\chapter{中緯度ロスビー波}\label{rossby-wave}
%\section{ロスビー波}

本章では, 中緯度に於いて $f$ が緯度変化することにより存在する波動を考え
る. これらは{\bf ロスビー波}と呼ばれ, 大気中における波動の場合, その空間
スケールは非常に大きい. これが{\bf 惑星波}と呼ばれる由縁である. 一方, 海
洋の場合, その波長はわずか100km程度である. ロスビー波の周波数は,
$\omega\ll f$ の場合に対応する. 振動数が $f$ と比べてはるかに小さいため
に, 時間微分項はコリオリ力や圧力傾度力とくらべて小さいオーダを持つ. この
ような地衝流に近い運動のことを, {\bf 準地衝流運動}と呼んでいる.

\section{準地衝流渦度方程式}
%\subsection{準地衝流渦度方程式}

ロスビー波の定式化のため, 本節では準地衝流渦度方程式を導出する. 簡単のた
め, $\beta$ 平面近似は $\beta y\ll f_{0}$ の場合に妥当であるとする(これ
は, 大気の全球規模のロスビー波の場合には適当ではない). 以下では, 平均流
を 0 とした場合の定式化を行い, 最後に一様な平均流を重ね合わせることにす
る. また, 速度場は, 最も低次のオーダでは地衝流平衡にあるとする. %\\

浅水波の場合のポテンシャル渦度方程式から出発する: 
\begin{equation}
 \frac{D}{Dt}\left(\frac{f+\zeta}{h}\right) = 0 \label{shallow-potential-q-eq}
\end{equation}
上式を展開して
\begin{equation}
 h\frac{D}{Dt}(f+\zeta) - (f+\zeta)\frac{Dh}{Dt} = 0
\end{equation}
$h=H+\eta$ (ただし, $H$ は擾乱の無い基本場の層厚, $\eta$ は表面変位)とす
ると, 
\begin{equation}
 (H+\eta)\left(
	   \frac{\partial\zeta}{\partial t}
	 +u\frac{\partial\zeta}{\partial x}
	 +v\frac{\partial\zeta}{\partial y}
	 -\beta v
	 \right)
-(f_{0}+\zeta)\left(
	   \frac{\partial\eta}{\partial t}
	 +u\frac{\partial\eta}{\partial x}
	 +v\frac{\partial\eta}{\partial y}
	  \right)
= 0 \label{shallow-potential-q-eq-perturbation}
\end{equation}
ここで, $Df/Dt = v(df/dy)=\beta v$ である. また, $\beta$ 平面近似では
$df/dy$ を含む項を除いて $f$ の緯度変化は考えないので, $f$ を含む項は
$f_{0}$ とした. 小さな擾乱成分の場合(擾乱成分はロスビー数のオーダである
から), (\ref{shallow-potential-q-eq-perturbation})において2次の非線形項
は無視することが出来る. したがって, 線形化を施すと次式を得る:
\begin{equation}
  H\frac{\partial\zeta}{\partial t} 
+ H\beta v
- f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t} 
= 0 \label{shallow-potential-q-eq-linearized}
\end{equation}
これは, 線形化したポテンシャル渦度方程式である. ここで, 初めの仮定より最
低次の速度場はほぼ地衝流平衡
\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  u &\simeq& -\displaystyle\frac{g}{f}
              \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y} \\[2ex]
  v &\simeq&  \displaystyle\frac{g}{f}
              \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x} 
 \end{array} \label{geostrophic-velo}
\end{equation}
にあるから\footnote{地衝流平衡にある速度場では, 水平発散は厳密に 0 であ
り, $\partial\eta/\partial t = 0$ となるが,
(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})では $\partial\eta/\partial t=0$
とはしない. これは, 地衝流平衡からのずれが流れの時間発展を記述するからで
あり, 時間微分項を残しておく必要があるためである.},
(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})式より準地衝流渦度方程式を得る
ことができる. (\ref{geostrophic-velo})を用いて渦度表記を行うと次式を得る:
\begin{equation}
 \zeta = \frac{f}{f_{0}}\left(
			 \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			+\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
		        \right)
\end{equation}
上式を(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})に代入して次式を得る: 
\begin{equation}
 \frac{gH}{f_{0}}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
			      \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
		             +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			     \right)
+\frac{gH\beta}{f_{0}}\frac{\partial\eta}{\partial x}
-f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t}
= 0 
\end{equation}
$c=\sqrt{gH}$ を用いて書き換えると, 
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			    +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			    -\frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}\eta
			    \right)
+\beta\frac{\partial\eta}{\partial x}
= 0 \label{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized}
\end{equation}
これが, 線形化した準地衝流渦度方程式である. $c/f_{0}$ はロスビーの変形半
径である. 

\section{ロスビー波の分散関係式}
%\subsection{ロスビー波の分散関係式}

(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})の解を次のよ
うに仮定する: 
\begin{equation}
 \eta = \hat{\eta}e^{i(kx+ly-\omega t)}
\end{equation}
ここで, $\omega$ は正の値として扱い, $k, l$ の符号は位相伝播の方向を決め
るものとする. この $\eta$ を
(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})に代入して以
下の関係式を得る: 
\begin{equation}
 \omega = -\frac{\beta k}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}} \label{rossby-wave-bunsan}
\end{equation} 
これは, ロスビー波の分散関係式である. この分散関係の波数 $k$ と $l$ に関
する非対称性は, ロスビー波の運動が水平方向に等方性を持たないことを意味し
ている(これは $\beta$ 効果によるものである). (\ref{rossby-wave-bunsan})
は, 一層の一様流体について求めたものであるが, 成層のある流体の場合には 
$c=\sqrt{g'H}$ (reduced gravity model), あるいは, $c=NH/n\pi$ (連続成層
モデルの第 $n$ モード)とすれば良い(ただし,
$g'=g(\rho_{2}-\rho_{1})/\rho_{2}$). 順圧モードの場合, $c$ は非常に大きい
ので $f_{0}^{2}/c^{2}$ は 0 として良い.

$k, l$ を水平軸にとり, $\omega$ を鉛直軸にとると,
(\ref{rossby-wave-bunsan})の $\omega$ を分散曲線として描くことが出来る
(図\ref{rossby-wave-pic-bunsan}). 分散関係式(\ref{rossby-wave-bunsan})よ
り, 
\begin{equation}
 \left(
  k + \frac{\beta}{2\omega}
 \right)^{2}
+ l^{2}
= \left(
   \frac{\beta}{2\omega}
  \right)^{2}
- \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}
\end{equation}
となるから, $\omega$ 一定のコンターは円を描く. 
\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[8cm]{ps/FM-Fig.13.29.ps}
 \end{center}
 \vspace{-8mm} 
\caption{ロスビー波の分散曲線 $\omega(k,l)$. 上の図は $l=0$ とした場合の
 $k$ と $\omega$ の関係を示している. 下の図は $k-l$ 平面から見た場合の
 $\omega$ のコンターを示している. 3つの円は, $\omega f_{0}/\beta c$ が,
 0.2, 0.3, 0.4 の場合を示している. $\omega$ のコンターに垂直な矢印は, 群
 速度ベクトル {\protect\boldmath $c_{g}$}の方向を示している.} \label{rossby-wave-pic-bunsan}
\end{figure}
群速度の定義
\begin{equation}
 \mbox{\boldmath $c_{g}$} 
  = \mbox{\boldmath $i$}\frac{\partial\omega}{\partial k}
   +\mbox{\boldmath $j$}\frac{\partial\omega}{\partial l}
\end{equation}
より, {\boldmath $c_{g}$}の方向は $\omega$ のコンターに垂直であることが
分かる. 図\ref{rossby-wave-pic-bunsan} より $l=0$ の場合, 振動数が最大に
なるのは, $kc/f_{0}=-1$ の場合であることが分かる. これより, 振動数が最大
になる場合でもその大きさはコリオリ周期よりもはるかに小さいことが分かる.

(\ref{rossby-wave-bunsan})より, 東西方向の位相速度は以下のようになる: 
\begin{equation}
 c_{x} = \frac{\omega}{k} = -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}}
\end{equation}
このように $c_{x}$ が常に負の値を取ることから, 位相の伝播はいつも西向き
であることがわかる. 位相速度が最大になるのは $k^{2}+l^{2}\rightarrow 0$
の場合であり, これは図\ref{rossby-wave-pic-bunsan} の原点付近の領域によっ
て示された非常に大きな波長帯に対応している. この領域では, 波はほぼ非分散
であり, 次式で与えられる: 
\begin{equation}
 c_{x} = -\frac{\beta c^{2}}{f_{0}^{2}}
\end{equation}
ロスビー波はしばしば, ジェット気流の様な強い東向きの平均流と重ね合わせら
れる. $U$ を東向きの平均流の速度とすると, 観測される東向きの位相速度は以
下の様になる: 
\begin{equation}
 c_{x} = U -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}}
\end{equation}
それ故, 定在ロスビー波($c_{x}=0$)は, 東向きの基本流の流速と西向きの位相
速度が相殺したときに形成される. 

%最後に, (\ref{rossby-wave-bunsan})を浅水系一般の分散関係式
%(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}): 
%
%\begin{equation}
% \omega^{3} - c^{2}\omega (k^{2}+l^{2}) - f_{0}^{2}\omega - c^{2}\beta k = 0 
%\label{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2}
%\end{equation}
%
%\medskip
%から導出することを試みる. ここで, $\omega \ll f$ の場合, 第一項は第三項
%と比べて無視できるから, したがって
%(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2})より,
%(\ref{rossby-wave-bunsan})を得る. 

\section{速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム}

本節では, 中緯度ロスビー波の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメ
カニズムをまとめる. 位相伝搬のメカニズムの議論には, 前述の線形化した準地
衝流渦度方程式を用いる:
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			    +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			    -\frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}\eta
			    \right)
+\beta\frac{\partial\eta}{\partial x}
= 0 \label{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized3}
\end{equation}
波長の長い($k\rightarrow 0$ の)ロスビー長波の場合を考えると, 水平スケー
ル($L$)が非常に大きくなるので,
(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized3}) 式の左辺第
一項(相対渦度)は他の項と比べて相対的に無視することが出来る. こうして, 流
体柱の伸縮による渦位変化(左辺第二項)と, 惑星渦度による渦位変化(左辺第三
項)がバランスした状態で書ける:
\begin{equation}
 \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}
  \frac{\partial\eta}{\partial t}
  =
  \beta\frac{\partial\eta}{\partial x}
  =
  \beta\frac{f_{0}}{g}v
  \label{relative-vorticity-eq3}
\end{equation}
ただし, ここで $f_{0}v = g\partial\eta/\partial x$ の地衝流の関係を用い
た\footnote{準地衝の世界でも, 各瞬間で地衝流の関係が成り立っている.}. こ
れにより, 東西方向に圧力傾度力が存在すれば, そこで圧力傾度力と逆符号の準
地衝流による南北流 $v$ が発生し, この南北流に伴う惑星渦度の生成 $\beta
v$ ($\beta$ 効果)と釣合うように流体中が伸縮(ジオポテンシャルが生成)され
ることが, (\ref{relative-vorticity-eq3})式から分かる. 例えば, 北半球の場
合には, ジオポテンシャルが正の領域の西側で $v>0$, 東側で$v<0$ となる. こ
れに伴い, 惑星渦度は西側で増加し, 東側で減少するので, 絶対渦度の保存によ
り, 流体柱は西側で増加し東側で減少する(上述した様に, 相対渦度はほとんど
変化しない). その結果, ジオポテンシャルの正の領域も西に伝播していく.

次に波長の短い($k\rightarrow$ 大)ロスビー短波の場合を考える. この場合, 
水平スケール($L$)は非常に小さくなるので,
(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized3}) 式の左辺第
一項(相対渦度)は他の項と比べて無視することが出来なくなる. ここで, 連続の式
\begin{equation}
 \frac{\partial\eta}{\partial t} + gH\left(
				        \frac{\partial u}{\partial x}
				      + \frac{\partial v}{\partial y}
				     \right)
 = 0,
\label{rossby-wave-renzoku}
\end{equation}
を用いて (\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized3}) を変
形すると,
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			    +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			    \right)
			    +f_{0}^{2}\left(
				        \frac{\partial u}{\partial x}
				      + \frac{\partial v}{\partial y}
				      \right)
+\beta\frac{\partial\eta}{\partial x}
= 0 \label{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized4}
\end{equation}
こうして, 相対渦度の時間変化(左辺第一項)は, 流体柱の伸縮による渦位変化
(左辺第二項) と, 惑星渦度による渦位変化(左辺第三項)により決定されること
が分かる. 例えば, 北半球の場合には, ジオポテンシャルが正の領域の西側で 
$v>0$, 東側で $v<0$ となる($\beta\frac{\partial\eta}{\partial x}$ とバラ
ンスする地衝流が生じる). これに伴い, 惑星渦度は西側で増加し, 東側で減少
するので, 絶対渦度が保存されるように, 流体柱は西側で増加し東側で減少する, 
もしくは, 相対渦度が西側で減少し東側で増加する(或は, これらの変化が同時
に起こる). その結果, ジオポテンシャルの正の領域も西に伝播していく.