6 地表面熱収支モデル

地中の温度変化を計算する熱伝導方程式の離散化は時間方向には Clank-Nicolson 法, 空間方向には中心差分を用いて行う. 温度と格子間隔を整数格子点, 熱フ ラックスを半整数格子点で評価する. 鉛直方向の格子点数は $J'$ とし, 最下 層から $j=1,2,...J'$ とする. 最上層の温度 $T_{i,J'}$ が地表面温度 $T_{sfc,i}$ である.

$$\frac{T_{i,j}^{n+1}-T_{i,j}^{n}}{\Delta t} = \frac{\kappa}{4\Delta z_{j}} \left( \frac{T_{i,j+1}^{n+1} - T_{i,... ... - \frac{T_{i,j}^{n+1} - T_{i,j-1}^{n+1}} {\Delta z_{j}+\Delta z_{j-1}} \right.$$

$$+ \left. \frac{T_{i,j+1}^{n} - T_{i,j+1}^{n}} {\Delta z_{j+1}+\De... ...j}} - \frac{T_{i,j}^{n} - T_{i,j-1}^{n}} {\Delta z_{j}+\Delta z_{j-1}} \right).$$ (66)

ここで $\kappa = k_{g}/\rho _{g}c_{p,g}$ である. 時刻 $(n+1)\Delta t$ の 項を左辺に, 時刻 $n\Delta t$ の項を右辺にまとめると,

$$- \frac{\kappa \Delta t}{\Delta z_{j}} \frac{T_{i,j-1}^{n+1}} {\o... ...a t}{\Delta z_{j}} \frac{T_{i,j+1}^{n+1}} {\overline{\Delta z}_{j+\frac{1}{2}}}$$

$$= + \frac{\kappa \Delta t}{\Delta z_{j}} \frac{T_{i,j-1}^{n}} {\ove... ... t}{\Delta z_{j}} \frac{T_{i,j+1}^{n+1}} {\overline{\Delta z}_{j+\frac{1}{2}}}.$$ (67)

ここで $\overline{\Delta z}_{j+\frac{1}{2}}=(\Delta z_{j+1}+\Delta z_{j})/2$ とした. $\Dvect{T}^{n}=(..., T_{i,j}^{n}, T_{i,j+1}^{n}, T_{i,j+2}^{n}, ...)^{T}$ とすると, 行列式の形で

$$\Dvect{A}\cdot \Dvect{T}^{n+1} = \Dvect{B}\cdot \Dvect{T}^{n},$$ (68)

と表すことができる. ここで $\Dvect{A},\Dvect{B}$ はそれぞれ,

$$\begin{eqnarray*} && A_{jj}=4 + \frac{\kappa \Delta t}{\Delta z_{j}} \left( \f... ...t}{\Delta z_{i}} \frac{1}{\overline{\Delta z}_{i-\frac{1}{2}}}, \end{eqnarray*}$$

を要素に持つ $J'\times J'$ 行列である.

上端での境界条件と下端で断熱境界条件を考慮すると, (68)は

$$\Dvect{A}\cdot \Dvect{T}^{n+1} = \Dvect{B}\cdot \Dvect{T}^{n} + \Dvect{S}$$ (69)

となる. したがって

$$\Dvect{T}^{n+1} = \Dvect{A}^{-1} \cdot (\Dvect{B}\cdot \Dvect{T}^{n} + \Dvect{S}),$$ (70)

を解くことになる. ここで係数行列 $\Dvect{A},\Dvect{B}$ の第 1 行および第 $J'$ 行の対角要素は,

$$\begin{eqnarray*} && A_{11}=4 + \frac{\kappa \Delta t}{\Delta z_{1}} \left( \f... ... \left( \frac{1}{\overline{\Delta z}_{J'-\frac{1}{2}}} \right), \end{eqnarray*}$$

$\Dvect{S}$ は $J'$ 行列ベクトルで,

$$S_{j} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Delta t}{\rho _{... ...F_{IR,net} + H], & j=J' \\ 0, & j\neq J' \end{array}\right.$$

と表される.