\section{テストケース3: 傾圧不安定}
本節では, \citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest, Jablonowski2008_TestCase}で提案されている, 傾圧不安定のテストを行う. 
本テストケースは非常に理想化されているものの, 背景場は, 実際の大気のそれとよく似た構造が選ばれる. 
したがって, このテストは, 大気モデルによって現実的な大気の流れを模倣するにあたっての良いベンチマークを与えるだろう. 

\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}のテストケースは, 二つの部分に分けられる. 
最初に, 力学コアは, 定常状態で傾度風バランスしている初期条件を使って初期化される. 
この初期条件は, 静力学プリミティブ方程式の解析解によって与えられる. 
したがって, この初期化は, 数値丸め誤差や離散化誤差, 重力波によって定常状態が破壊されることなく, 力学コアがどの程度定常状態を維持できるかを明らかにする. 
次に, 相対的に大規模であるが局所的なガウシアン型の摂動を北半球中緯度の帯状流に重ね合わせる. 
この小振幅の擾乱は, 数日間に渡る傾圧波の成長のきっかけとなる. 

\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}のテストケースはもともと, $\eta=p/p_s$によって定義される圧力に基づく座標系で定式化されている. 
そのため, $\eta$系で記述された初期条件を高度座標系に変換する必要があるが, 
この座標変換は\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}の付録で説明される数値的な手法によって行った.   
なお, このテストケースの大気下端は等ジオポテンシャル面と一致しないため,   
高度座標系を採用しているモデルに対してより厳密に同じ設定を行うためには, 地形の導入が必要となる. 
しかし, 本研究では, モデルの定式化において地形が考慮されていない. 
一方で, \citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}は鉛直座標系の違いに伴う境界条件などの差異は, 
10 日後までの傾圧波の時間進展に重要でないと述べている. 
したがって, 本研究では, このテストケースにおける大気下端を, ジオポテンシャルがゼロの等値面とする. 
この大気下端の取り扱いの違いのために, 
\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}などで示される他のモデルの結果と細部を比較する際には注意が必要である.   

次に, 傾圧不安定のテストケースにおいて, 本モデルに対して行った設定を述べる. 
背景場$\overline{p}^h, \overline{\rho}^h$は, 擾乱を除いた初期条件によって与える. 
また, 定常帯状流に重ねられる摂動は$(\lambda_c, \phi_c)=(\pi/9, 2\pi/9)$に中心を持ち, その分布は次のように与えられる. 
%%
\begin{equation}
 u'(\lambda, \phi, \eta) = u_p \exp\left( -\left(\dfrac{r_c}{R}\right)^2 \right). 
\end{equation}
%%
ここで, $R=a/10$は摂動の半径, $u_p=10$ ms$^{-1}$は最大振幅, $r_c$は摂動中心からの大円距離である. 
解像度は c90(水平格子間隔約 111 km), 鉛直層数 26 層, また時間刻み幅は 225 sに設定し, 
10 日間の時間積分を行った. 
また, このテストケースは浅い大気近似を仮定にしているので, DECAMO の浅い大気近似のオプションを有効にした. 
なお, 大気下端に現れる境界層を少しでも表現できるように, 大気下層で解像度を高くする.  
このために, 鉛直格子は次のように不等間隔に配置される. 
%
\begin{equation}
 z_k = \dfrac{z_T}{\sqrt{b+1}-1} \left[ \sqrt{b\xi_k^2+1} - 1 \right]
\end{equation}
%%
ここで, $\xi_k = (k-\frac{1}{2})/N_z \;\; (k=1,\dots, N_z)$である. 
また, $b$は上層に向かってどれくらい速く格子間隔を一定にするかを決定するパラメータである.  
ここでは$b=10$, 大気上端高度$z_T$を30 kmとした. 

以下にテストケースの結果を示す. 
初めに, 定常状態のテストケースの結果を, 図\ref{fig:testcase3_SteadyStatel2Ps}に示す.
ここでは, 初期からバランス場をどの程度維持できているかを示す指標として, 
以下で定義される誤差ノルム$l_2(p_s(\lambda, \phi, t)-p_0))$を用いる. 
%%
\begin{equation}
 l_2(p_s(t)-p_0) = \dfrac{\sum_{i,j} (p_s(\lambda_i, \phi_j,t) - p_0) w_j(\phi_j)}{\sum_{i,j} w_j(\phi_j)}. 
 \label{eq:steadyState_eval}
\end{equation}
%%
ここで, $p_0(=1000\;\text{hPa})$は\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}の$\eta$座標系(圧力座標系とシグマ座標系のハイブリッド)を用いる定式化において定義される, 
初期の地表面圧力である. 
また, $w_j = |\sin{\phi_{j+1/2}}-\sin{\phi_{j-1/2}}|$である. 
この指標は, \citet{Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}の定常状態のテストケースで用いられるものと同じである. 
本研究では\ref{eq:steadyState_eval}を計算するために, 
立方球面格子上の圧力の検査体積平均値を再構築を用いて緯度経度格子上に補間し, 
さらに幾何的な鉛直座標から$\eta$座標系の地表面への補間には, 線形内挿あるいは外挿を用いる. 
%他の力学コアの結果との比較には, \citet[図3]{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}, \citet[図4]{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}
%\citet[図11]{Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}が参考になる. 
\citet{Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}は, 
誤差ノルム$l_2(p_s(t)-p_0)$が$2\times10^{-1} \sim 4\times10^{-1}$ hPaに達すると偽の波が指数関数的に成長し始めるため, 
バランス場の維持に対する評価の閾値を$l_2(p_s(t)-p_0)=0.5$ hPaとしている.  
図\ref{fig:testcase3_SteadyStatel2Ps}において, 閾値$l_2(p_s(t)-p_0)=0.5$ hPaの直線を赤線で示す. 
この閾値に達するまでの期間は, 本モデルでは, 水平解像度c46に対して 8 日間, 水平解像度c90に対して 10 日間強ほどであることが分かる. 
このように, 一般に正二十面格子や立方球面格子を用いた力学コアは, 緯度経度格子によるスペクトルモデルに比べて, ずっと早く初期場の東西対称性が失われてしまう. 
東西対称性の維持時間に関して, 他の立方球面格子モデルの結果と比較するためには, \citet[図4]{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}が参考になる.  
これより, 本モデルにおける東西対称性の維持時間は, 立方球面格子を用いた有限体積法による GEOS\_FV\_CUBED(水平方向に 2 次精度の再構築)に比べ同程度かやや長く,  
立方球面格子を用いたスペクトル要素法による HOMEE (水平方向に 4 次精度の再構築)に比べ 1 週間ほど短いことが分かる. 
本モデルの水平方向に関して再構築が 3 次精度であることを考慮すれば, この結果は整合的である. 

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\begin{figure}[t]
\begin{center}
	\includegraphics[width=11.5cm,height=10.5cm,clip]{chapter5/case3/l2norm_Ps.eps}
	\caption{\footnotesize{
	水平解像度c46, c90 に対する定常状態テストにおける$l_2(p_s(t)-p_0)$の 10 日間の時間変化.
	バランス場の維持状態を評価するための閾値$l_2(p_s(t)-p_0)=0.5$ hPaの直線は, 赤線で示される. 
	}}
	\label{fig:testcase3_SteadyStatel2Ps}
%\hspace{-13mm}
% 	\includegraphics[width=13.5cm,height=6.5cm,clip]{chapter5/case3/steadtStateCheck_l2NormType1.eps}
% 	\vspace{-5mm}
% 	\caption{\footnotesize{
% 	水平解像度c46, c90 に対する定常状態テストにおける$l_2(u-\overline{u})$の10日間の時間変化. 
% 	}}
% 	\label{fig:testcase3_SteadyStatel2T1}
% 	\includegraphics[width=13cm,height=6.5cm,clip]{chapter5/case3/steadtStateCheck_l2NormType2.eps}
% 	\caption{\footnotesize{
% 	水平解像度c46, c90 に対する定常状態テストにおける$l_2(\overline{u}-\overline{u}_{t=0})$の10日間の時間変化. 
% 	}}
% 	\label{fig:testcase3_SteadyStatel2T2}
 \end{center}
\end{figure}
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傾圧不安定のテストケースの結果として, 4, 6, 8, 10 日目の 850 hPa 面の温度分布と地表面圧力を, 
それぞれ図\ref{fig:testcase3_Temp850hPa}, 図\ref{fig:testcase3_SurfPress}に示す. 
他の力学コアによる同テストの結果は, \citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest, Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}
より得られる. 
これらの比較により, DECAMO の結果は地表面圧力の極値の位置を正しく捉えていることが分かる. 
また, 8 日目以降の温度場において, 前線付近の急な水平温度勾配についても他のモデルと同じように維持されていることが分かる. 
一方で, 地表面圧力の極値の強さは10hPaほど他のモデルの結果よりも大きかった. 

地表面圧力の極値がやや大きい傾向は, 
\citet[図16]{Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}の正二十面格子モデルICON の結果にも見られる. 
しかし, 本研究での大気下端は, \citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}の大気下端と同じに設定できていないことに注意が必要である.  
すなわち, 緯度40度より高緯度では, 本来の正しい大気下端が計算領域外となる\citep[図1]{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}ことが, 
傾圧波の発達の予想に多少なりとも影響を与える可能性が考えられる.   
したがって, この問題についてより議論を進めるためには, まず地形を導入する必要であろう. 

また, 8日目あたりから, 立方球面格子の格子インプリンティングに伴う偽の波が, 南半球の傾圧帯で若干確認され始める. 
この特徴は, 定常状態のテストケースの結果からも推測される. 
一方, 水平方向に関して4次精度の再構築を行った\citet{Ullrich2012}の Mcore の同テストケースの結果において, 
少なくとも 10日目までの温度や地表面圧力の水平分布の中に格子インプリンティングの影響は見られなかった. 
したがって, 本モデルにおいても水平方向の空間離散化を4次精度まで高精度化すれば, この格子インプリンティングの問題は改善されるだろう. 
その可能性は, \citet[図9]{Lauritzen2010_RotatedBaroclinicInstabilityTest}の水平方向に 2 次精度の再構築を行う GEOS\_FV\_CUBED の結果と, 
水平方向に 4 次精度の再構築を行う HOMEE の結果の比較からも示唆される. 

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\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\hspace{-13mm}
	\includegraphics[width=14.5cm,height=20.5cm,clip]{chapter5/case3/Temp850hPa_v2.eps}
	\caption{\footnotesize{
	傾圧不安定のテストケースにおける(a)4日後(b)6日後(c)8日後(d)10日後の地表面圧力. 
	ただし, この地表面は幾何的な地表面ではなく, 
	\citet{Jablonowski2006_BaroclinicInstabilityTest}で規定される$\sigma$座標系の$\sigma=1$の等値面である. 
	}}
	\label{fig:testcase3_Temp850hPa}
\end{center}
\end{figure}
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\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\hspace{-13mm}
	\includegraphics[width=14.5cm,height=20.5cm,clip]{chapter5/case3/sigmaSurfPress_v2.eps}
	\caption{\footnotesize{
	傾圧不安定のテストケースにおける(a)4日後(b)6日後(c)8日後(d)10日後の850hPa面の温度分布.  
	}}
	\label{fig:testcase3_SurfPress}
\end{center}
\end{figure}
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