Subsections
空間離散化された運動方程式空間離散化された x 方向運動方程式,
空間離散化された z 方向運動方程式と圧力方程式
空間離散化された圧力方程式を時間方向に離散化する.
音波に関連する項は短いタイムステップ 1#1 で離散化し, その他
の項は長いタイムステップ 4#4 で離散化する. 音波に関連する項の離
散化には HE-VI 法を採用し, 2#2 の式は前進差分, 105#105 の式は後退差分
(クランク・ニコルソン法)で離散化する. その他の項の離散化にはリープフロッ
グ法を用いる. 離散化した式の計算はまず 2#2 の式から行う. 得られた
106#106 の 2#2 を用いて 107#107 を計算し, 108#108 を用いて
109#109 を計算する.
運動方程式の各項のうち, 音波に関係しない項を 110#110 として
まとめると, 運動方程式と圧力方程式は以下のように書ける.
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111#111 |
(56) |
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112#112 |
(57) |
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113#113 |
(58) |
ただし 6#6 の式には音波減衰項 114#114 を加えてある
(Skamarock and Klemp, 1992).
音波に関連しない項 115#115 は,
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116#116 |
(59) |
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117#117 |
(60) |
であり, 時刻 118#118 で評価することにする.
但し, 中心差分でリープフロッグ法を用いるため, 数値粘性項 Diff を追加して
ある.
uwpi:u を時間方向に離散化すると以下のようになる.
HE-VI 法を用いるので, 109#109 と 107#107 の式を連立して解く. 109#109 の式におい
て音波減衰項は前進差分, 圧力項は後退差分で離散化する. 107#107 の式にお
いて水平微分項はuwpi:u_sabunで求めた
120#120
を用いて離散化し, 鉛直微分項は後退差分で離散化する.
| 121#121 |
52#52 |
122#122 |
|
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123#123 |
(62) |
| 124#124 |
52#52 |
125#125 |
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126#126 |
|
| 127#127 |
|
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(63) |
但し
| 128#128 |
52#52 |
129#129 |
|
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130#130 |
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|
131#131 |
(64) |
である.
uwpi:pi_sabun 式に uwpi:w_sabun を代入して
132#132 を消去する.
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133#133 |
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52#52 |
134#134 |
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135#135 |
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136#136 |
(65) |
uwpi:sabun 式右辺を空間方向に離散化し,
格子点位置を表す添字を付けて表すと以下のようになる
(計算の詳細は appendix-a 参照).
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137#137 |
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138#138 |
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139#139 |
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140#140 |
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141#141 |
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142#142 |
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143#143 |
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但し平均場の量は鉛直方向にしか依存しないので 11#11 方向の添字のみ
付けてある.
上下境界を固定壁とする場合, 境界条件は上部下部境界で,
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144#144 |
(66) |
| |
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145#145 |
(67) |
である.
下部境界:
下部境界(146#146)について考える. この時 uwpi:w_sabun 式に
添字を付けて書き下すと,
| 147#147 |
52#52 |
148#148 |
|
| |
149#149 |
150#150 |
(68) |
となる.
したがって uwpi:sabun_ik 式は以下のようになる.
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151#151 |
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152#152 |
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52#52 |
153#153 |
|
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154#154 |
|
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155#155 |
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|
156#156 |
|
| 157#157 |
|
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(69) |
上部境界:
上部境界(158#158)について考える. この時 uwpi:w_sabun 式
を添字を付けて書き下すと,
| 159#159 |
52#52 |
160#160 |
|
| |
|
161#161 |
|
| |
149#149 |
162#162 |
(70) |
となる. したがって uwpi:sabun_ik 式は以下のようになる.
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163#163 |
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164#164 |
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| |
52#52 |
165#165 |
|
| |
|
166#166 |
|
| |
|
167#167 |
|
| |
|
168#168 |
|
| 169#169 |
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(71) |
uwpi:sabun_ik, uwpi:sabun_kabu,
uwpi:sabun_joubu 式を連立すると, 以下のような行列式の形式で書く
ことができる.
この連立方程式を解くことで 21#21 を求める. この連立方程式の係数は以下の
ように書ける.
| 172#172 |
52#52 |
173#173 |
|
| |
|
174#174 |
|
| 175#175 |
52#52 |
176#176 |
|
| 177#177 |
52#52 |
178#178 |
|
| 179#179 |
52#52 |
180#180 |
|
| |
|
181#181 |
|
| 182#182 |
52#52 |
183#183 |
|
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|
184#184 |
|
| 185#185 |
52#52 |
186#186 |
|
| |
|
187#187 |
|
| 188#188 |
52#52 |
189#189 |
|
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|
190#190 |
|
| |
|
191#191 |
|
| 192#192 |
52#52 |
193#193 |
|
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|
194#194 |
|
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195#195 |
|
ただし,
| 196#196 |
149#149 |
197#197 |
|
| 198#198 |
149#149 |
199#199 |
|
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200#200 |
|
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201#201 |
|
| |
|
202#202 |
|
| 128#128 |
149#149 |
129#129 |
|
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|
130#130 |
|
| |
|
203#203 |
|
である.
運動方程式の音波に関連しない項 uwpi:u, uwpi:w 式を
離散化する.
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|
204#204 |
(73) |
| |
|
205#205 |
|
| 206#206 |
|
|
(74) |
ここで, Adv は移流項, Turb は粘性拡散項, Buoy は浮力項,
Diff は数値粘性項である.
それぞれの項を書き下すと,
| 207#207 |
52#52 |
208#208 |
|
| |
|
209#209 |
(75) |
| 210#210 |
52#52 |
211#211 |
|
| |
|
212#212 |
(76) |
であり, 浮力項は,
| 213#213 |
52#52 |
214#214 |
|
| |
|
215#215 |
(77) |
であり, 粘性拡散項は,
| |
|
216#216 |
|
| |
52#52 |
217#217 |
|
| |
|
218#218 |
|
| |
|
219#219 |
(78) |
| |
|
220#220 |
|
| |
52#52 |
221#221 |
|
| |
|
222#222 |
|
| |
|
223#223 |
(79) |
である. 数値粘性項は,
| 224#224 |
52#52 |
225#225 |
(80) |
| 226#226 |
52#52 |
227#227 |
(81) |
である. 228#228 は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算し(詳細は後述),
229#229 は以下のように定める.
| 230#230 |
|
|
(82) |
| 231#231 |
|
|
(83) |
ここで
232#232 は水平・鉛直方向の格子間隔を意味し,
233#233 はそれぞれ,
とする
![[*]](footnote.png)
.
熱の式と混合比の保存式の右辺をまとめて 235#235 で表し,
時間方向にリープフロッグ法を用いて離散化する.
| 236#236 |
52#52 |
237#237 |
(85) |
| 238#238 |
52#52 |
239#239 |
(86) |
| 240#240 |
52#52 |
241#241 |
(87) |
| 242#242 |
52#52 |
243#243 |
(88) |
ここで,
| 244#244 |
52#52 |
245#245 |
|
| |
|
246#246 |
(89) |
| 247#247 |
52#52 |
248#248 |
|
| |
|
249#249 |
(90) |
| 250#250 |
52#52 |
251#251 |
|
| |
|
252#252 |
(91) |
| 253#253 |
52#52 |
254#254 |
|
| |
|
255#255 |
(92) |
である. 移流を中心差分で安定して解くために, 数値粘性項 Diff を追加してあ
る. また,
256#256 項は湿潤飽和調節法より決めるため,
それらの項を含めない.
257#257, 258#258, 259#259, 260#260 をまとめて 5#5 で表し,
それぞれの項を書き下す. 移流項は,
| 261#261 |
52#52 |
262#262 |
(93) |
であり, 基本場の移流項は,
である. 粘性拡散項は CReSS と同様に 1.5 次のクロージャーを用いることで,
| 264#264 |
52#52 |
265#265 |
|
| |
|
266#266 |
(95) |
となり, 基本場の粘性拡散項は,
| 267#267 |
52#52 |
268#268 |
(96) |
となる. 数値粘性項は,
| 269#269 |
52#52 |
270#270 |
(97) |
である. 271#271 は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算する(詳細は後述).
229#229 は nu 式を利用する.
凝縮加熱項 272#272 は
である.
散逸加熱項 274#274 は
と与える. ここで
276#276 である.
放射強制
277#277 は計算設定ごとに与える.
雲水から雨水への変換を表す 278#278, 279#279 は以下のようになる.
| |
|
280#280 |
(100) |
| |
|
281#281 |
(101) |
雨水の蒸発を表す 282#282 は以下のようになる.
降水による雨水フラックスを表す 284#284 は以下のように書ける.
| |
|
285#285 |
(103) |
| |
|
286#286 |
(104) |
Klemp and Wilhelmson (1978), CReSS ユーザーマニュアル(坪木と榊原, 2001)
では, 水蒸気と雲水の間の変換を表す
287#287 は,
Soong and Ogura (1973) において開発された
湿潤飽和調節法を用いている.
この方法は 288#288 の断熱線と,
289#289 の
平衡条件(290#290 は化学ポテンシャル)の交わる温度・圧力・組成を
反復的に求める数値解法である.
以下ではそのやり方を解説する.
湿潤飽和調節法を用いる場合,
まず始めに risan:time-div_theta - risan:time-div_qr
式から求まる量に 291#291 を添付し, 292#292,
293#293, 294#294, 295#295 とする.
水に対する過飽和混合比
が
297#297, もしくは雲粒混合比が 298#298 なら
ば, 次式を用いて暫定的に 257#257, 258#258, 259#259 を求める.
| 299#299 |
52#52 |
300#300 |
(106) |
| 301#301 |
52#52 |
302#302 |
(107) |
| 303#303 |
52#52 |
304#304 |
(108) |
ただし,
305#305 である.
もしも
306#306 ならば, 暫定的に得られた値を 291#291 付き
のものに置き換え, moistajst_theta1 - moistajst_qc1 式
の値が収束するまで繰り返し適用する.
Soong and Ogura(1973) によると, 通常高々数回繰り返せば収束し, 調整後の値
が得られるそうである.
もしも
307#307 の場合には,
| |
|
308#308 |
(109) |
| |
|
309#309 |
(110) |
| |
|
310#310 |
(111) |
とし, 繰り返しを中止する.
硫化アンモニウムの生成反応
のような, 2 種類の気体 1 モルづつから凝縮物質 1 モルが
生成されるような生成反応の場合の, 湿潤飽和調節法を考える.
硫化アンモニウムの生成反応の圧平衡定数は,
である. 圧平衡定数を用いることで, 任意の温度に対する
アンモニアと硫化水素のモル比の積を求めることができる.
任意の温度 313#313 における NH314#314SH の生成量を 315#315 とすると,
圧平衡定数の式は以下のように書ける.
解の公式を使うと, 生成量 X は以下となる.
根号の符号は
320#320 の場合にとりうる 315#315 の値を
仮定することで決める.
320#320 の場合, 明らかに
である. ここで木星大気を想定し,
322#322
であることを仮定すると
323#323 である. そこで
def_X_NH4SHの根号の符号は
320#320 のとき
323#323 となるよう, 負を選択する.
315#315 の満たすべき条件は,
である. 上記の条件を満たさない場合には 326#326 とする.
315#315 が NH4SH-condition 式の条件を満たすならば,
次式を用いて暫定的に 257#257, 258#258, 259#259 を求める.
| |
|
327#327 |
(119) |
| |
|
328#328 |
(120) |
| |
|
329#329 |
(121) |
| |
|
330#330 |
(122) |
ただし,
331#331 であり,
332#332 と
333#333 はそれぞれ,
生成量 315#315 に対応する NH334#334 と H335#335S の混合比である.
温位が収束するまで反復改良を行う.
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原篤志, 2001) と同様
に, 1.5 次のクロージャーを用いる. 乱流エネルギーの時間発展方程式
をリープフロッグ法を用いて時間方向に離散化すると, 以下のようになる.
ここで,
| 337#337 |
52#52 |
338#338 |
|
| |
|
339#339 |
(124) |
である. CReSS にならい, 移流項を 118#118 で,
移流項以外を 340#340 で評価した.
341#341 に含まれる各項は以下のように書き下すことができる.
| 342#342 |
52#52 |
343#343 |
(125) |
| 344#344 |
52#52 |
345#345 |
(126) |
| 346#346 |
52#52 |
347#347 |
|
| |
|
348#348 |
|
| |
|
349#349 |
|
| |
|
350#350 |
(127) |
| 351#351 |
52#52 |
352#352 |
|
| |
|
353#353 |
(128) |
| 354#354 |
52#52 |
355#355 |
(129) |
ここで
356#356,
混合距離
357#357 とする.
また 358#358 は以下で与えられる.
| 359#359 |
52#52 |
360#360 |
(130) |
| 359#359 |
52#52 |
361#361 |
(131) |
ただし,
| 362#362 |
52#52 |
363#363 |
(132) |
である.
リープフロッグ法を用いたことによって生じる計算モードの増幅を抑制するた
め, Asselin (1972) の時間フィルターを長い時間刻みで 1 ステップ計算する
毎に(実際には短い時間刻みの計算を
364#364 ステップ計算する毎に)適用する.
たとえばuwpi:u_sabunを用いて
365#365
を計算する場合, 以下のように時間フィルターを適用する.
| 366#366 |
52#52 |
367#367 |
|
| |
|
368#368 |
|
| 369#369 |
52#52 |
370#370 |
(133) |
ここで 371#371 はフィルターの係数であり, その値は 0.05 を用い
る. uwpi:w_sabun, uwpi:pi_sabunの計算に対しても同様
に時間フィルターを適用する.
境界面付近での波の反射を抑えるために, 基礎方程式の付加的な項を付け加える.
ただし, 5#5 は任意の予報変数であり, 373#373 は客観解析値等の既知の
値である. この項は1 つ前のタイムステップ 340#340 で計算され,
小さいタイムステップで扱われる予報変数に対しても,
移流項や数値粘性項と同様に 374#374 の大きなタイムステップ間の値とし
て評価される。具体的には,
| |
|
375#375 |
(135) |
| |
|
376#376 |
(136) |
| |
|
377#377 |
(137) |
| |
|
378#378 |
(138) |
とする. 但し 379#379 はエクスナー関数の基本場である.
380#380 はそれぞれ水平方向には各境界面に向かって, 鉛直
方向には上境界面に向かって小さくなる減衰係数である. これらの減衰係数は,
水平方向には吸収層の厚みを 381#381 とし, 7#7 の範囲を
382#382 とすれば,
| |
|
383#383 |
|
| |
|
384#384 |
|
| |
|
385#385 |
(139) |
であり, 鉛直方向には吸収層の厚さを 386#386 とし, 11#11 の範囲を
387#387 とすれば,
である. ここで,
390#390 はそれぞれ水平・鉛直方向の減衰定数
である.
390#390 は時間の逆数の次元を持ち, それらの逆数
391#391 は e-folding time と呼ばれる.
e-folding time は通常 100 - 300 s に設定する.
また吸収層の厚み 392#392 はそれぞれ, 水平方向には数格子分,
鉛直方向には上面から1/3 程度設定すれば良い.
Footnotes
- ...
とする
-
nu は CreSS のドキュメントにも現れるが, その導出方法は良く分か
らない.
Yamashita Tatsuya
2010-04-28
