地球流体電脳倶楽部

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地球流体セミナー

GeoFEM を用いた有限要素法による回転球殻における熱対流のシミュレーション

松井 宏晃 2000 年 08 月 22 日

記録ノート(by 小高正嗣)へ

そもそもの目標

有限要素法とは --- 物理量の離散化(おもみつき残差法)の一つの方法

• 空間全体, 直交関数系を用いる -> スペクトル法

  

• 局所的な関数を基底として用いたのが有限要素法

  

  

  支配方程式 -> 各要素での値に関する連立一次方程式になる.

• の形でしか意味が無い. u_a は 点 a での値と言うよりも とある基底関数の振幅という意味であるので, 関数展開のスペクトルと考える方が自然.

  の形を弱形式という.

• 簡単な例 : 1 次元, 3 次元(小高ノート) [1] [2] [3] [4]

• 有限要素法の特徴・利点
  • 要素関数を一次関数としても, 2 次の正確度を持つ(弱形式)

  • 用いる基底関数が局所的 --> 空間を分割して計算しやすい --> (スペクトルと比較して)並列計算向き
    しかしながら, 支配方程式は連立方程式なのだから 結局グローバルな問題を解かねばならない. そこでは有限要素法のメリットはない. 係数行列を計算するところは並列化のメリットがある.

  • 単純に考えると差分法の方が並列に向いていそう.
    そもそも局所的. 大域的に解く必要がない.

  • スペクトル法の利点
    特定の幾何学的形状に向いている.
    FFT が利用できる.

  • 結局のところ, いろんな形状に対応できるというのが 有限要素法の本来嬉しい点であろう.

• 精度と計算量
  要素の数に比例. 連立方程式を解くときにはもっと大変.

GeoFEM

• GeoFEM の全体構成
• GeoFEM Ver. 3.5 の公開版の内容
• 実行の流れ
• 必要な環境
• アーカイブファイルの入手
• インストール
• 領域分割の方法
• プログラムの実行方法

熱対流計算

• 球の分割[1],[2]
  最初三角形で分割. それを 3 つに分けて 6 面体を無理矢理構成している.

• 分割の方法
  • 経度方向と回転軸方向へ.
  • 経度方向は自動化されている.
  • 分割箇所にはのりしろが必要になる.

• 支配方程式 : 連続の式, 速度の式, 温度の式

• 連続の式を満たさせる方法(SMAC 法) 詳細はこちら

  順番が重要?
  全ての場がある -> 次の時間の速度場が計算できる -> 圧力も計算できる.
  しかしこの手順では速度場が非発散であることを保証できない.

• 質量集中化法 : 有限要素法の高速化の方法. 詳細はこちら

• スペクトル法との結果の比較.
  大まかな構造は OK. 運動エネルギーが少ない. 動径方向の解像度が低いからか?

• とっても時間がかかる.
  SR8000, 4 node (32CPU) で 200 時間.
  ベクトル計算が速くない

• そもそも改善の余地はあるのか? どれくらいの速度が期待されるのか?

  空間の自由度(点の数)の多さを協調していたが, どの程度の時間がかかるのかは気にしていないかも.
  簡単な見積もりを期待したいところ.

おまけ

待っている人々

現場の様子