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C. 雲微物理過程

Kessler(1969) に基づく雲微物理パラメタリゼーションの, 終端速度 836#836, 雲 水の衝突併合による雨水比湿の変化率 136#136, 平均終端速度 172#172, 蒸発による雨水比湿の変化率 134#134 について解説する [*].

1 雨粒の終端速度

Newton の抵抗法則より球体の抵抗力 837#837

838#838     (252)

と表される. ここで 839#839 は抵力係数であり, 一般にレイノルズ数の関数である. 雨滴の落下のようにレイノルズ数が大きい現象の場合, レイノルズ数の定義によ り, 粘性力は流れ場にほとんど寄与しなくなる. このとき 839#839 はレイノルズ数に依存しない定数となる. 抵抗力と重力の釣合いを考えると
840#840     (253)

となる. shuutan2 を 836#836 について解くと,
841#841     (254)

となる. Kessler(1969) では 842#842[kg/m193#193], 843#843[m/s230#230], 844#844 [kg/m193#193], 845#845 として
846#846     (255)

としている[*]. 但し 847#847 は地表面での大気密度である. 他の惑星大気においても 845#845 であるとみなすと,
848#848 (256)

が得られる.

2 雲水の衝突併合

雲水の衝突併合による雨水混合比の変化率 136#136 は, 直径 205#205 の単一の 雨粒の衝突併合による質量変化率 849#849205#205 から 850#850 の 範囲の直径を持つ雨粒の数 851#851 を用いて

852#852 (257)

と表される. 849#849 は,
853#853 (258)

と表される. ここで 836#836 は雨粒の落下速度, 854#854 は雨粒と衝突した雲粒 のうち雨粒に併合される割合を表す係数(捕捉係数)である.

雨粒のサイズ分布関数と雨粒の落下速度 836#836 を以下のように仮定する.

855#855 19#19 856#856 (259)
857#857 19#19 858#858 (260)

ここで 859#859 はパラメータである. 式マーシャル・パ ルマー型分布関数2の分布は一般にマーシャル・パルマー型分布 (Marshall and Palmer, 1948) と呼ばれる. Kessler (1969) では 860#860 とする. これを式衝突併合による雨水混合比の変化率に代入すると,
861#861 19#19 862#862 (261)
  19#19 863#863  
  19#19 864#864 (262)

を得る. ここで 854#854205#205 によらないと仮定した. Kessler (1969) では 865#865 とする.

雨粒のサイズ分布曲線の傾きを表すパラメータ 224#224 は, 以下の式を用 いて雨水比湿 300#300 で置き換える.

866#866 19#19 867#867  
  19#19 868#868  
  19#19 869#869  
  19#19 870#870 (263)

ここで 871#871 は液相の密度である. これを 224#224 について解き, 式CL_cr 項に代入すると,
861#861 19#19 872#872  
  19#19 873#873  
  19#19 874#874 (264)

となる. 最後の式変形では, 875#875 を代入した.

3 平均終端速度

平均終端速度 172#172 は雨滴の鉛直フラックス 876#876, 雨滴密度 15#15 により

877#877     (265)

と表される. 15#15, 876#876 はそれぞれ以下のように表される.
878#878 19#19 879#879 (266)
880#880 19#19 881#881 (267)

ここで 882#882 は直径 205#205 の雨滴の質量であり,
883#883     (268)

と書ける. マーシャル・パルマー型分布関数1, マーシャル・パルマー型 分布関数2, TermVel4 を TermVel2, TermVel3 に 適用すると,
878#878 19#19 884#884  
  19#19 885#885 (269)
880#880 19#19 886#886  
  19#19 887#887 (270)

となる. TermVel5 を TermVel6 に代入して 224#224 を消去すると,
880#880 19#19 888#888  
  19#19 889#889 (271)

となる. TermVel1 に TermVel7 を代入すると
890#890 19#19 891#891  
  551#551 892#892 (272)

が得られる.

4 雨水の蒸発

蒸発による雨水混合比の変化率 134#134 は, 式衝突併合による雨 水混合比の変化率 と同様に

893#893 (273)

と表される. ここで 894#894 は直径 205#205 の単一の雨粒の蒸発によ る質量変化率である.

雨水の蒸発は雨粒の表面からの水蒸気の拡散によって律速されると仮定する. 雨粒周囲の水蒸気フラックスを 895#895 とすると, 雨粒の質量の変化率は

896#896 (274)

と表される. ここで 897#897 は雨粒中心からの距離, 898#898 は雨粒の半径で, 895#895

899#899

と表される. 900#900 は水蒸気の密度, 901#901 は水蒸気の拡散係数であ る. 雨粒の周囲では水蒸気フラックスの収束発散はないと仮定すると,

902#902

が成り立つ. これを積分し

903#903

境界条件 904#904 905#905, 906#906 907#907 を適用すると,

908#908

これより, 雨粒表面での拡散による水蒸気フラックスは
909#909 19#19 910#910  
  19#19 911#911 (275)

よって,
912#912 (276)

と表される. 雨粒が落下しながら蒸発する場合には, 901#901 に補正項のついた
913#913 (277)

が用いられる. ここで 895#895 は換気因子, 914#914 は雨粒表面でのクヌーセン層の 厚さである[*].

Kessler (1969) では, 蒸発による雨粒の成長方程式の右辺の項を 以下のように近似する.

915#915


このとき蒸発による雨粒の成長方程式は
916#916 (278)

となる. これを式蒸発による雨水混合比の増加率に代入し, 雨粒のサイズ分布としてマーシャル・パルマー型分布関数1を 仮定すると,
917#917 19#19 918#918  
  19#19 919#919  
  19#19 920#920  
  19#19 921#921  
  19#19 922#922  
  19#19 923#923 (279)

最後の式変形を行う際にはλの式式の関係を用いて 224#224 を消去し, 924#924, 860#860 とした [*].



Footnotes

... について解説する[*]
本章の内容は Ogura and Takahashi (1971), 浅井 (1983) を参考に した.
... としている[*]
Kessler(1969) では 839#839 をどのように決めたのかについては書かれていない. Gunn and Kinzer(1949) によると, レイノルズ数が 3000 程度である雨粒の 839#839 の値は 0.66 となるので, Kessler(1969) は系の特徴的なレイノルズ数が 3000 程度であると想定して 839#839 の値を決めたのかも知れない.
... 厚さである[*]
蒸発による雨粒の成長方程式 は Kinzer and Gunn(1951) で導出され ている. 導出方法については要確認である.
... とした[*]
Kessler (1969) では最終的には

925#925

としている.
Yamashita Tatsuya 2010-04-21