C. 差分式の導出と誤差

appendix-c

ここでは交互格子を用いた場合の空間微分の差分式の導出と, その誤差につい てまとめる. 具体例としてフラックス格子点の変数 の, 格子点 上における 方向一階微分

の差分式と, その誤差を考える.

1 2 次精度中心差分

フラックス格子点 上の を 方向に だけずれたスカラー格子点 上の のテー ラー展開として表すと, 以下のようになる.

同様に, フラックス格子点 上の を のテーラー展開として表すと, 以下のようになる.

u_i(u),j のテーラー展開 u_i-1(u),j のテーラー展開 より,

これを変形すると 格子点上における の 方向一階微分の式 が得られる.

上式の 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 2 次精度中心差分の式

が得られる. このときの誤差の大きさは

となる.

2 4 次精度中心差分

2 次精度中心差分の式を求める際に用いたu_i(u),j のテーラー展 開, u_i-1(u),j のテーラー展開に加え, から 方向に だけずれたフラックス格子点での の値を のテーラー展開として求める.

u_i+1(u),j のテーラー展開 u_i-2(u),j のテーラー展開 より,

u_i,j の差分式1u_i,j の差分式2を行い の項を消去すると,

これを変形して 格子点上における の 方向一階 微分の式が得られる.

上式の 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 4 次精度中心差分式

が得られる. このときの誤差の大きさは

となる.