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3 支配方程式・力学過程

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0.3 はじめに

ここでは支配方程式を記し, 特に力学過程2について詳細を記す.

まず支配方程式の中で力学過程と認知される部分・項を示す. ついで各々の詳細を述べる.

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\setcounter{footnote}{2}\fnsymbol{footnote} 22 2% latex2html id marker 4820
\setcounter{footnote}{2}\fnsymbol{footnote} 22

0.4 支配方程式

ここでは支配方程式を順に示す. この方程式の詳細に関しては, Haltiner and Williams (1980) もしくは 第A章 を参照せよ.

0.4.1 連続の式


\begin{displaymath}
\frac{\partial \pi}{\partial t}
+ \Dvect{v}_{H} \cdot \na...
...Dvect{v}_{H}
- \frac{\partial \dot{\sigma}}{\partial \sigma}
\end{displaymath} (1)

0.4.2 静水圧の式


\begin{displaymath}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} = - \frac{RT_v}{\sigma}
\end{displaymath} (2)

0.4.3 運動方程式


\begin{displaymath}
\frac{\partial \zeta}{\partial t}
= \frac{1}{a(1-\mu^{2})...
...frac{\partial \mbox{\sl UA}}{\partial \mu}
+ {\cal D}(\zeta)
\end{displaymath} (3)


\begin{displaymath}
\frac{\partial D}{\partial t}
= \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\...
...ma}
( \Phi + R \bar{T} \pi + \mbox{\sl KE} )
+ {\cal D}(D)
\end{displaymath} (4)

0.4.4 熱力学の式


$\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\frac{\partial UT^{\prime}}{\partial \lambda}
- \frac{1}{a}
\frac{\partial VT^{\prime}}{\partial \mu}
+ T^{\prime} D$  
    $\displaystyle - \dot{\sigma}
\frac{\partial T }{\partial \sigma}
+ \kappa T \le...
...\sigma }
\right)
+ \frac{Q}{C_{p}}
+ {\cal D}(T)
+ {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v})$ (5)

0.4.5 水蒸気の式


$\displaystyle \frac{\partial q}{\partial t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\frac{\partial Uq}{\partial \lambda}
- \frac{1}{a}
\frac{\partial Vq}{\partial \mu}
+ q D$  
    $\displaystyle - \dot{\sigma} \frac{\partial q }{\partial \sigma}
+ S_{q}
+ {\cal D}(q)$ (6)

ここで,

$\displaystyle \theta$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle T \left( p/p_{0} \right)^{- \kappa}$ (7)
$\displaystyle \kappa$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle R/C_{p}$ (8)
$\displaystyle \Phi$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle gz$ (9)
$\displaystyle \pi$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \ln p_{S}$ (10)
$\displaystyle \dot{\sigma}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{d \sigma}{d t}$ (11)
$\displaystyle \mu$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \sin \varphi$ (12)
$\displaystyle T_v$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle T ( 1+\epsilon_v q )$ (13)
$\displaystyle U$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle u \cos \varphi$ (14)
$\displaystyle V$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle v \cos \varphi$ (15)
$\displaystyle \zeta$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{a ( 1-\mu^{2} ) }
\frac{\partial V}{\partial \lambda}
- \frac{1}{a} \frac{\partial U}{\partial \mu}$ (16)
$\displaystyle D$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{a ( 1-\mu^{2} ) }
\frac{\partial U}{\partial \lambda}
+ \frac{1}{a} \frac{\partial V}{\partial \mu}$ (17)
$\displaystyle \mbox{\sl UA}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle ( \zeta + f ) V
- \dot{\sigma} \frac{\partial U}{\partial \sigma}...
...me}}{a}
\frac{\partial \pi}{\partial \lambda}
+ {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi$ (18)
$\displaystyle \mbox{\sl VA}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle - ( \zeta + f ) U
- \dot{\sigma} \frac{\partial V}{\partial \sigm...
...- \mu^{2} )
\frac{\partial \pi}{\partial \mu}
+ {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi$ (19)
$\displaystyle \mbox{\sl KE}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{U^{2}+V^{2}}{2(1-\mu^{2}) }$ (20)
$\displaystyle T$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \bar{T}(\sigma) + T^{\prime}$ (21)
$\displaystyle \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{u}{a \cos \varphi}
\left( \frac{\partial }{\partial \lambda...
...sigma}
+ \frac{v}{a}
\left( \frac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\sigma}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{U}{a ( 1 -\mu^{2} )}
\left( \frac{\partial }{\partial \lamb...
...)_{\sigma}
+ \frac{V}{a}
\left( \frac{\partial }{\partial \mu} \right)_{\sigma}$ (22)
$\displaystyle \nabla^{2}_{\sigma}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{a^{2}(1-\mu^{2})}
\frac{\partial^{2} }{\partial \lambda^...
...ial }{\partial \mu}
\left[ (1-\mu^{2})
\frac{\partial }{\partial \mu} \right] .$ (23)

ただし, ${\cal D}(\zeta), {\cal D}(D), {\cal D}(T), {\cal D}(q)$ は水平拡散項であり, 3.3 で説明される. ${\cal F}_\lambda, {\cal F}_\varphi$ は小規模運動過程による力である. $Q$ は放射, 凝結, 小規模運動過程等による加熱・温度変化, $S_q$は凝結, 小規模運動過程等による水蒸気ソース項, ${\cal D}' (\Dvect{v})$ は摩擦熱である.

0.4.6 境界条件

鉛直流に関する境界条件は

\begin{displaymath}
\dot{\sigma} = 0 \ \ \ at \ \ \sigma = 0 , \ 1 .
\end{displaymath} (24)

である. よって(3.1) から, 地表気圧の時間変化式と $\sigma $系での鉛直速度$\dot{\sigma}$を求める診断式
\begin{displaymath}
\frac{\partial \pi}{\partial t}
= - \int_{0}^{1} \Dvect{v}...
...cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma
- \int_{0}^{1} D d \sigma ,
\end{displaymath} (25)


\begin{displaymath}
\dot{\sigma}
= - \sigma
\frac{\partial \pi}{\partial t}...
...^{\sigma}
\Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma ,
\end{displaymath} (26)

が導かれる.

ただし熱的境界条件については [*] 章において記述する. 2% latex2html id marker 4906
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3

0.5 水平拡散項

0.5.1 波数依存型

水平拡散項は, 次のように$\nabla^{N_D}$の形で計算されるのが普通である.

\begin{displaymath}
{\cal D}(\zeta) = - K_{HD}
\left[ (-1)^{N_D/2} \nabla^{N_D}
- \left( \frac{2}{a^2} \right)^{N_D/2}
\right]
\zeta ,
\end{displaymath} (27)


\begin{displaymath}
{\cal D}(D) = - K_{HD}
\left[ (-1)^{N_D/2} \nabla^{N_D}
- \left( \frac{2}{a^2} \right)^{N_D/2}
\right]
D ,
\end{displaymath} (28)


\begin{displaymath}
{\cal D}(T) = - (-1)^{N_D/2} K_{HD} \nabla^{N_D} T ,
\end{displaymath} (29)


\begin{displaymath}
{\cal D}(q) = - (-1)^{N_D/2} K_{HD} \nabla^{N_D} q .
\end{displaymath} (30)

この水平拡散項は計算の安定化のための意味合いが強い. 小さなスケールに選択的な水平拡散を表すため, $N_D$としては, 4$\sim$16を用いる.

0.5.2 波数非依存型

水平拡散を波数に依存しない一様な値にすることもできる. 詳細省略.

0.6 文献

Haltiner, G.J. and Williams, R.T., 1980: Numerical Prediction and Dynamic Meteorology (2nd ed.). John Wiley & Sons, 477pp.



... 特に力学過程2
力学過程という単語が適切かどうかは不明である. 実態は, モデルにおいて各格子点で計算されない部分を指す.
...P3
(2005/4/4 石渡) 力学過程という節が昔存在していたが, 必要か???

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Morikawa Yasuhiro 平成17年11月22日