%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theequation}{A.\arabic{equation}}
\def\thesection{A.\arabic{section}}
\def\thesubsection{A.\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\setcounter{equation}{0}
\chapter{{ ����Ω����ɸ�Ϥδ���Ū������}}
������Ͽ�Ǥ�, �����絤�������ϳ����������꼰���ˤ�����, Ω�����̺�ɸ�Ϥ�Ƴ������ݤ�ɬ�פ�, 
��ȥ�å�����ɸ�Ѵ��ʤɤˤĤ��ƤޤȤ��. 
����Ͽ���̤��Ϥ�, �����󥷥奿����ν���§��Ŭ�Ѥ���. 
�ޤ�, Ω�����̺�ɸ�ˤ�����, ����ǥå�����, �ƺ�ɸ�����б�����$\alpha, \beta, r$���ͤ�Ȥ�Ȥ���. 

\section{����}
���̤�, Ω�����̳ʻҤγƥѥå��Ƕ��̤Ǥ��뤬, �ѥå���Ǻ�ɸ�˱������Ѳ�����. 
�����$r$�ε��̤ˤ�����2�����η��̤�, ���ѥ���ǥå������뤤��ȿ�ѥ���ǥå����Τ����줫��Ȥä�, 
���Τ褦����������($G^{ij}=(G_{ij})^{-1}$�Ǥ��뤳�Ȥ�����). 
%%
\begin{equation}
��\widehat{G}_{ij} = \dfrac{r^2 (1+Y^2)(1+X^2)}{\delta^4}
  \begin{pmatrix}
  1+X^2 & -XY \\
  -XY & 1+Y^2
  \end{pmatrix},
\end{equation}
%%
%%
\begin{equation}
��\widehat{G}^{ij} = \dfrac{\delta^2}{r^2 (1+Y^2)(1+X^2)}
  \begin{pmatrix}
  1+Y^2 & XY \\
  XY & 1+X^2
  \end{pmatrix}.
\end{equation}
%%
Ω�����̺�ɸ�Ϥ����������δ���٥��ȥ��, ���ɸ�Ϥ�Ʊ�ͤ�, �����$r$�̤��Ф��ɤ��Ǥ�ľ��, �ޤ�����������Ƥ���. 
�Τ�, 3����������Ф��봰���ʷ��̤�, ����������ñ����ʬ�˱�ä�2������ʬ��ʬ�򤵤��. 
�������ä�, 
%%
\begin{equation}
��G_{ij} = 
  \begin{pmatrix}
  \widehat{G}_{ij} & 0 \\
  0 & 1
  \end{pmatrix},
\;\;\;
��G^{ij} = 
  \begin{pmatrix}
  \widehat{G}^{ij} & 0 \\
  0 & 1
  \end{pmatrix}.
  \label{eq:CubedSpheredCoord_metric}
\end{equation}
%%
������ɸ�Ϥˤ�����, ���̤Ϻ�ɸ�Ϥ�ľ�����˲ä������Ĺ������ꤹ����䤬����. 
2�ĤΥ٥��ȥ�����Ѥϼ��Τ褦����������. 
%%
\begin{equation}
 <\Dvect{v}, \Dvect{w}> = G_{ij} v^i w^j, 
\end{equation}
%%
������, $v^i, w^j$�Ϥ��줾��Ω�����̺�ɸ�Ϥγƴ�����б�����$\Dvect{v}, \Dvect{w}$����ʬ�Ǥ���. 
Ω�����̺�ɸ�Ϥδ����Ȥäƽ񤫤줿�٥��ȥ���Ф�, �����礭���Ͼ��������줿���Ѥ�𤷤Ʒ׻������.  
���ʤ��, $|\Dvect{v}|=<\Dvect{v},\Dvect{v}>$. 

���ѷ��̥ƥ󥽥�ι���, ���ʤ���Ѵ��䥳�ӥ���, 
%%
\begin{equation}
��J = \sqrt{\text{det} G_{ij}} = \dfrac{r^2(1+X^2)(1+Y^2)}{\delta^3}, \;\;\;
  \label{eq:CubedSpheredCoord_transformJacob}
\end{equation}
%%
��, ̵�¾���������$d\Dvect{V} = J d\alpha d\beta dr$����ꤹ��. 
Ʊ�ͤ�, $G_{ij}$��;���ҹ���ι���$J_\alpha, J_\beta, J_r$��, 
��Ĥκ�ɸ�ѿ�����ꤹ�뤳�Ȥ������������̾��̵�¾�����
$dA_\alpha=J_\alpha d\beta dr, \; dA_\beta=J_\beta d\alpha dr, \; dA_r=J_r d\alpha d\beta$
����ꤹ��. 
������, 
\begin{eqnarray}
 J_\alpha &= \dfrac{r(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}}{\delta^2}, \\  
 J_\beta &= \dfrac{r(1+X^2)\sqrt{1+Y^2}}{\delta^2}, \\  
 J_\alpha &= \dfrac{r^2 (1+X^2)(1+X^2)}{\delta^3}. 
\end{eqnarray}

�ޤ�, ¾�Υ٥��ȥ�α黻�Ϸ��̤Ȥ�������ʪ��𤷤���������. 
2�ĤΥ٥��ȥ�γ��Ѥ�, 
%%
\begin{equation}
 (\Dvect{u}\times \Dvect{v})^i = J G^{ij} \epsilon_{jkl} u^k v^l
\end{equation}
����������. 
������, $\epsilon_{ijk}$�ϥ����=������������Ǥ���. 

\section{����Ω����ɸ�Ϥˤ�������ʬ�黻��}
Ω�����̺�ɸ�Ϥμ�������$\{\Dvect{e}_\alpha, \Dvect{e}_\beta, \Dvect{e}_r\}$��Ȥä�, 
���֥٥��ȥ�$\Dvect{r}$��, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{r} = x^\alpha \Dvect{e}_\alpha + x^\beta \Dvect{e}_\beta + x^r \Dvect{e}_r
\end{equation}
%%
���������. 
���ΤȤ�, ���۱黻�Ҥ�,  
%%
\begin{equation}
 \nabla^i \phi = G^{ij} \DP{\phi}{x^j},  
\end{equation}
%%
�ޤ�ȯ���黻�Ҥ�, 
%%
\begin{equation}
 \nabla \cdot \Dvect{F} = \dfrac{1}{J}\DP{\;}{x^k} (JF^k)
\end{equation}
%%
�η�����Ȥ�. 
������, ����$G^{ij}$, �Ѵ��䥳�ӥ���$J$�ˤ�, 
���줾��(\ref{eq:CubedSpheredCoord_metric}), (\ref{eq:CubedSpheredCoord_transformJacob})���Ѥ���. 

�ޤ�, 2���ƥ󥽥��ȯ����, 
%%
\begin{equation}
 \nabla_j T^{ij} = \dfrac{1}{J}\DP{\;}{x^j} (JT^{ij}) + \Gamma^i_{jk} T^{jk}
\end{equation}
%%
�Ƚ񤫤��. 
������, $\Gamma^i_{jk}$������說�ꥹ�ȥåե��뵭��Ǥ���, 
���̤˷��̤�Ȥä�, 
%%
\begin{equation}
 \Gamma^i_{jk} = \dfrac{1}{2} G^{im} \left(\DP{G_{jm}}{x^k} + \DP{G_{km}}{x^j} - \DP{G_{jk}}{x^m} \right)
\end{equation}
%%
�Ƚ񤫤��. 
��, (\ref{eq:CubedSpheredCoord_metric})���Ѥ��뤳�Ȥˤ��,
����Ω�����̺�ɸ�Ϥ��Ф���$\Gamma^i_{jk}$�ϼ��Τ褦��������. 
%%
\begin{eqnarray}
\Gamma^\alpha &=& 
 \begin{pmatrix}
	\frac{2XY^2}{\delta^2} & \frac{-Y(1+Y^2)}{\delta^2} & \frac{1}{r} \\
	\frac{-Y(1+Y^2)}{\delta^2} & 0 & 0 \\
	\frac{1}{r} & 0 & 0
 \end{pmatrix}, \\
\Gamma^\beta &=& 
 \begin{pmatrix}
	0 & \frac{-X(1+X^2)}{\delta^2} & 0 \\
	\frac{-X(1+X^2)}{\delta^2} & \frac{2X^2 Y}{\delta^2} & \frac{1}{r} \\
	0 & \frac{1}{r} & 0
 \end{pmatrix}, \\
\Gamma^r &=& 
\dfrac{r(1+X^2)(1+Y^2)}{\delta^4}
\begin{pmatrix}
    -(1+X^2) & XY & 0 \\
	XY & -(1+Y^2) & 0 \\
	0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray}


%%
%\section{��������ε���}
\section{������ɸ�Ϥȵ���Ω����ɸ�ϴ֤κ�ɸ�Ѵ�}
������ɸ�Ϥȵ���Ω����ɸ�ϴ֤ˤ�����Ǥ�դΥ٥��ȥ�$\Dvect{v}$�κ�ɸ�Ѵ���ͤ���. 
������ɸ�Ϥ���ӵ���Ω����ɸ�Ϥμ�������򤽤줾��, 
$\{\Dvect{e}_\lambda, \Dvect{e}_\phi\}$, $\{\Dvect{e}_\alpha, \Dvect{e}_\beta\}$�Ȥ���Ȥ�, 
�٥��ȥ�$\Dvect{v}$�Ϥ���2����δ����Ȥä�, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{v} = v^\lambda \Dvect{e}_\lambda + v^\phi \Dvect{e}_\phi
          = v^\alpha \Dvect{e}_\alpha + v^\beta \Dvect{e}_\beta
\end{equation}
%%
�Ƚ񤫤��. 
���Ĥκ�ɸ�ϴ֤ǤΥ٥��ȥ���ʬ���Ѵ���, �ѿ�����$\Dvect{A}$��ȤäƤʤ����. 
���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
 \begin{pmatrix}
   v^\alpha  \\ 
   v^\beta
 \end{pmatrix}
 = \Dvect{A}
 \begin{pmatrix}
   v^\lambda  \\ 
   v^\phi
 \end{pmatrix}, \;\;\;
  \begin{pmatrix}
   v^\lambda  \\ 
   v^\phi
 \end{pmatrix}
 = \Dvect{A}^{-1}
 \begin{pmatrix}
   v^\alpha  \\ 
   v^\beta
 \end{pmatrix}.  
\end{equation}
%%
������, $\lambda$�Ϸ���($\lambda=0$���ѥå�1��$\alpha=0$�Ȱ��פ��뤹��褦�����Ф��), 
$\phi$�ϰ��٤Ǥ���. 
��, ������ɸ�Ϥδ���$\{\Dvect{e}_\lambda, \Dvect{e}_\phi\}$������ľ�����Ǥʤ�, ��������Ǥ��뤳�Ȥ����դ��줿��. 

\subsection{��ƻ�ѥå��ˤ������ɸ�Ѵ�}
��ƻ�ѥå���, ����ǥå���$n_p \in {1,2,3,4}$�ˤ�ä�ɽ�����. 
��, $n_p=1$��$\lambda=0$�ΰ�����ޤ�ѥå����б�����Ȥ���. 
����ƻ�ѥå��ˤ�����Ω�����̺�ɸ�Ϥ�������ɸ�ϴ֤ΰ��ֺ�ɸ���Ѵ���, ���δط��ˤ�ä���������. 
%%
\begin{equation}
 \alpha = \lambda - \dfrac{\pi}{2} (n_p-1), \;\;\;
 \beta = \arctan\left(\dfrac{\tan{\phi}}{\cos{\lambda}} \right)
\end{equation}
%%
\begin{equation}
 \lambda = \alpha + \dfrac{\pi}{2} (n_p-1), \;\;\;
 \phi = \arctan{(\tan \beta \cos \alpha)}
\end{equation}
%%
��ƻ�ѥå��ˤ�����, �Ѵ�����$A$�Ͽ��ͺ�ɸ��$(X,Y)$��Ȥä�, 
\begin{eqnarray}
��\Dvect{A} &=& 
  \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{XY}{1+Y^2} & \frac{\delta^2}{(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}}
  \end{pmatrix} \\
��\Dvect{A}^{-1} &=& 
  \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-XY\sqrt{1+X^2}}{\delta^2} & \frac{(1+Y^2)\sqrt{1+X^2}}{\delta^2}
  \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
%
����������. 

\subsection{�˥ѥå��ˤ������ɸ�Ѵ�}
�˥ѥå���, ����ǥå���$n_p \in {5,6}$�ˤ�ä�ɽ�����. 
��, $n_p=5$���̶ˤ�ޤ�ѥå�, $n_p=6$����ˤ�ޤ�ѥå����б�����Ȥ���. 
������,  �ѥå��λؼ���$s$��Ƴ������.  
$n_p=5$���Ф���$s=1$,��$n_p=6$���Ф���$s=-1$�Ȥ���. 

�˥ѥå��ˤ�����Ω�����̺�ɸ�Ϥ�������ɸ�ϴ֤ΰ��ֺ�ɸ���Ѵ���, ���δط��ˤ�ä���������. 
%%
\begin{equation}
 \alpha = s\arctan(\cot{\phi} \sin{\lambda}), \;\;\;
 \beta = -\arctan(\cot{\phi} \cos{\lambda})
\end{equation}
%%
\begin{equation}
 \lambda = - \arctan \left( \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta} \right), \;\;\;
 \phi = s \; \text{arccot} ( \sqrt{\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta} )
\end{equation}
%%
��ƻ�ѥå��ˤ�����, �Ѵ�����$A$��, 
\begin{eqnarray}
��\Dvect{A} &=& 
  \begin{pmatrix}
  \frac{-sY}{1+X^2} & \frac{-s\delta^2 X}{(1+X^2) \sqrt{X^2+Y^2}} \\
  \frac{sX}{1+Y^2} & \frac{-s\delta^2 Y}{(1+Y^2) \sqrt{X^2+Y^2}}
  \end{pmatrix} \\
��\Dvect{A}^{-1} &=& 
  \begin{pmatrix}
  -\frac{sY(1+X^2)}{X^2+Y^2} & \frac{sX(1+Y^2)}{X^2+Y^2} \\
  -\frac{sX(1+X^2)}{\delta^2 \sqrt{X^2+Y^2}} & -\frac{sY(1+Y^2)}{\delta^2 \sqrt{X^2+Y^2}}
  \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
%
����������. 
