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B. 乱流パラメタリゼーション

B.1 サブグリッドスケールの運動エネルギー方程式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. 1.5 次のクロージャーでは, 乱流運動エネルギーの時間発展方 程式を,

$\displaystyle \DD{E}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle B + S + D_{E}
- \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
E^{\frac{3}{2}}.$ (B.1)

とする. 但し $l$ は混合距離であり $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする. $B$$S$ は それぞれ浮力と流れの変形速度による乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エ ネルギー拡散項, 第 4 項は乱流エネルギーの消散項であり,
$\displaystyle B$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{g_{j}}{\overline{\theta}}
\overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,$  
$\displaystyle S$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
\DP{u_{i}}{x_{j}} ,$  
$\displaystyle D_{E}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right)$ (B.2)

である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.
$\displaystyle \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
+ \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E$ (B.3)
$\displaystyle \overline{u_{j}^{\prime} \theta }$ $\textstyle =$ $\displaystyle K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}$ (B.4)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数であり, $E$ はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数である. $K_{m}$, $K_{h}$$E$ を用いて以下のように与えられる.
$\displaystyle K_{m}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_{m} E^{\frac{1}{2}} l,$ (B.5)
$\displaystyle K_{h}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 3 K_{m}.$ (B.6)

(B.1) 式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネルギー生成項は,

$\displaystyle B$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{g_{j}}{\overline{\theta}}
\overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{g}{\overline{\theta}}
\overline{w^{\prime} \theta^{\prime}} ,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{g}{\overline{\theta}}
\left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)$ (B.7)

である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は,
$\displaystyle S$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
\DP{u_{i}}{x_{j}} ,$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \left\{
- K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E
\right\}
\DP{u_{i}}{x_{j}},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{
K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
- \frac{2}{3} \delta_{ij} E
\right\}
\DP{u_{i}}{x_{j}},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{
K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right)
- \frac{2}{3} \delta_{1j} E
\right\}
\DP{u}{x_{j}}$  
    $\displaystyle +
\left\{
K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right)
- \frac{2}{3} \delta_{3j} E
\right\}
\DP{w}{x_{j}},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{
2 K_{m} \left(\DP{u}{x} \right)
- \frac{2}{3} E
\right\}
\DP{u}{x}
+
K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right)
\DP{u}{z}$  
    $\displaystyle +
K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)
\DP{w}{x}
+
\left\{
2 K_{m} \left(\DP{w}{z} \right)
- \frac{2}{3} E
\right\}
\DP{w}{z},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 2 K_{m} \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}
+ K_{m}
\left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$ (B.8)

である. 乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は,
$\displaystyle D_{E}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right),$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)
+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)$ (B.9)

である. 以上の (B.7), (B.8), (B.9) 式を (B.1) 式 に代入することで以下の式を得る.
$\displaystyle \DD{E}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{g}{\overline{\theta}}
\left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)$  
    $\displaystyle + 2 K_{m} \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z}...
...{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
- \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)
+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)$  
    $\displaystyle - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
E^{\frac{3}{2}}.$ (B.10)

さらに (B.10) 式を (B.5) 式を用いて $K_{m}$ に関する式 に変形する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと,

$\displaystyle \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right)$ $\textstyle +$ $\displaystyle \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
\Biggl\{\DP{}{x}
\left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right)
+ \DP{}{z}
\left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right)
\Biggr\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
\Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \D...
...{2}}{x}
+ K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
+ \DP{K_{m}}{z}
\DP{K_{m}^{2}}{z}
\Biggr\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]...
...Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\Biggr\}$  

となるので, (B.10) 式を変形すると,
$\displaystyle \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \DD{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{g}{\overline{\theta}}
\left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)...
...m} \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + K_{m}
\left(\DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2}
- \frac{2}{3} \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[...
...Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\Biggr\}$  
    $\displaystyle - \frac{C_{\varepsilon}}{C_{m}^{3} {l}^{4}}
K_{m}^{3}$  
$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
\right)
- \frac{g C_{m...
...} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \frac{K_{h}}{K_{m}}
\left(\DP{\theta}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2}
- \frac{K_{m}}{3}
\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)
+ \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2}$  

となり, ここで $C_{m} = C_{\varepsilon} = 0.2$ $K_{h} = 3 K_{m}$ という 関係を用いると,
$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
\right)
- \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}}
\left(\DP{\theta}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
- \frac{K_{m}}{3}
\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)
+ \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$ (B.11)

となる.


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Odaka Masatsugu 平成18年10月19日