (62)

$$F_{IR,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\downarrow} = F_{IR,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^{\downarrow} + \Delta \tau _{\nu_{... ...\frac{1}{2}}^{\uparrow} + F_{IR,\nu_{m},i,j-\frac{1}{2}}^{\uparrow}}{2} \right.$$

$$- \left. \gamma _{1,\nu_{m}}\frac{F_{IR,\nu_{m},i,j+\frac{1}{2}}^... ...wnarrow}}{2} +2\pi (1-\tilde{\omega}_{\nu_{m}}^{*})B_{\nu_{m},T_{i,j}} \right].$$ (63)

ここで $\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\uparrow}=(F_{IR,\nu_{m},i,\frac{1}{2}}^{\uparrow}, F_{... ...},i,\frac{3}{2}}^{\uparrow},..., F_{IR,\nu_{m},i,J+\frac{1}{2}}^{\uparrow})^{T}$ 等と表すと, (), ()も行列形式で表現することができる.

$$\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\uparrow} = \Dvect{A}\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\uparrow} + \Dvect{B}'\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\downarrow} + \Dvect{R}',$$ (64)

$$\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\downarrow} = \Dvect{C}\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\uparrow} + \Dvect{D}\Dvect{F}_{IR,\nu_{m}}^{\downarrow} + \Dvect{S}'.$$ (65)

ここで

$$\begin{eqnarray*} B'_{jk} &=& \left\{ \begin{array}{cl} 0 & j=k=1 \\ B_{jk}... ...\nu_{m}, T_{i,j}} & j\leq J-1 \\ 0 & i=N \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

である.