%
% An Introduction to Atmospheric Gravity Waves (2002) 
% 1st edition
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Style  Setting             %%%%%%%%
% フォント: 12point (最大), 片面印刷
%\documentclass[a4j,12pt,openbib,oneside]{jreport}
\documentclass[a4j,12pt,oneside]{ltjreport}
\input{preemble}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Text Start                 %%%%%%%%
\begin{document}
%%\appendix
%\setcounter{chapter}{1}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{equation}{0}
%%\def\thesection{付録\Alph{section}}
%\def\theequation{\Alph{section}.\arabic{equation}}
\section{変形オイラー平均方程式系}

3.3節で示されるオイラー平均した方程式の組は
大気変数を平均部分と摂動部分に簡単に分離し,
基礎方程式系を平均したり小細工をしたりすることで得られる.
しかし, どのように東西平均流が応答するかを予測することは
簡単なことではない;
例えば, 準地衡流方程式(3.3.3)に明記されている
「運動量フラックス」$ \overline{v'u'} $や
「渦熱フラックス」$ \overline{v'\theta'} $,
またはその次の予測に対して,
どのような波の物理特性がこれらの渦フラックスを
制御しているのだろうか.

このような疑問を研究するためには,
平均流の方程式系を別の型日に変形するのが便利である.
球上の場合, まずはじめに,
\textbf{残差平均子午面循環}
$ (0,\bar{v}^*,\bar{w}^*) $を
\begin{subequations}\label{eq3.5.1}
	\begin{align}
	\bar{v}^*
	&\equiv
	\bar{v}-\frac{1}{\rho_0}\left(
	\frac{\rho_0\overline{v'\theta'}}{\bar{\theta}_z}
	\right)_z,
	\label{eq3.5.1a}
	\\
	\bar{w}^*
	&\equiv
	\bar{w}+\frac{1}{a\cos\phi}\left(
	\cos\phi\frac{\overline{v'\theta'}}{\bar{\theta}_z}
	\right)_\phi
	\label{eq3.5.1b}
	\end{align}
\end{subequations}
で定義する(他の残差平均子午面循環の定義でも可能である).
$ (\bar{v},\bar{w}) $の代わりに\eqref{eq3.5.1}を
(3.3.2)に用い, 次の\textbf{変形オイラー平均}(TEM)の方程式系を得る:
\begin{subequations}\label{eq3.5.2}
	\begin{align}
		&\bar{u}_t+\bar{v}^*
		\left[\frac{1}{a\cos\phi}
			\left(\bar{u}\cos\phi\right)_\phi-f\right]
		+\bar{w}^*\bar{u}_z-\bar{X}
		=\frac{1}{\rho_0 a\cos\phi}\nabla\cdot\vb{F},
		\label{eq3.5.2a}
		\\
		&\bar{u}\left(f+\bar{u}\frac{\tan\phi}{a}\right)
		+\frac{1}{a}\bar{\Phi}_\phi
		=0
		\label{eq3.5.2b}
		\\
		&\bar{\Phi}-\frac{R}{H}\bar{\theta}e^{-\kappa z/H}=0,
		\label{eq3.5.2c}
		\\
		&\frac{1}{a\cos\phi}\left(\bar{v}^*\cos\phi\right)_\phi
		+\frac{1}{\rho_0}\left(\rho_0\bar{w}^*\right)_z=0,
		\label{eq3.5.2d}
		\\
		&\bar{\theta}_t\frac{\bar{v}^*\bar{\theta}_\phi}{a}
		+\bar{w}^*\bar{\theta}_z-\bar{Q}
		=-\frac{1}{\rho}\left[
			\rho_0\left(
				\frac{\overline{v'\theta'}\bar{\theta}_\phi}
				{a\bar{\theta}_z}
				+\overline{w'\theta'}
				\right)
		\right]_z.
		\label{eq3.5.2e}
	\end{align}
\end{subequations}
ベクトル$ \vb{F} \equiv (0,F^{(\phi)},F^{(z)}) $は
\textbf{Eliassen-Palmフラックス}(EPフラックス)として知られ,
これらの成分は
\begin{subequations}\label{eq3.5.3}
	\begin{align}
		&F^{(\phi)}
		\equiv
		\rho_0 a \cos\phi\left(
			\bar{u}_z\frac{\overline{v'\theta'}}{\bar{\theta}_z}
			-\overline{v'u'}
		\right),
		\label{eq3.5.3a}
		\\
		&F^{(z)}
		\equiv
		\rho_0 a \cos\phi\left\{
			\left[
				f-\frac{1}{a\cos\phi}\left(
				\bar{u}\cos\phi\right)_\phi
			\right]
			\frac{\overline{v'\theta'}}{\bar{\theta}_z}
			-\overline{w'u'}
		\right\}
		\label{eq3.5.3b}
	\end{align}
\end{subequations}
で与えられ, 球面上の対数座標系では
\begin{equation*}
	\nabla\cdot\vb{F}
	\equiv
	\frac{1}{a\cos\phi}\DP{}{\phi}\left(F^{(\phi)}\cos\phi\right)
	+\DP{F^{(z)}}{z}
\end{equation*}
であることに注意しよう.
\eqref{eq3.5.2b}中の$ G $は$ \bar{u} $と$ \bar{\Phi} $の間の
傾度風バランスからの離脱を導くすべての項を表す;
これは(3.3.2b)と\eqref{eq3.5.1}から簡単に計算できる.
多くの気象学的な応用において,
$ G $は小さいか傾度風バランスからわずかな逸脱しか生まない;
この力学的な効果はたいてい二番目に重要なものとしかされない.

一見して, この変形した方程式系\eqref{3.5.2}は
オイラー平均した方程式(3.3.2)を超えた
特別な利点は持っていないように見える.
しかし, より詳細に調べると, 3.6節で述べるが,
\eqref{eq3.5.2a}, \eqref{eq3.5.2e}右辺の修正された渦強制の項は
波や渦の摂動についてのある基本的な物理状態量に依存する事がわかる.
例えば, \eqref{eq3.6.1}は
摂動が定常で, 線形で, 非断熱であり,平均流が$ \mathcal{O}(\alpha) $で
保存するならば, $ \nabla\cdot\vb{F}=0 $であることを示す;
\eqref{eq3.5.2e}の右辺の式でも同じような結果となる.
対照的に, 同じ線形, 定常, 保存するような状態でも,
(3.3.21,e)の右辺の強制は一般的にゼロにはならない.
この結果についてのこの先の議論と重要な結果については
次の節で提供する.

同じような変形の方程式系はβ平面の幾何学でも導出できる.
準地衡流の場合を議論し, 残差循環は
\begin{equation}\label{eq3.5.4}
	\bar{v}^*
	\equiv
	\bar{v}_a-\frac{1}{\rho_0}\left(
		\rho_0\frac{\overline{v'\theta'}}{\rho_{0z}}
	\right)_z,
	\;\;\;\;
	\bar{w}^*
	\equiv
	\bar{w}_a+\left(
		\frac{\overline{v'\theta'}}{\theta_{0z}}
	\right)_y
\end{equation}
と定義しよう;
(3.3.3)より次の準地衡流TEM方程式系が用意に得られる:
\begin{subequations}\label{eq3.5.5}
	\begin{align}
		&\bar{u}_t-f_0\bar{v}^*-\bar{X}
		=\frac{1}{\rho_0}\nabla\cdot\vb{F},
		\label{eq3.5.5a}
		\\
		&\bar{\theta}_t+\bar{w}^*\theta_{0z}-\bar{Q}=0,
		\label{eq3.5.5b}
		\\
		&\bar{v}^*_y+\frac{1}{\rho_0}
		\left(\rho_0\bar{w}^*\right)_z=0,
		\label{eq3.5.5c}
		\\
		&f_0\bar{u}_z+\frac{R}{H}e^{-\kappa z/H}\bar{\theta}_y=0.
		\label{eq3.5.5d}
	\end{align}
\end{subequations}
この準地衡β平面の場合,
\begin{equation}\label{eq3.5.6}
	\vb{F}
	\equiv
	\left(
		0,\ -\rho_0\overline{v'u'},\ 
		\rho_0 f_0\frac{\overline{v'\theta'}}{\theta_{0z}}
	\right)
\end{equation}
となる.
ここで渦強制の項が陽に現れるのは, 変形した平均東西運動量方程式
\eqref{eq3.5.5a}の右辺の$ \rho_0^{-1}\nabla\cdot\vb{F} $
だけであることに注意しよう;
特に, 準地衡の変形した平均熱力学方程式\eqref{eq3.5.5b}の渦強制は
無視して良い.
すなわち, $ \bar{u},\ \bar{\theta} $の平均的な傾向における
これらの効果と
残差循環$ (\bar{v}^*,\ \bar{w}^*) $における
これらの効果が関係している限りは,
渦運動フラックス$ \overline{v'u'} $と渦熱フラックス
$ \overline{v'\theta'} $は
[変形していない(3.3.3)から予想されたように]
別々に働くことはなく,
\begin{equation*}
	\nabla\cdot\vb{F}
	\equiv
	-\left(\rho_0\overline{v'u'}\right)_y
	+\left(
		\rho_0 f_0\frac{\overline{v'\theta'}}{\theta_{0z}}
	\right)_z
\end{equation*}
のように組み合わさる.

後者については
平均的な傾向と残差循環を知るために
\eqref{eq3.5.5}[又は(3.3.3)]を解くことによって強調される.
例えば,
\begin{equation}\label{eq3.5.7}
	\rho_0\left[
		\DP[2]{}{y}+\frac{1}{\rho_0}
		\DP{}{z}\left(\rho_0\epsilon\DP{}{z}\right)
	\right]\bar{u}_t
	=\left(\nabla\cdot\vb{F}+\rho_0\bar{X}\right)_{yy}
	-\left(\rho_0 f_0\frac{\bar{Q}}{\theta_{0z}}\right)_{yz}
\end{equation}
と
\begin{align}
	\rho_0\left[
		\DP[2]{}{y}\right.
		&\left.+\frac{1}{\rho_0}
		\DP{}{z}\left(\rho_0\epsilon\DP{}{z}\right)
	\right]f_0 \bar{v}^*
	\notag
	\\
	=&-\left[
		\rho_0\epsilon
		\left(\frac{1}{\rho_0}\nabla\cdot\vb{F}
		+\bar{X}\right)_z
	\right]_z
	-\left(\rho_0 f_0\frac{\bar{Q}}{\theta_{0z}}\right)_{yz}
	\label{eq3.5.8}
\end{align}
であることがわかる
(二番目の式はオメガ方程式と関係している).
ここで修正された渦の効果は右辺の$ \nabla\cdot\vb{F} $で表されており,
摩擦と断熱加熱はそれぞれ$ \bar{X} $と$ \bar{Q} $で表される.
これらの強制項は
\eqref{eq3.5.7}と\eqref{eq3.5.8}の左辺の
角括弧の演算子が楕円形であれば
一般的に局所的でない$ \bar{u} $と$ \bar{v}^* $
の応答を生む.
$ \bar{u}_t $や$ \bar{v}^* $を求めるために,
右辺を与えて境界条件を課す必要がある
(付録3Bを見よ).

他の有用な準地衡流のスケールで妥当な
$ \rho_0^{-1}\nabla\cdot\vb{F} $の形式について述べて
この節を締めくくろう.
これは次の恒等式を使った簡単な操作で得られ,
この恒等式は(3.2.3), (3.2.12), (3.4.7)から得られる:
\begin{align}\label{eq3.5.9}
	&u'=-\psi'_y, \;\;\;
	v'=\psi'_x, \;\;\;
	\theta'/\theta_{0z}=f_0\psi'_z/N^2,
	\notag
	\\
	&q'=\psi'_{xx}+\psi'_{yy}
	+\rho_0^{-1}(\rho_0\epsilon\psi'_z)_z.
\end{align}
部分による積分と, $ x $方向の微分を東西平均した量が
消えることを用いると,
\begin{align}\label{eq3.5.10}
	\overline{v'q'}
	&=-\left(\overline{v'u'}\right)_y
	+\rho_0^{-1}\left(
		\rho_0 f_0\overline{v'\theta'}/\theta_{0z}\right)_z
	\notag
	\\
	&=\rho_0^{-1}\nabla\cdot\vb{F}
\end{align}
が得られる.
この渦位の北向きの渦フラックスと
Eliassen-Palmフラックスの発散との間の
重要な準地衡流の関係式は(3.4.8)とともに用いられ,
\eqref{eq3.5.7}が準地衡流渦位方程式の$ y $微分
(3.3.4)と等しいことを示す:3.3節の最後を見よ.

\section{一般化したEliassen-Palmの定理とCharney-Drazinの非加速定理}

前の節ではEPフラックスの発散$ \nabla\cdot\vb{F} $は,
(3.3.2a)における渦運動フラックスの収束と違って,
流れのある基本的な物理的性質に依存することを述べた.
これはオイラー平均方程式系(3.3.2)よりもTEMの方程式系\eqref{eq3.5.2}
を優先して利用する主な理由である;
ここではこの点についてより詳細に議論する.

説明される理論の基礎はEliassen and Palm (1966)による
先駆的な論文中にある.
彼らは摩擦の効果と非断熱効果がない($ X=Y=Q=0 $),
東西流の基本場$ \bar{u}(\phi,z) $における
定常で線形な波について考えた.
$ \partial/\partial t =0,\ X'=Y'=Q'=0 $の場合の,
本質的には(3.4.2)と等しい線形摂動方程式系
(ただし対数座標系ではなく圧力座標系で, 球面ではなくβ平面の幾何である)
を用い,
恒等式
\begin{equation}\label{eq3.6.1}
	\nabla\cdot\vb{F}\equiv 0 
\end{equation}
を導いた.
すなわちEliassen-Palmフラックス(と後に呼ばれるもの)の発散は
純粋な東西基本流における線形で定常で保存する波ではゼロになる.
この結果はBoyd (1976)によってゼロでない$ X',\ Y',\ Q' $を含む場合や,
球面の幾何の場合にも拡張され,
Andrews and McIntyre (1976a,1978a)によって
時間変化する波の振幅(すなわち"波の過渡性")を含む場合にも拡張された.

後者の\textbf{一般化されたEliassen-Palmの定理}は
\begin{equation}\label{eq3.6.2}
	\DP{A}{t}+\nabla\cdot\vb{F}=D+\mathcal{O}(\alpha^3)
\end{equation}
の形式で書かれ,
$ \vb{F} $に似た$ A $と$ D $は摂動量の平均二次関数である;
しかし$ \vb{F} $と異なり,これらの陽なプリミティブ方程式の形式は
一般的にパーセルの変位を伴い, 非常に複雑になる.
[簡単な準地衡流の場合は\eqref{eq3.6.6}, \eqref{eq3.6.7},
\eqref{eq3.6.10}で与える]
\eqref{eq3.6.2}に現れる「密度」$ A $は「波活動密度」と呼ばれる;
これの時間微分は波の過渡性の効果を表し,
定常な波ではゼロになる.
$ D $には摩擦や非断熱の効果$ X',\ Y',\ Q' $の効果を含み,
保存する波ではゼロになる.
$ \mathcal{O}(\alpha^3) $の項,
ここで$ \alpha $は波の振幅であるが,
非線形の波の効果を表し, 純粋な線形波ではゼロになる.
[線形化した(3.4.2)から得られるような\eqref{eq3.6.2}について,
$ \bar{X},\ \bar{Y},\ \bar{Q} $が$ \mathcal{O}(\alpha^3) $よりも
大きくないことを要求し,
基本流は本質的に東西方向であることに注意しよう.]

一般化したEP定理[\eqref{eq3.6.2}]は
波の過渡性や非保存な波の効果の物理的性質において
$ \nabla\cdot\vb{F} $の依存性を陽に作る.
(非線形波動の過程におけるこれの詳細な依存性についての研究は
一般的に高次の$ \alpha $と関係する.)
より基本的には, \eqref{eq3.6.2}の右辺の項がゼロのとき,
波の性質の\textbf{保存則}の形となる:
この法則は多くの物理学の分野において重要な興味である.
これは線形で保存する波についての
\begin{align}\label{eq3.6.3}
	&\DP{}{t}\left[
		\frac{1}{2}\rho_0\left(
			\overline{u'^2}+\overline{v'^2}
			+\frac{\overline{\Phi_z'^2}}{N^2}\right)\right]
	 +\nabla\cdot
	  \left(0,\rho_0\overline{v'\Phi'},\rho_0\overline{w'\Phi'}\right)
	 \notag
	 \\
	=&-\frac{\rho_0}{a}\left[\bar{u_\phi}+\bar{u}\tan\phi\right]
	   \overline{v'u'}
	  -\rho_0\bar{u_z}\overline{w'u'}
	  -\frac{\rho_0\bar{\theta_\phi}}{a}
	   \frac{\overline{v'\Phi_z'}}{\bar{\theta_z}}
\end{align}
の形をとる\textbf{波-エネルギー方程式}よりも簡単な
構造であることに注意しよう.
この方程式は$ u'\times (3.4.2a) +v'\times (3.4.2b)
+(\Phi_z'/\bar{\theta_z})\times (3.4.2e) $をとって平均し,
$ X'=Y'=Q'=0 $とし, (3.4.2c,d)と(3.2.13)を用いると導くことができる.
\eqref{eq3.6.3}の右辺の項は平均シアー流が存在するとき
一般的にゼロではなく,
平均流と擾乱のエネルギーの交換を表す:
このような交換の項は一般化したEP定理[\eqref{eq3.6.2}]には現れない.
(この点で後者の定理は wave action の保存則と類似している:
3.7.1節と付録4Aを見よ.)
これらの理由から\eqref{eq3.6.2}は複雑な平均流における
波の伝播の診断において確かな利点を持ち,
この本で後に述べるある目的で利用される:
例えば4.5.5, 5.2.2, 6.2.3, 6.3.2節である.

ここでTEM方程式系\eqref{eq3.5.2}に戻り,
\eqref{eq3.6.2}を用いて
\eqref{eq3.5.2a}右辺の$ \nabla\cdot \vb{F} $に代入する.
擾乱が定常で線形ならば\eqref{eq3.6.1}よりこの項はゼロとなり,
流れは保存する:
類似した結果は\eqref{eq3.5.2e}の右辺に見られる.
この仮定のもとで境界条件を適応すると(付録3B),
当然, \eqref{eq3.5.2b}を満たしうる平均流は
\begin{equation*}
	\bar{u_t}=\bar{\theta_t}=\bar{v}^*=\bar{w}^*=0
\end{equation*}
で与えられる.
これは\textbf{非加速定理}の例で,
これの初めての例は Charney and Drazin (1961) で書かれている.
これは定常状態においてどのように波が平均流の変化を誘発しないかを示す:
このような結果は非変形オイラー平均方程式系では
全く理解できないもので,
(3.3.2a,e)の右辺の渦強制項は$ \nabla\cdot\vb{F}=0  $のとき
一般的にゼロにならないが, 正確にこれらの項を打ち消す
ゼロでないオイラー平均循環$ (\bar{v},\bar{w}) $を誘発する.
[ついでながら, $ \-\partial\bar{v}^*/\partial t $から$ G $への
重要な寄与を伴う東西対称な振動は, 原理的には可能であるが,
それらは波によって強制されたものではないことに注意しよう.]

上で述べた理論において, 非加速定理を破る物理過程における
新しい重要な点があった.
波におけるこのような過程の例や
中層大気における平均流相互作用の現象は,この本で何回か登場する.

最後に一般化したEP定理の陽な準地衡流の形式を見ておこう.
これは線形化した渦位方程式(3.4.5)から簡単に導出でき,
\begin{equation}\label{eq3.6.4}
	\bar{D}q'+v'\bar{q}_y=Z'+\mathcal{O}(\alpha^2)
\end{equation}
である. ここで$ Z'\equiv -X'_y+Y'_x
+f_0\rho_0^{-1}(\rho_0 Q'/\theta_{0z}) $で,
$ \mathcal{O}(\alpha^2) $は線形化による誤差である.
$ \rho_0q'/\bar{q}_y $を掛けて$ \rho_0(\bar{q}_y)^{-1} $を
[現在の仮定$ \bar{X}=\bar{Q}=\mathcal{O}(\alpha^2) $
のもとでの(3.3.4)による$ \bar{q}_t=\mathcal{O}(\alpha^2) $からの]
$ \mathcal{O}(\alpha^3) $の誤差とともに
$ \bar{D} $演算子の中に入れ, 平均し, \eqref{eq3.5.10}を用いると
\begin{equation}\label{eq3.6.5}
	\DP{}{t}\left(\frac{1}{2}\rho_0
		\frac{\overline{q'^2}}{\bar{q}_y}\right)
	+\nabla\cdot\vb{F}
	=\rho_0\frac{\overline{Z'q'}}{\bar{q}_y}+\mathcal{O}(\alpha^3)
\end{equation}
を得る.
これは準地衡流の波の活動度密度\eqref{eq3.6.2}の形式
\begin{equation}\label{eq3.6.6}
	A=\frac{1}{2}\rho_0\frac{\overline{q'^2}}{\bar{q}_y}
\end{equation}
であり, 「波のポテンシャルエンストロフィー」
$ \frac{1}{2}\overline{q'^2} $と比例し,
非保存の項は
\begin{equation}\label{eq3.6.7}
	D=\rho_0\frac{\overline{Z'q'}}{\bar{q}_y}
\end{equation}
である. 
$ \bar{q}_y>0 $で波の振幅の自然な値ならば
$ A $は正の符号になることに注意しよう.
有用な$ A $の別の形式は北向きのパーセルの変位$ \eta' $に関して
\begin{equation}\label{eq3.6.8}
	\bar{D}\eta'= v'+\mathcal{O}(\alpha^2)
\end{equation}
で定義される.
\eqref{eq3.6.4}と\eqref{eq3.6.8}から,
$ Z'=0 $ならば,
\begin{equation}\label{eq3.6.9}
	q'=-\eta\bar{q}_y+\mathcal{O}(\alpha^2)
\end{equation}
となり,
与えられた適当な初期条件から$ t=0 $で$ \eta'=q'=0 $が言える.
また$ Z'=0 $ならば\eqref{eq3.6.6}と\eqref{eq3.6.9}より
\begin{equation}\label{eq3.6.10}
	A=\frac{1}{2}\rho_0\overline{\eta'^2}\bar{q}_y
\end{equation}
$ Z'=0 $のとき, \eqref{eq3.6.10}は波の活動度密度として保持できるが,
非保存の項に対応する$ D $は\eqref{eq3.6.7}でで与えられるものと異なる.
\end{document}

