\chapter{数値解法}
本章では, 非静力学方程式(\ref{eq:massConserve_applyDiffOptr})-(\ref{eq:totalEConserve_applyDiffOptr})を数値的に解くために用いられる手法を示す. 
詳細に触れる前に, 初めにその数値解法の概要を述べておく. 

非静力学方程式(\ref{eq:massConserve_applyDiffOptr})-(\ref{eq:totalEConserve_applyDiffOptr})は, 時間微分と空間微分を含む双曲型の偏微分方程式系(partial differential equations, PDE)である. 
この双曲型偏微分方程式を数値的に解くために, 各格子セルに対してこれらの方程式に含まれる空間微分を離散化し,  
偏微分方程式(\ref{eq:massConserve_applyDiffOptr})-(\ref{eq:totalEConserve_applyDiffOptr})の初期値問題を, 
各格子セル上で時間方向に対する常微分方程式(ordinary differential equation: ODE)を解く問題に帰着させる, 
線の方法(method of lines)を用いる. 

本モデルの空間離散化は, 有限体積法によって行われる. 
有限体積法では, まず保存形式で記述された支配方程式系を任意の検査セルに対し体積分し, 
フラックスの発散・収束項を検査セル界面におけるフラックスの面積分に変換することから始める. 
空間高精度化は, 検査セル内の物理量の空間分布を高次補間する(再構築)ことによって達成される. 
この再構築の手法には, Central ENO 法が適用される.  
これにより原理的には任意の空間精度を実現できるが, 
本研究では結果的に水平方向に空間 3 次精度, 鉛直方向に空間 2 次精度となる再構築を行った.  
その後, 検査セル界面におけるフラックスを一意に決定するための数値流束関数を導入する. 
本研究ではこの数値流束関数として, AUSM$^+$-up スキームが適用される. 

次に, 時間積分の手法について述べられる. 
大気大循環モデルでは通常, 水平方向に比べて鉛直方向の格子幅がずっと小さい. 
そのため, 陽解法の時間積分スキームにおいて, CFL 条件を満たす時間ステップ幅は厳しく制約される.  
この制約を緩和して効率的に時間積分を行うために, 水平方向の流体運動を陽的に, 鉛直方向の流体運動を陰的にそれぞれ分別的に取り扱う. 
分別的に取り扱われた水平方向と鉛直方向の運動は, 時間に関して 2 次精度を保証する Strang-carryover 法によって組み合わされる. 

% 有限体積法による空間離散化/再構築
\input{./chapter4/FiniteVolumeMethod.tex} 
% 数値流束の評価方法
\input{./chapter4/NumericalFluxEval.tex} 
% 時間積分スキーム
\input{./chapter4/TemporalIntegMethod.tex} 
% パッチ境界の取り扱い
\input{./chapter4/PatchBoundaryTreatment.tex} 
