\section{�������붭���ˤ��������ή«��ɾ��}
����ͭ������ˡ�ˤ�����, �������볦�̤ˤ�����ե�å������, 
���γ��̤��ܤ��뺸���Τ��줾��Υ���κƹ��ۤ�������줿�ͤ��Ѥ���ɾ�������. 
������, �ƹ��ۤϤ��줾��θ�������Ƕ�ʬŪ�˹Ԥ��뤿��, ���̤κ�¦�ȱ�¦�Ǻƹ��ۤ�����ͤϰ���Ū�ˤϰ��פ��ʤ�. 
���θ������볦�̤Υե�å������դ˷��ꤹ��ؿ��Ͽ���ή«�ؿ��ȸƤФ�, ����ˤ�äƵ���줿�ե�å����Ͽ���ή«(numerical flux)�ȸ�����. 
���ο���ή«�ؿ���Ϳ��, Ʊ���˥ե�å��������岽��Ԥ���ˡ�Ȥ���, 
Roe��ή«��ʬΥ(Flux difference splitting: FDS)ˡ\citep{Roe1981}, Van Leer��ή«�٥��ȥ�ʬΥ(Flux vector splitting: FVS)ˡ��ͭ̾�Ǥ���. 
�ޤ���ǯ�Ǥ�, ����ʬΥˡ(Advective Upstream Splitting Method: AUSM)\citep{Liou1996,Liou2006}���ͰƤ���Ƥ���. 
AUSM ²�Υ��������, ή«�䥳�ӥ���θ�ͭ�ͤι�¤���ۤˤ�ɬ�פȤ��ʤ�����, 
FDSˡ��FVS ˡ�����, �׻���Ψ���⤯, �������ưפǤ���. 

�絤��۴ĤΤ褦����ޥåϿ�ή����Ф���ƿ���ή«�ؿ���Ŭ������, \citet{Ullrich2010,Ullrich2012AMS,Ullrich2012}�ˤ�ä�Ĵ�٤��Ƥ���. 
\citet{Ullrich2010}�Ǥ�, ���������ǥ��ɸ��ƥ��ȥ�����\citep{Williamson1992_ShallowWater_TestCase}���Ѥ���, Rusanov��������, Roe��������, AUSM$^{+}$-up�����������ǽ����Ӥ�, 
AUSM$^{+}$-up����������Ѥ�����������Ū�˺Ǥ����٤��ɤ���̤������뤳�Ȥ�Τ��᤿. 
�ޤ�, ��餬�Ԥä�����ϤΥƥ��ȥ������Ǥ�, Roe��������� AUSM$^{+}$-up ������������٤κ��Ϥ��ޤ��礭���ʤ��Ȥ�����̤��Ф�.  
������, Roe��������ʤɤζ���꡼�ޥ��ˡ����ޥåϿ�ή����Ф��Ƥ��Τޤ��Ѥ����, 
������٤�ȿ���׻��ˤ������«�����������뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���. 
�������򤹤뤿��ˤ�, \citet{WeissAndSmith1995}�ʤɤ�������ˡ�����꡼�ޥ��ˡ��Ŭ�Ѥ���ɬ�פ�����. 
����, \citet{Liou2006}����ȯ���� AUSM$^{+}$-up���������, ��ޥåϿ�ή����Ф��Ƥ�Ŭ�ѤǤ���褦�˳�ĥ���줿 AUSM ²��������Ǥ���. 
�������ä�, �ܸ���Ǥ�, �׻���Ψ����ޥåϿ�ή��ؤ�Ŭ�����δ�������, 
����ή«��ɾ����ˡ�Ȥ��� AUSM$^{+}$-up����������Ѥ��뤳�Ȥˤ���. 

\subsection{ľ��}
���̤˿���ή«��ɾ���ˤ�����, ����ή«�ؿ����Ϥ����®�٥٥��ȥ����ʬ��ľ���ɸ�ϤǤΥ٥��ȥ���ʬ�Ǥ���. 
�������ä�, Ω�����̺�ɸ�Ϥˤ�����®�٥٥��ȥ���ʬ$(u^\alpha, u^\beta)$��, 
�Ƹ������볦�̤ˤ�����ľ���ɸ�ϤǤ�®����ʬ���Ѵ�����ʤ���Фʤ�ʤ�. 
�Ƹ������볦�̤ˤ����� 3 ����ľ���ɸ�Ϥ�, 
�оݤȤ��볦�̤˿�ľ�ʴ���$\Dvect{e}_\perp$��, ���̤�ʿ�Ԥ� 2 �Ĥδ���$\Dvect{e}_1,\; \Dvect{e}_2$�ˤ�äƹ�������. 
ľ����줬������줿���ˤ�����, Ǥ�դΥ٥��ȥ�$\Dvect{v}$��, 
Ω�����̺�ɸ�Ϥˤ����뼫������$\{ \Dvect{g}_\alpha,\; \Dvect{g}_\beta,\; \Dvect{g}_r \}$��Ȥä�, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{v} = v^\alpha \Dvect{g}_\alpha + v^\beta \Dvect{g}_\beta + v^r \Dvect{g}_r,  
\end{equation} 
%%
���뤤��ľ�����$\{ \Dvect{e}_\perp, \; \Dvect{e}_1, \; \Dvect{e}_2 \}$��Ȥä�, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{v} = v^\perp \Dvect{e}_\perp + v^1 \Dvect{e}_1 + v^2 \Dvect{e}_2 
\end{equation} 
%%
�Ƚ񤱤�. 
�����κ�ɸ�ϴ֤��Ѵ���, ����ľ�򲽹���$\mathcal{O}_d(\alpha, \beta, r)$��𤷤Ƥʤ����. 
���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
  \begin{pmatrix}
	v^\perp \\ v^1 \\ v^2
  \end{pmatrix}
= \mathcal{O}_d(\alpha, \beta, r)
  \begin{pmatrix}
	v^\alpha \\ v^\beta \\ v^r
  \end{pmatrix}.  
\end{equation}
%%
������, $d \in {\alpha, \beta, r}$�Ǥ���, ����˸��ꤵ����ɸ��ɽ��. 
Ʊ�ͤ�, ľ����줫�鼫������ؤ��Ѵ���, �չ���$\mathcal{O}^{-1}_d(\alpha, \beta, r)$���Ѥ���, 
%%
\begin{equation}
  \begin{pmatrix}
	v^\alpha \\ v^\beta \\ v^r
  \end{pmatrix}  
= \mathcal{O}^{-1}_d(\alpha, \beta, r)
  \begin{pmatrix}
	v^\perp \\ v^1 \\ v^2
  \end{pmatrix}. 
\end{equation}
%%
����Ω����ɸ�Ϥμ�������$\{ \Dvect{g}_\alpha,\; \Dvect{g}_\beta \}$��, 
�����δ�����Ф��ƿ�ľ�Ǥ������������줿���������δ����������Τ�, ñ��$\Dvect{e}_2 = \Dvect{g}_r$�Ȥ���Ф褤. 
�������ä�, �����Ѵ������ 2 $\times$ 2������Ȥʤ�. 
���Ū��, �����$\alpha$�ޤ���$\beta$�θ������볦�̤ˤ������Ѵ�����Ϥ��줾��, 

%%
{\footnotesize
\begin{equation}
 \mathcal{O}_\alpha = 
  \begin{pmatrix}
	\dfrac{\sqrt{1+X^2}}{\delta} && 0  \\
	\dfrac{-XY^2\sqrt{1+X^2}}{\delta^2} && \dfrac{(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}}{\delta^2}  
  \end{pmatrix}, 
\end{equation}
\begin{equation}
 \mathcal{O}_\beta = 
  \begin{pmatrix}
	0 && \dfrac{\sqrt{1+Y^2}}{\delta}  \\
	\dfrac{(1+X^2)\sqrt{1+X^2}}{\delta^2} && \dfrac{-XY\sqrt{1+Y^2}}{\delta^2}  
  \end{pmatrix} 
\end{equation}
}
%%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
����, ���Ѵ������, 

%%
{\footnotesize
\begin{equation}
 \mathcal{O}^{-1}_\alpha = 
  \begin{pmatrix}
	\dfrac{\delta}{\sqrt{1+X^2}} && 0  \\
	\dfrac{XY \delta}{(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}} && \dfrac{\delta^2}{(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}}  
  \end{pmatrix}, 
\end{equation}
\begin{equation}
 \mathcal{O}^{-1}_\beta = 
  \begin{pmatrix}
	\dfrac{XY \delta}{(1+X^2)\sqrt{1+Y^2}} && \dfrac{\delta^2}{(1+X^2)\sqrt{1+Y^2}}  \\
	\dfrac{\delta}{\sqrt{1+Y^2}} && 0  
  \end{pmatrix} 
\end{equation}
}
%%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
���������줿�����, �٥��ȥ�$\Dvect{v}$�ο�ʿ��ʬ���Ф��ƤΤߺ��Ѥ���. 


\subsection{AUSM$^{+}$-up��������}
%�����Ǥ�,  $\alpha$����θ������볦�̤��Ф���, 
%AUSM$^{+}$-up��������ˤ�����ή«�η׻���ˡ����������.  
%$\beta$����ޤ���$r$����γ��̤��Ф��Ƥ�, Ʊ�ͤ���ˡ�ǿ���ή«��������. 
%
�ǽ��, �оݤȤ��븡�����볦�̤ˤ�����, ���̤˿�ľ�ʴ���$\Dvect{e}_\perp$��, ���̤�ʿ�Ԥ� 2 �Ĥδ���$\Dvect{e}_1,\; \Dvect{e}_2$�ˤ�äƹ��������, 
3 ����ľ���ɸ�Ϥ�Ƴ������. 
����ľ���ɸ�Ϥˤ�����®�٥٥��ȥ��
$\Dvect{v} = v^\perp \Dvect{e}_\perp + v^1 \Dvect{e}_1 + v^2 \Dvect{e}_2 $ 
�Ƚ񤯤��Ȥˤ���. 
���γ�������®����ʬ$(v^\perp, v^1, v^2)$��Ȥä����֥٥��ȥ��, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{Q} = (\rho, \; \rho v^\perp, \; v^1, \; v^2, \; \rho e_t)^T
\end{equation}
%%
�ޤ�$\Dvect{e}_\perp$��������Ǵ��ή«��
%%
\begin{equation}
 \Dvect{F}_\text{inv} = (\rho v^\perp, \; \rho v^\perp v^\perp + p, \; \rho v^1 v^\perp, \; \rho v^2 v^\perp, \; \rho H v^\perp)^T
\end{equation}
%%
���������. 
������, $H=e_t + p/\rho$��������ȥ��ԡ��Ǥ���. 
 
AUSM²�Υ�������϶��̤���, ����ʳ��Ȥ�����Ǵ��ή«����ή�ե�å����Ȱ��ϥե�å������ۤ�ʬ�䤹��. 
���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{F}_\text{inv} = \Dvect{F}^{(c)} + \Dvect{P} = \dot{m} \vec{\psi} + \Dvect{P}.
 \label{eq:AUSM_invisFluxSplitting}
\end{equation}
%%
������, $\dot{m}=\rho v^\perp$, $\vec{\psi} = (1. \; v^\perp, \; v^1, \; v^2, H)^T$�Ǥ���. 
��ή�ե�å�������¸§�Υ����ƥ����Τǥ����顼�μ��̥ե�å���$\dot{m}$��ͭ��, 
�٥��ȥ���$\vec{\psi}$��$\dot{m}$�ˤ�äư�ή������������դ�ɬ�פǤ���. 
���ϥե�å����ϰ��Ϲ�Τߤ�ޤ�. 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{P} = (0,\; p, \; 0, \; 0, \; 0)^T. 
\end{equation}
%% 
����ή«$\Dvect{f}_{1/2}$��, Υ��������(\ref{eq:AUSM_invisFluxSplitting})��ɽ�����ݤ��ʤ���, 
���̤μ��̥ե�å������Ѥ���, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{f}_{1/2} = \dot{m}_{1/2} \vec{\psi}_\text{L/R} + \Dvect{p}_{1/2} 
\end{equation}
%%
�Ƚ񤱤�. 
�ʤ�, ���볦�̤ˤ������̤Ǥ��뤳�Ȥ�ź��$1/2$��ɽ���Ƥ���.
�����, $\vec{\psi}_{L/R}$�ϴ�ñ�����岽�θ����˴�Ť�, 
%%
\begin{equation}
 \vec{\psi}_\text{L/R} = 
 \begin{cases}
  \vec{\psi}_\text{L} & (\dot{m}_{1/2} > 0) \\
  \vec{\psi}_\text{R} & \text{otherwise}
 \end{cases}
\end{equation}
%%
�ˤ�äƷ��ꤵ���. 
$\vec{\psi}_L, \; \vec{\psi}_R$��, �����θ�������ˤ�����ƹ��ۤˤ�ä������륻�볦�̤Ǥ��ͤǤ���. 

���볦�̤μ��̥ե�å���$\dot{m}_{1/2}$��, 
%%
\begin{equation}
 \dot{m}_{1/2} = v^\perp_{1/2} \; \rho_\text{L/R} = a_{1/2} M_{1/2} 
 \begin{cases}
  \vec{\rho}_\text{L} & (v^\perp_{1/2} > 0) \\
  \vec{\rho}_\text{R} & \text{otherwise}.
 \end{cases}
\end{equation} 
%%
�η����ǽ񤫤��. 
������, $v^\perp_{1/2}, M_{1/2}, a_{1/2}$�Ϥ��줾��, ���̤ˤ�������ή®��, �ޥåϿ�, ��®�Ǥ���. 
$\rho_\text{L/R}$��, $v^\perp_{1/2}$�ˤ�äư�ή�����̩�٤Ǥ���,  
%%��ή�ե�å�������¸§�ηϤ�������ȴ�Ϣ�դ����뤿��, 
���岽�γ�ǰ�ˤ��$v^\perp_{1/2}$�������ˤ�äƵ��ꤵ���. 
����ѿ��Ȥ���Ƴ�����줿�ޥåϿ�$M_{1/2}$��ɽ������, AUSM²�γƥ�������ˤ��ۤʤ�. 
�����꼰���ˤ���������Ū���طʤ���ޥåϿ�ή��Τ������®�ٳ�ĥ�ξܺ٤ˤĤ��Ƥ�, \citet{Liou2006}�򻲾Ȥ��줿��. 
�����Ǥ�, AUSM$^{+}$-up��������ˤ�����$M_{1/2}$��$p_{1/2}$��ɽ����ñ�˼��������ˤ���. 
����, ���볦�̺����ΥޥåϿ���, 
%%
\begin{equation}
 M_\text{L/R} = \dfrac{v^\perp_\text{L/R}}{a_{1/2}}, 
\end{equation}
%%
�ɽ�Ū��ʿ�ѥޥåϿ���
%
\begin{equation}
 \overline{M}^2 = \dfrac{M_\text{L}^2 + M_\text{R}^2}{2}
\end{equation}
���������.  
�ޤ�, ���볦�̤ˤ����벻®$a_{1/2}$��, �����Ǥϴ�ñ�˺�����ʿ�ѤȤ��� 
$a_{1/2}=(a_\text{L}+a_\text{R})/2$�ˤ�ä�������뤳�Ȥˤ���. 
���ΤȤ���®�ٳ�ĥ���줿 AUSM$^{+}$-up��������ˤ����륻�볦�̤ΥޥåϿ���, 
%%
\begin{equation}
 M_{1/2} = 
  \mathcal{M}^+_{(4)}(M_L) + \mathcal{M}^-_{(4)}(M_R)
  - \dfrac{K_p}{f_a} \; \text{max}(1-\sigma\overline{M}^2, 0) \dfrac{p_R - p_L}{\rho_{1/2} a^2_{1/2}}
 \label{eq:AUSM+up_numericMachNum}
\end{equation}
%%
����������. 
������, 
%%
{\footnotesize
\begin{equation}
 \mathcal{M}^\pm_{(2)}(M) = \dfrac{1}{4} (M \pm 1)^2, \;\;
 \mathcal{M}^\pm_{(2)}(M) =
 \begin{cases}
  \dfrac{1}{2} (M \pm |M|) & (|M| \ge 1) \\
  \mathcal{M}^\pm_{(2)} (M) ( 1 \mp 16 \tilde{\beta} \mathcal{M}^\mp_{(2)}(M)) & (\text{otherwise})
 \end{cases}
\end{equation}
}
%%
����, ��®�ٳ�ĥ���줿 AUSM$^{+}$-up��������ˤ����륻�볦�̤ΰ��Ϥ�,
%%
\begin{equation}
 p_{1/2} = 
    \mathcal{P}^+_{(5)}(M_L) p_L + \mathcal{P}^-_{(5)}(M_R) p_R
   -K_u \mathcal{P}^+_{(5)} \mathcal{P}^-_{(5)} (\rho_L + \rho_R)(f_a a_{1/2}) (v^\perp_R - v^\perp_L)����
 \label{eq:AUSM+up_numericPressFlux}
\end{equation}
%%
����������. 
������, 
%%
{\footnotesize
\begin{equation}
 \mathcal{P}^\pm_{(5)}(M) =
 \begin{cases}
  \dfrac{1}{2} (1 \pm \text{sign}(M)) & (|M| \ge 1) \\
  \mathcal{M}^\pm_{(2)} (M) \left[(\pm2-M) \mp 16 \alpha M \mathcal{M}^\mp_{(2)}(M)\right] 
   & (\text{otherwise}). 
 \end{cases}
\end{equation}
}
%%
���Ϳ����줿$M_{1/2}, p_{1/2}$�ˤ�, ��ޥåϿ�ή����Ф��ƳȻ���򥹥�����󥰤��뤿��δؿ�  
%%
\begin{equation}
 f_a(M_o) = M_o(2-M_o) \in [0,1], \;\; M_o^2 = \min(1,\max(\overline{M}^2, M^2_{\infty})) \in [0,1] 
\end{equation}
%%
���ޤޤ��. 
���Υ�������󥰴ؿ���, ��ޥåϿ��ˤ����ư��Ϥξ����ʿ�ư�����㼡��®�پ�˰��ƶ���ڤܤ��ʤ������Ƴ�����줿
������, $M_\infty$��̵����ޥåϿ��Ǥ���. 
�ޤ�, 
%%
\begin{equation}
 \alpha=3(-4+5f_a^2)/16, \;\;\; \beta=1/8 .  
\end{equation}
%%
�Ǹ��, $M_{1/2}, p_{1/2}$�ˤ�, �ե꡼�ѥ�᡼��$K_p, K_u, \sigma \in [0,1]$��¸�ߤ��뤬,  
\citet{Liou2006}�Ǥ�, 
$$
 K_p=0.25, \;\; K_u = 0.75, \;\; \sigma = 1.0
$$ 
�����Ф�Ƥ���. 
�ܸ���ǤϾ���ͤ����ͤȤ�, ������$(K_p)_\text{ref}, (K_u)_\text{ref}$��ɽ�����Ȥˤ���. 

������, DECAMO ���꼰���ˤ�����, ���ϸ��۹����ư��ΰ���$p'$(�ſ尵ʿ�դ���Τ���)��Ȥäƽ񤫤�뤿��, 
��������󥰴ؿ�$f_a$��ɬ�פʤ�. 
$f_a=1$�Ȥ����AUSM$^{+}$-up�����������®�ٳ�ĥ������ܥ�����������Τ�, 
(\ref{eq:AUSM+up_numericMachNum}), (\ref{eq:AUSM+up_numericPressFlux})�򤽤줾��, 
%%
\begin{equation}
 M_{1/2} = 
  \mathcal{M}^+_{(4)}(M_L) + \mathcal{M}^-_{(4)}(M_R)
  - K_p \; \text{max}(1-\sigma\overline{M}^2, 0) \dfrac{p'_R - p'_L}{\rho_{1/2} a^2_{1/2}}, 
 \label{eq:AUSM+up_numericMachNum_fa1}
\end{equation}
%%
%%
%{\small
\begin{equation}
 p'_{1/2} = 
    \mathcal{P}^+_{(5)}(M_L) p'_L + \mathcal{P}^-_{(5)}(M_R) p'_R
   -K_u \mathcal{P}^+_{(5)} \mathcal{P}^-_{(5)} (\rho_L + \rho_R)(a_{1/2}) (v^\perp_R - v^\perp_L)����
 \label{eq:AUSM+up_numericPressFlux_fa1}
\end{equation}
%}
�Ƚ񤭴����뤳�Ȥˤ���. 


\subsection{��ľ�����ο���ή«�Τ���� AUSM$^{+}$-up�����������������}
���ѥ���������絤�α�ư�ˤ����Ʊ�ľ®�٤����˾�����(cm/s ������)�Τ�, 
AUSM$^{+}$-up������������������뤳�Ȥˤ�ä�, ����ή«�ؿ��Ϥ���ñ�������. 
���μ���, \citet{Ullrich2012AMS}�ˤ�������������Ƥ���. 
�����������ˤ���ľ�����Υե�å������Υ�������������äȴ�ñ�ˤʤ뤿��, 
��Ū�ʱ�ľ�����λ�����ʬ���Ѥ������������������β���Ū�ʥ䥳�ӥ����, ���Ū��ñ�ʷ��������뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�����������줿AUSM$^{+}$-up��������Ǥ�, ��ľ�����θ������볦�̤ˤ������������δ�಻®��, 
�ſ尵�絤�β�®$\overline{a}^h_{1/2}=\sqrt{\gamma \overline{p}^h_{1/2}/\overline{\rho}^h_{1/2}}$�ˤ�ä�Ϳ����. 
�������������η��, ��ľ�����θ������볦�̤ˤ����볦�̤˿�ľ��®��$v^\perp_{1/2}$��, 
%%
\begin{equation}
 w_{1/2} = v^\perp_{1/2} = 
  \dfrac{(\rho v^\perp)_\text{L} + (\rho v^\perp)_\text{R}}{\rho_\text{L} + \rho_\text{R}}
  - (K_p)_V \;  \dfrac{p'_R - p'_L}{\overline{\rho}_{1/2}^h \overline{a}_{1/2}^h}, 
\end{equation}
%%
�������볦�̤ˤ����밵�Ϥ�, 
%%
\begin{equation}
 p'_{1/2} = \dfrac{p'_L + p'_R}{2} 
 - (K_u)_V  \dfrac{ \overline{\rho}^h_{1/2}\overline{a}^h_{1/2} }{2} ((v^\perp)_\text{R} - (v^\perp)_\text{L})
\end{equation}
%%
�ȴ�ñ�������. 
������, $(K_p)_V, (K_u)_V$��ź��$V$��, 
��ľ�����Υ��볦�̤��Ф���Ŭ�Ѥ����AUSM$^{+}$-up��������Υե꡼�ѥ�᡼���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. 
����, ��ʿ�����Υ��볦�̤��Ф���AUSM$^{+}$-up��������Υե꡼�ѥ�᡼����ź��$H$���Ѥ���, 
$(K_p)_H, (K_u)_H$��ɽ�����Ȥˤ���.
