%表題   地球流体波動ノート
%
%履歴   2001/01/27 初版   Hiroshi Taniguchi
%       2001/03/22 第二版 Hiroshi Taniguchi
%
% ------- ドキュメントスタイル ---------

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% -- 数式番号の変更(節.小節.数式番号) --

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\renewcommand{\theequation}{{\rm\thesection .\arabic{equation}}}  


% -------- ヘッダ・フッタの設定 --------

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\Dauthor[谷口 博]{谷口 博}
\Dtitle[地球流体波動ノート]{地球流体波動ノート}

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% ---------- コマンド定義 --------------

%タイトル

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% Vector, Gradient, Divergence, Curl

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%    \pagestyle{myheadings}


% ------------- 文書入力 --------------

\begin{document}

\clearpage

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\setcounter{page}{1}

\title{\vspace*{-3cm}\Huge\bf 地球流体波動ノート}
\author{\bf 谷口 博}
\date{\bf 第二版\\ 2001年8月29日}
%\date{\bf 2001年3月22日}
\maketitle

\clearpage

\tableofcontents

\clearpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}

%\chapter*{第1章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−表面重力波}
\chapter{重力波の基礎理論}

\section{はじめに}

時空間上の2点間(これを, {\bf 系}と呼ぶ)で, その間の媒体の移動なしに情報
を伝えるものを{\bf 波} と呼ぶ. 波の生成には, {\bf 復元力}と{\bf 慣性}の
存在が必要である. 復元力は, 系を元の状態に戻す働きをする. 一方, 慣性とは, 
系が元の状態に戻った後もその運動を続けようとする働きのことである. \\

波の運動形態は, 二つに分類される. 一つは, 復元力が媒体の圧縮性もしくは弾
性によって生じる場合である. この波は, {\bf 圧縮波}({\it compression
wave}), {\bf 弾性波}({\it elastic wave}), あるいは, {\bf 圧力波}({\it
pressure wave})と呼ばれ, 流体粒子は波が伝播する方向に振動する({\bf 縦波}). 
この振動の振幅が小さい場合には, {\bf 音波}({\it sound wave})となる. 一方, 
もう一つの運動形態は, 重力が復元力となる場合である. この波は, {\bf 重力
波}({\it gravity wave})と呼ばれる. 特に, 水面のような自由表面上の重力波
を{\bf 表面重力波}({\it surface gravity waves}), 密度の異なる二つの流体
の間({\bf 界面}: {\it interface})で存在する重力波を{\bf 内部重力波}({\it
internal gravity waves})と呼ぶ.  重力波の流体粒子の運動は, 波の伝播の方
向に平行な成分と垂直な成分の両者を併せ持つ({\bf 横波}). \\

本章では, 重力波の基礎的な性質をまとめる. 以下では, 波の周期は自転周期よ
りもはるかに大きいとし, 波の運動は惑星の自転に影響されないものと仮定する. 
%また, 支配方程式が線形になる場合には, 波の振幅は小さいものと仮定する. 


\section{表面重力波}

本節では, 一様な深さ $H$ をもつ海上の自由表面における重力波を議論する. 

\subsection{表面重力波の定式化}

波の波長を $\lambda$, 自由表面の振幅を $a$, 静止状態からの鉛直変位を
$\eta(x,t)$ とし, $a/\lambda\ll 1$ (海面の傾斜は小さい)かつ $a/H\ll 1$
(波があっても海の深さは変わらない)とする. また, $x$ 方向にのみ伝播する場
合を扱い, 運動は $x-z$ 平面内の2次元とする.\\
%\Dchapter*{1.2 表面重力波}
\begin{figure}[H]
\vspace{-5mm}
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.4.ps} 
 \end{center}
 \vspace{-5mm}
 \caption{波動の記述}
\end{figure}

\subsubsection{● 速度ポテンシャルの導入}

回転の無い運動であるから, はじめに速度ポテンシャル $\phi$ を以下のように
定義する: 

\begin{equation}
 u\equiv\frac{\partial\phi}{\partial x}, 
\qquad 
 w\equiv\frac{\partial\phi}{\partial z} \label{sokudo-potential}
\end{equation}

\subsubsection{● 連続の式}

速度ポテンシャルを連続の式

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{renzoku-2d}
\end{equation}

\medskip
に代入して以下のラプラス方程式を得る: 

\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} 
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \label{laplace-eq}
\end{equation}

\subsubsection{● 境界条件}

海底では鉛直流が無いので境界条件は以下のようになる. 

\begin{equation}
 w = \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H \label{boundary-1}
\end{equation}

\medskip
一方, 水面では, 海面の変位の速度が鉛直流に等しいから, 境界条件は以下のよ
うになる. 

\begin{equation}
 \frac{D\eta}{Dt} = w_{\eta} \qquad \mbox{at}\quad z=\eta \label{boundary-2} 
\end{equation}

\medskip
ここで, $D/Dt=\partial/\partial t + u(\partial/\partial x)$, $w_{\eta}$
は, 自由表面での流体の速度の鉛直成分である. これは, 速度ポテンシャルを用
いて以下のように書ける. 
\begin{equation}
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ u\frac{\partial\eta}{\partial x}\bigg|_{z=\eta} 
=  \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-3}
\end{equation}
振幅の小さい波の場合, $u$ と $\partial\eta/\partial x$ は共に小さいから, 
$u(\partial\eta/\partial x)\ll 1$ は(\ref{boundary-1})中の他の項よりもオー
ダが一つ小さくなる. したがって以下を得る. 

\begin{eqnarray}
\vspace{-25mm}
    \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-4} \\
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0}
 +\eta \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}\bigg|_{z=0}
 +\cdots
\simeq
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} \nonumber \\
 \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \label{boundary-5}
\end{eqnarray}
さらに, 自由表面下の圧力を以下のように仮定する. 

\begin{equation}
 p = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
ここで運動方程式は, 以下のようになる: 

\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ ({\Vectm u}\cdot\nabla){\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}
+ {\Vectm F}  
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ \nabla\left(\frac{1}{2}|{\Vectm u}|^{2}\right) 
- {\Vectm u}\times\mbox{rot}{\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}  
+ {\Vectm F}  
\end{equation}

\medskip
渦無し条件と速度ポテンシャルを用いて以下のように書ける(Bernoulli's equation).  

\begin{equation}
  \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ \frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})
= 
- \frac{p}{\rho}
- gz  
+ F(t)
\end{equation}

\medskip
ここで, $(u^{2}+w^{2})$ の非線形項は, 振幅の小さい波の場合は無視できる.
また, $F$ は左辺の $\partial\phi/\partial t$ に含めて新たに $\phi$ を定
義する. また, $p=0$ である. これより以下の関係を得る. 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
先の場合と同様に, $\partial\phi/\partial t$ は $z=0$ でも同様に評価でき
るから, 以下の境界条件を得る: 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=0 \label{boundary-6}
\end{equation}

\subsubsection{● 表面重力波の解の導出}

これまでを要約すると, 解くべき方程式, 境界条件は以下の様になる: 

$$
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \eqno(\ref{laplace-eq})
$$
$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H  \eqno(\ref{boundary-1})
$$
$$
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
=  \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \eqno(\ref{boundary-5})
$$
$$
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
= - g\eta  \qquad \mbox{at} \quad z=0 \eqno(\ref{boundary-6})
$$

\medskip
ここで, 解 $\eta(x,t)$ の形を以下のように仮定する. 

\begin{equation}
 \eta = a\cos(kx-\omega t) \label{eta-solution}
\end{equation}

\medskip
ただし, $k, \omega$ はそれぞれ東西波数, 振動数である. この $\eta$ を用い
ると, (\ref{boundary-5}),(\ref{boundary-6})より $\phi$ は, sin 型の関数
になることが分かる. これより, $\phi$ を以下のように仮定することにする: 

\begin{equation}
 \phi = f(z)\sin(kx-\omega t) \label{laplace-eq-solution}
\end{equation}

\medskip
(\ref{laplace-eq-solution})を(\ref{laplace-eq})に代入して次式を得る: 

$$
 \frac{d^{2}f}{dz^{2}} - k^{2}f = 0
$$

\medskip
この一般解は次のようになる: 

\begin{equation}
 f(z) = Ae^{kz} + Be^{-kz}
\end{equation}

\medskip
したがって, 速度ポテンシャルは次のように表される: 

\begin{equation}
 \phi = (Ae^{kz} + Be^{-kz})\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-2}
\end{equation}

\medskip
これより(\ref{boundary-1})式から以下の関係式を得る: 

\begin{equation}
 B = Ae^{-2kH} \label{A-B-kankei-1}
\end{equation}

\medskip
また, (\ref{sokudo-potential-2})の左辺において

$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} 
= k(Ae^{k\eta}-Be^{-k\eta})\sin(kx-\omega t)
$$

\medskip
である. ここではじめの仮定(自由表面の傾斜と振幅は小さい)より $k\eta\ll
1$ であるから $e^{k\eta}\simeq e^{-k\eta}\simeq 1$ である. したがって
(\ref{eta-solution}),(\ref{sokudo-potential-2})を
(\ref{boundary-5})に代入して次の関係を得る: 

\begin{equation}
 k(A-B) = a\omega \label{A-B-kankei-2}
\end{equation}

\medskip
よって, (\ref{A-B-kankei-1}),(\ref{A-B-kankei-2})から $A,B$ は次のように
なる. 

\begin{equation}
 A = \frac{a\omega}{k(1-e^{-2kH})}, \qquad B = \frac{a\omega e^{-2kH}}{k(1-e^{-2kH})}
\end{equation}

\medskip
よって速度ポテンシャルは次のようになる: 
\begin{eqnarray}
 \phi &=& \left(
	   \frac{a\omega         e^{ kz}}{k(1-e^{-2kH})}
	  +\frac{a\omega e^{-2kH}e^{-kz}}{k(1-e^{-2kH})}
	  \right) \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{kz} + e^{-2kH}e^{-kz}}{1-e^{-2kH}}
	  \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{k(z+H)} + e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}
	  \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-3}
\end{eqnarray}
したがって, 速度成分は次のようになる: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  u &=& a\omega\displaystyle\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)  \\[2ex]
  w &=& a\omega\displaystyle\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t)  \\
 \end{array} \label{laplace-eq-solution-2}
\end{equation}

\subsection{表面重力波の分散関係式}

表面重力波の分散関係式は, (\ref{eta-solution})と
(\ref{sokudo-potential-3})を(\ref{boundary-6})に代入して得られる: 

\begin{equation}
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \label{hyoumen-gw-bunsan}
\end{equation}

\medskip
よって, 位相速度 $c=\omega/k$ は次の様になり, 分散性($c$ の波数依存性)が
あることがわかる.

\begin{equation}
 c = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \label{hyoumen-gw-phase-speed}
\end{equation}

\subsection{表面重力波の圧力成分}

次に圧力成分を考える. 圧力 $p$ は以下の線形化した Bernoulli's equation
を満たす:
 
\begin{equation}
  \frac{\partial\phi}{\partial t}
+ \frac{p}{\rho}
+ gz
= 0  \label{bernoulli-p}
\end{equation}

\medskip
ただし, 外力は 0 とした. ここで, 
\begin{equation}
 p' \equiv p - \underbrace{(-\rho gz)}_{静止場での圧力} = p + \rho gz
\end{equation}
であるから, この $p$ を(\ref{bernoulli-p})に代入して以下の式を得る: 

\begin{equation}
 p' = -\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}
\end{equation}

\medskip
よって, 上式に(\ref{sokudo-potential-3})を代入すると, $p'$ は以下のよう
になる: 

\begin{equation}
 p' = \frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-1}
\end{equation}

\medskip
さらに, (\ref{hyoumen-gw-p-1})に分散関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を代
入すると次式を得る: 

\begin{equation}
 p' = \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-2}
\end{equation}

\subsection{浅水波・深水波近似}\label{shallow-deep-water}

$H/\lambda\ll 1$ とする近似を{\bf 浅水波近似}, $H/\lambda\gg 1$ とする場合の近
似を{\bf 深水波近似}と呼ぶ. 本節ではこれらの近似を用いて表面重力波の性質をまと
める. 

\subsubsection{● 深水波近似}

$x\rightarrow\infty$ のとき $\tanh x\rightarrow 1$ であるから, 深水波近
似 $H/\lambda \gg 1$ を適用すると表面重力波の位相速度
(\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) は次のようになる: 
\begin{eqnarray}
 c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\
   &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}                            \nonumber\\    
   &=& \sqrt{\frac{g}{k}}
\end{eqnarray}
これより, 深い流体上の表面重力波は, 波長が長い波ほどより早く伝播すること
が分かる. 一方 $H/\lambda \gg 1$ の場合, (\ref{laplace-eq-solution-2})よ
り流体粒子の速度成分は以下のようになることがわかる:
\begin{eqnarray}
 u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}+e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t)  \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}+\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &\simeq& a\omega e^{kz}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex]
 w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}-e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\sin(kx-\omega t)  \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &\simeq& a\omega e^{kz}\sin(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
これより, 速度ベクトルは, $x$ が正の方向に伝播する波の場合, 振動数
$\omega$ で時計回りに回転することが分かる. このとき, 振幅は水深($z=z_{0}$)
と振動数で決まり $a\omega e^{kz_{0}}$ の一定値を取り続ける. 一方, 圧力成
分(\ref{hyoumen-gw-p-2})式は, 深水波近似のもとでは以下のようになる:  
\begin{eqnarray}
 p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &=& \rho ga\frac{e^{k(z+H)-e^{-k(z+H)}}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &=& \rho ga\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &\simeq& \rho ga e^{kz}\cos(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
これより, 波の運動による圧力の変化は, 深さと共に指数関数的に減衰していく
ことがわかる. したがって, 底に達することが出来るのは長波の波のみである. 

\subsubsection{● 浅水波近似}

$x\rightarrow 0$ のとき $\tanh x\rightarrow x$ であるから, 浅水波近
似 $H/\lambda \ll 1$ を適用すると表面重力波の位相速度
(\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) は次のようになる: 
\begin{eqnarray}
 c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\
   &=& \sqrt{gH}
\end{eqnarray}
これより, 浅い流体上の表面重力波の速度は, 深さにのみ依存し波長には依存し
ないことが分かる. 一方 $H/\lambda \ll 1$ の場合, 

$$
 \cosh k(z+H) \simeq 1, \qquad \sinh k(z+H) \simeq k(z+H), \qquad \sinh kH \simeq kH
$$

\medskip
であるから, (\ref{laplace-eq-solution-2})より流体粒子の速度成分は以下の
ようになることがわかる:
\begin{eqnarray}
 u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& \frac{a\omega}{kH}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex]
 w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\left(1+\frac{z}{H}\right)\sin(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
これより鉛直速度成分は水平速度成分よりもはるかに小さいことが分かる. 一方, 
圧力成分(\ref{hyoumen-gw-p-2})式は, 浅水波近似のもとでは以下のようになる:
\begin{eqnarray}
 p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &\simeq& \rho ga\cos(kx-\omega t) = \rho g \eta
\end{eqnarray}
ここで, $\eta$ について(\ref{eta-solution})を用いた. これより, 圧力の変
動は水深に独立であり, 各層の圧力変化は表面変位の変動による圧力の増加に等
しい. それ故, 浅水波では完全な静水圧平衡が成り立っていることが分かる. 

\subsection{表面重力波の波のエネルギーとフラックス}

\subsubsection{● 表面重力波の波のエネルギー}

表面重力波は, 流体の運動による運動エネルギーと自由表面の変位によるポテン
シャルエネルギーを持っている. 単位水平面積あたりの運動エネルギー $E_{k}$ 
は, 以下のように層厚にわたっての積分を施した後, 一波長あたりの平均を取る
ことで得られる:

\begin{equation}
 E_{k} = \frac{\rho}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}\frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})dzdx
\end{equation}

\medskip
ここで, 鉛直積分は $z=0$ まで行う. これは, $z=\eta$ まで計算すると高次の
項が生じてしまうためである. 上式に(\ref{laplace-eq-solution-2})を代入す
ると以下のようになる: 

\begin{eqnarray}
 E_{k} &=&
         \frac{\rho}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}a^{2}\omega^{2}
         \left[
	  \frac{\cosh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\cos^{2}(kx-\omega t)
	 +\frac{\sinh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\sin^{2}(kx-\omega t) 
	 \right]dzdx \nonumber \\
       &=&
         \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	  \frac{1}{\lambda}
	   \int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx
	   \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz 
	 \right.\nonumber \\
       & &\qquad\qquad\qquad
	 \left. 
	 +\frac{1}{\lambda}  
	   \int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx
	   \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz
	 \right]
\end{eqnarray}
ここで, $x$ 積分について, 表面変位 $\eta$ を用いると以下のようになる: 
\begin{eqnarray*}
 \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx 
  &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx \\
  &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2}dx = \overline{\eta^{2}}
\end{eqnarray*}
ここで, $\overline{\eta^{2}}$ は平均自乗変位である. これを用いて $E_{k}$ 
を書き換えると次のようになる:
\begin{eqnarray}
 E_{k} &=&
         \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	  \overline{\eta^{2}}
	   \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz 
	 +\overline{\eta^{2}}
	   \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	   \int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4} dz 
	  +\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}-2}{4} dz 
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
	 \frac{1}{4}
         \left[
	   \left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \right. \nonumber \\
       & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
	 \left.
	  +\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}-2z\right]_{-H}^{0}
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
	 \frac{1}{4}
         \left[
	   \left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right]
	 \right.  \nonumber \\     
       & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
	 \left.
	  +\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}+2H\right)\right]
	 \right] \nonumber \\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{8\sinh^{2}kH}\cdot\frac{2}{k}\left(\frac{e^{2kH}-e^{-2kH}}{2}\right) \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\sinh 2kH \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH} \qquad\qquad \leftarrow \mbox{この $\omega$ に分散関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を代入して}\nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\cdot(gk\tanh kH)\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH}\nonumber\\
       &=& 
         \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{kinetic-E}
\end{eqnarray}

次に, ポテンシャルエネルギーについて考える. ポテンシャルエネルギーは, 水
平の自由平面を持ち上げるときになされる仕事として定義される. これは, 波が
存在し盛り上がった場のポテンシャルエネルギーと波の無い静止場のポテンシャ
ルエネルギーの差に等しい. $y$ 方向の単位長さあたりの流体要素のポテンシャ
ルエネルギーは $\rho gzdxdz$ であるから, 単位水平面積あたりの波のポテン
シャルエネルギー $E_{p}$は, 以下のようになる:
\begin{eqnarray}
 E_{p} &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{\eta}zdzdx
          -\frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}zdzdx \nonumber \\
       &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{0}^{\eta}zdzdx \nonumber \\ 
       &=& \frac{\rho g}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2} dx \qquad \leftarrow\mbox{$\overline{\eta^{2}}$ の定義を用いて} \nonumber \\
       &=& \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{potential-E}
\end{eqnarray}
\vspace{-12mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.8.ps} 
 \end{center}
 \caption{流体柱のポテンシャルエネルギーの計算}
\end{figure}

(\ref{kinetic-E})と(\ref{potential-E})を比較すると, 平均運動エネルギーと
ポテンシャルエネルギーは等しいことが分かる. これは{\bf エネルギー等分配
の原理}({\it principle of equipartition of energy})と呼ばれ, 地球の回転
の影響を受けない小振幅の振動において成り立つ. 単位水平面積あたりの流体柱
における波の全エネルギーは以下のようになる.

\begin{equation}
 E = E_{k} + E_{p} = \rho g\overline{\eta^{2}} = \frac{1}{2}\rho g a^{2}
\end{equation}

ここで, $\eta$ が正弦波の場合, $\cos^{2}x$ の一波長平均は, $1/2$ である
から, $\overline{\eta^{2}} = a^{2}$ ($a$ は正弦波の振幅)であることを用い
た. 

\subsubsection{● 表面重力波の波のエネルギーフラックス}

次に, 波数 $k$ の波(正弦波)によるエネルギーの伝達率(エネルギーフラックス)
についてまとめる.  $x=0$ の鉛直平面を横切るエネルギーフラックスは, $x>0$ 
の領域の流体が$x<0$ の領域の流体からなされた圧力による仕事に等しい. 波頭
の単位長さあたり時間平均したエネルギーフラックスは, 擾乱場(波のあるとこ
ろ)の圧力 $p'$ の和を $p$, 背景場の圧力を $-\rho gz$ として以下のように
なる:
\begin{equation}
 F  =  \biggm\langle \int_{-H}^{0} pudz \biggm\rangle 
    = \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'u dz \biggm\rangle 
             -\rho g<u>\int_{-H}^{0}zdz 
    = \biggm\langle \int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \label{energy-flux-1}
\end{equation}
ここで, $<~>$ は波の周期にわたる平均を示し, $<u>=0$ であることを用いた. 
また, $p'$ は(\ref{hyoumen-gw-p-2})で与えられる. したがって,
(\ref{energy-flux-1})に(\ref{laplace-eq-solution-2}) の $u$ と
(\ref{hyoumen-gw-p-2})を代入すると, 以下のようになる:
\begin{eqnarray}
 F &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \nonumber\\
   &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}\left[\frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\times a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\right] dz \biggm\rangle \nonumber\\
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4}dz \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right] \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(\sinh 2kH + 2kH)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(2\sinh kH\cosh kH + 2kH)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{2k^{2}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)
\end{eqnarray}
ここで, $\langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle = 1/2$ である. さらに, 分散
関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を用いると, 求めるエネルギーフラックスは
以下のようになる. 
\begin{eqnarray}
 F &=& \frac{1}{2}\rho a^{2}\frac{1}{2k^{2}}\frac{gk\tanh kH\sqrt{gk\tanh kH}}{\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{\sqrt{gk\tanh kH}}{2k} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \label{energy-flux-2} 
\end{eqnarray}

%\Dchapter*{1.3 群速度とエネルギーフラックス}

\section{群速度とエネルギーフラックス}

本節では, 位相速度が波数に依存するような分散性のある波を扱う. 分散性のあ
る波の場合, 波のエネルギーは位相速度ではなく群速度で伝播する. 以下では, 
この群速度とエネルギーフラックスの関係についてまとめる. 

\subsection{群速度}

はじめに, 振幅が等しく波数のわずかに異なる($k_{1},k_{2}$; したがって, 振
動数もわずかに異なる; $\omega_{1},\omega_{2}$)二つの波の重ね合わせを考える.
\begin{eqnarray}
 \eta &=& a \cos(k_{1}x-\omega_{1}t) + a\cos(k_{2}x-\omega_{2}t) \nonumber\\
      &=& 2a
            \cos\left[
             \frac{1}{2}(k_{2}-k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1})t
	        \right]
            \cos\left[
             \frac{1}{2}(k_{2}+k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}+\omega_{1})t
	        \right]
\end{eqnarray}
ここで, $k=(k_{1}+k_{2})/2, \omega=(\omega_{1}+\omega_{2}),
dk=k_{2}-k_{1}, d\omega = \omega_{2}-\omega_{1}$ とおくと次式を得る: 

\begin{equation}
 \eta = 2a\cos\left(
	       \frac{dk}{2}x -\frac{d\omega}{2}t
	      \right)
          \cos(kx-\omega t)
\end{equation}

ここで, $\cos(kx-\omega t)$ は位相速度 $c=\omega/k$ で進行する波である
(個々の波). しかし, その振幅 $2a$ は $\cos[dk x/2 - d\omega t/2]$ の関数
によって, ゆっくり変化する(波長 $4\pi/dk$, 周期 $4\pi/d\omega$)(図\ref{group-velocity}).
\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11.5cm]{ps/FM-Fig.7.16.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{二つの正弦波の線形の重ね合わせによる連続した群速度の形成. } \label{group-velocity}
\end{figure}

この振幅変調が伝播していく速度(波長/周期)は以下のようになる:

\begin{equation}
 c_{g} = \frac{d\omega}{dk} \label{gunsokudo-teigi-1}
\end{equation}

\medskip
上記のように, 速く変化する正弦波とゆっくり変化する正弦波の積により波群が
繰り返し形成される. この波群の速度 $c_{g}$ を{\bf 群速度}と呼ぶ. $c_{g}$
は, 分散曲線の接線の傾きに対応している(図\ref{k-omega-c-cg}). 群速度を一
次元のみで扱う場合には, $\omega$ は波の伝播方向 $k$ の関数として扱う. 三
次元の場合, $\omega(k,l,m)$ は波数ベクトル ${\Vectm K}=(k,l,m)$ の関数で
ある. このとき, 群速度ベクトルは直交座標系のテンソル表記を用いると以下の
ようになる:

\begin{equation}
 c_{gi} = \frac{d\omega}{dK_{i}} \label{gunsokudo-teigi-2}
\end{equation}

\medskip
ここで, $K_{i}$ は $\Vectm K$ の成分を表す. 群速度ベクトルは, それ故, 波
数空間における $\omega$ の傾きに等しいことが分かる. 

\subsubsection{● $c_{g}< c$ の場合}

この場合, 波頭({\it wave crest})はどの節点({\it nodal point})でも現れな
くなり波群({\it envelope})全体を通して波頭は前に進む. これら波頭は, 次の
節点にやって来ると消失する. 

\subsubsection{● $c_{g}> c$ の場合}

この場合, 個々の波頭は先にある節点で現れ, 後ろの節点で消失する様に見える. 
これは, 波群全体を通して波頭が波群に相対的に後ろに進んでいるように見える
からである.
\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.17.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{分散曲線 $\omega(k)$ と $c, c_{g}$ との対応.} \label{k-omega-c-cg}
\end{figure}

\subsection{波束と群速度}

{\bf 波束}({\it wave packet})は, $\delta k$ の狭い領域内に存在するすべて
の波数の波が重なって出来たものである. 波群は, この波束が複数集まって出来
たものである. 波束の中心には波数 $k$ の波が存在する. 波束の振幅は,
$1/\delta k$ のオーダの長さで減衰する(図\ref{wave-packet}). \\

波群の形の初期値を以下のように与える: 

\begin{equation}
 \eta = a(x)\cos kx
\end{equation}

\medskip
上記の波形は, 少し時間がたった後では以下のように変化する: 

\begin{equation}
 \eta = a(x-c_{g}t)\cos(kx-\omega t)
\end{equation}

\medskip
ここで $c_{g}=d\omega/dk$ である. これは, 波束の振幅が群速度で移動して行
く様子を表している. このことから, $c_{g}$ は波のエネルギーが伝播する速度
に等しくなければならないことがわかる. なぜなら, 節点自身が $c_{g}$ で移
動し, 波のエネルギーは節点を越えて伝播することが出来ないためである.\\

表面重力波の場合, 分散関係式は

$$
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \eqno(\mbox{\ref{hyoumen-gw-bunsan}})
$$

\medskip
であるから, 群速度は以下のようになる: 

\begin{equation}
 c_{g} = \frac{c}{2}\left[ 1+\frac{2kH}{\sinh 2kH}\right] \label{gw-gunsokudo}
\end{equation}

\medskip
ここで, 深水波近似($H/\lambda \gg 1$), 浅水波近似($H/\lambda \ll 1$)のも
とではそれぞれ $\sinh 2kH\rightarrow \infty, \sinh 2kH\rightarrow 2kH$
となるから, 群速度はそれぞれ以下のようになる: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  c_{g} &=& \displaystyle\frac{1}{2}c \qquad \mbox{(deep water)}\\ [1ex]
  c_{g} &=&                         c \qquad \mbox{(shallow water)}
 \end{array}
\end{equation}
\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[12cm]{ps/FM-Fig.7.18.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{$\delta k$ の狭い波数帯の波束の様子. } \label{wave-packet}
\end{figure}

線形の非分散の系においては, どんな波束もその形は保存される. それは, 上記
の shallow water の結果に見るように, どんな波長の波も同じ位相速度で進む
ためである. 一方, deep water のような分散系においては, 以下の図に見られ
るように, 各々の波長で位相速度が異なる. したがって群速度も異なる(長波長
の波ほど群速度は大きい)ので, 初期に与えた擾乱は各々の波長の波に分離(分散)
していく様子が見られる. 

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.19.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{水面に石を投じた場合の水面のプロファイルを3つの時間にわけて書
 いたもの.}
\end{figure}

\subsection{群速度とエネルギーフラックス}

重力波のエネルギーの伝達率は, (\ref{energy-flux-2})で与えられる: 

$$
 F = \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] = E\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \eqno(\mbox{\ref{energy-flux-2} })
$$

\medskip
ここで, $E=\frac{1}{2}\rho ga^{2}$ は, 単位水平面積あたりの流体柱の平均
エネルギーである. (\ref{gw-gunsokudo})を用いると, 次式を得る: 

\begin{equation}
 F = Ec_{g}
\end{equation}

\medskip
これは, 正弦波の波成分のエネルギーの伝達率は, (波のエネルギー) $\times$ (群
速度)で表されること, つまり, {\bf 波のエネルギーは群速度で伝播する}ことを
示している. 

%\Dchapter*{1.4 波線理論}

\section{波線理論}\label{hasen-riron}

\subsection{深さ $H$ が一定の場合}

深さ $H$ がどこでも一定の流体の場合, {\bf $c_{g}$ の速度で移動する観測者
からみると波数 $k$ は変化しない}. 本節ではこのことを示すため, 波長が徐々
に変化するような波列を考えることにする. このような波列では, 連続した波頭
の間の距離は, 時間, 空間でゆっくり変化する. ここでは, 局所的に以下のよう
な形で自由表面の変位が記述できるものとする:

\begin{equation}
 \eta = a(x,t)\cos[\theta(x,t)] 
\end{equation}

\medskip
ここで, $a(x,t)$ はゆっくり変化する振幅, $\theta$ はその場所の位相である. 
また, 波数 $k$, 振動数 $\omega$ の場合の位相角は, $\theta=kx-\omega t$ 
である. 徐々に変化する波列の場合, 時空間における位相の変化率として, 局所
波数 $k(x,t)$, 局所振動数 $\omega(x,t)$ を定義することができる:

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
 k      &=&  \displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial x} \\ [2ex]
 \omega &=& -\displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial t}    
 \end{array}
\end{equation}

\medskip
交互に微分を施すと次式を得る: 

\begin{equation}
  \frac{\partial      k}{\partial t}
+ \frac{\partial \omega}{\partial x}
= 0 \label{k-omega-eq}
\end{equation}

\medskip
ここで, $H$ は一定であるから, $\omega$ は $k$ のみの関数 $\omega =
\omega(k)$ であると仮定する.  このとき,

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial x}
= \frac{d\omega}{dk}\frac{\partial k}{\partial x}
\end{equation}

となるから, (\ref{k-omega-eq})式は次の様になる: 

%\Dchapter*{1.4 波線理論}

\begin{equation}
 \frac{\partial k}{\partial t} + c_{g}\frac{\partial k}{\partial x} = 0 \label{k-equation}
\end{equation}

\medskip
ここで, $c_{g}=d\omega/dk$ である. (\ref{k-equation})の左辺は, ラグラン
ジュ微分と同様の形をしており, 速度 $c_{g}$ で動く観測者から見たときの
$k$ の変化の割合を与えることがわかる. この変化の割合が 0 であることから, 
そのような観測者から波を観測すると, いつも同じ波長の波が観測される. それ
故, 群速度は波数 $k$ が移流する速度であることがわかる(図
\ref{k-omega-const-line}). 図\ref{k-omega-const-line} において, 波頭は 
$dx/dt=c$ となる線に沿っている. 一方, 波長は $dx/dt=c_{g}$ となる線に沿っ
て保存(同じ値を取る)している. 擾乱が与えられた領域の幅は, 図
\ref{k-omega-const-line} の最初の太線と最後の太線に囲まれた領域の幅に対
応している. この幅は, 時間と共に増加するものの, 波頭は波群の後ろから現れ
波群の前で消えて行く様子が見られる.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.20.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{一様な流体中を波群が伝播する様子を $x-t$ 平面で表したもの. 細
 線は波頭のとる線, 太線は $k$ と $\omega$ が等しくなるところを結んだ線で
 ある.} \label{k-omega-const-line}
\end{figure}

\subsection{深さ $H$ が変化する場合}

$c_{g}$ の速度で動く観測者から見ると, どこでも一様な性質を持つ流体中では
同じ波長の波しか観測されない, という前節での結果は, 深さ $H$ が場所によっ
て変化するような本節の場合成り立たない. 本節では, 波動がいつも底を感じる
ように浅水波を仮定する. このような場合, {\bf 波のエネルギーの伝播の経路
に沿って保存する(同じ値を取る)のは, 波長ではなく振動数である}. 以下では,
このことを示すことにする. \\

$H(x)$ は徐々に(波長のスケールで)変化する場合を考える. このとき, 分散関
係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})は次のようになる: 

\begin{equation}
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH(x)}
\end{equation}

\medskip
これより $\omega$ は $k,x$ の関数になることがわかる:  

\begin{equation}
 \omega=\omega(k,x) 
\end{equation}
 
\medskip
この場合, 群速度は一点で局所的に求めることが出来る. 

\begin{equation}
 c_{g}(k,x) = \frac{\partial\omega(k,x)}{\partial k}
\end{equation}

\medskip
両辺右から $\partial k/\partial t$ を掛けると次のようになる: 

\begin{equation}
  c_{g}\frac{\partial k}{\partial t} 
=      \frac{\partial\omega}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial t}
= \frac{\partial\omega}{\partial t}
\end{equation}

\medskip
(\ref{k-omega-eq})に $c_{g}$ を掛けて上式の結果を用いると次式を得る: 

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial t} 
+ c_{g}\frac{\partial\omega}{\partial x}
= 0
\end{equation}

\medskip
3次元の系では以下のようになる: 

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial t} 
+ {\Vectm c_{g}}\cdot{\Vectm \nabla}\omega
= 0
\end{equation}

\medskip
上式から, 深さ $H$ が変化するような非一様流体中では, 群速度で動く観測者
からみたときに保存する(同じ値を取る)物理量は, 振動数であることが分かる.
\\

以上, 二つの小節の結果をまとめると次のようになる. 深さ $H$ が一定の流体
の場合, $c_{g}$ の速度で動く観測者から見て保存するのは, $k, \omega(k),
c, c_{g}$ である. その結果, $x-t$ 平面では群速度を表す波線({\it ray
path})は直線になる(図\ref{k-omega-const-line}). 一方, 深さ $H$ が変化す
る流体の場合, $c_{g}$ の速度で動く観測者から見て($dx/dt=c_{g}$ の線上で) 
保存するのは, $\omega$ のみである. この場合 $k,c,c_{g}$ は変化する. その
結果, $x-t$ 平面の波線は直線にはならない(図\ref{k-omega-const-line-2}).
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.21.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm} \caption{非一様な流体中を波群が伝播する様子を $x-t$ 平面で表したもの.
 $\omega$ が一定となる波線のみを書いている.} \label{k-omega-const-line-2}
\end{figure}

%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{section}{0}

%\Dtitle[第2章 重力波(非回転系)−浅水重力波]{}
%\Dchapter*{2.1 浅水重力波}

%\chapter*{第2章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−浅水重力波}
\chapter{非回転系重力波 1 − 浅水重力波}

\section{浅水重力波(Shallow-Water Gravity Waves)}

表面重力波のうち, 浅水波近似したものを浅水重力波と呼ぶ. 本節では, 浅水重
力波の特徴についてまとめることにする.  

\subsection{浅水重力波の定性的な特徴}

\begin{itemize}
 \item 浅水重力波は, 自由表面(free surface)をもつ非圧縮流体, もしくは, 
       非圧縮な流体内部で密度の不連続がある場合に存在する波で, 等密度面
       中を伝播する. 
 \item 浅水重力波の復元力は, 自由表面もしくは, 界面にはたらく圧力(重力)
       であり, 鉛直方向を向いている. この復元力は, 波の伝播の方向と垂直
       である(横波)\footnote{これに対し, 圧縮性流体に存在する音波は, 復
       元力の方向と波の伝播の方向が平行であり縦波である.}.
\end{itemize}

\subsection{浅水重力波の定性的な伝播メカニズム}

浅水重力波の伝播メカニズムについて考察するため, 図\ref{hyoumen-gw-pic} 
のような $x$ 軸方向に広がった水路を考える. 図\ref{hyoumen-gw-pic} のよう
に, 表面もしくは, 密度不連続面の界面(interface)が上下に振動すると, 水平
方向の圧力傾度力が変化するため水平方向に正負の加速度が発生し, 流体中に収
束域と発散域が作られる.  収束域, 発散域はそれぞれ高圧部, 低圧部を形成す
るから, 元々存在する高圧部, 低圧部は時間が立つと新たに形成された高圧部, 
低圧部へと位相伝播する(図\ref{hyoumen-gw-pic}).

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11cm]{ps/Fig7.6.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{$x$ 軸右向きに伝播する浅水重力波(表面重力波).} \label{hyoumen-gw-pic}
\end{figure}

\subsection{浅水重力波の定式化}

本節では, 浅水重力波を定式化する. 図\ref{hyoumen-gw-pic-2} のように, 密
度の異なる二つの一様な非圧縮流体\footnote{非圧縮の仮定により, 音波を除去
する.}を考える. ここで, 下層の密度 $\rho_{1}$ (定数)は, 上層の密度 
$\rho_{2}$ (定数)よりも大きいとし(安定成層した状態を考える), 静水圧した
系を考える. このとき, それぞれの層の水平圧力傾度力は, 高度に依存しない定
数となる.

$$
    \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right) 
= - \frac{\partial \rho}{\partial x}g 
= 0
$$

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[10cm]{ps/Fig7.7.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{$x$ 軸右向きに伝播する浅水重力波(2層モデル).} \label{hyoumen-gw-pic-2}
\end{figure}

簡単のため, 上層の水平圧力傾度力は 0 とする. 図\ref{hyoumen-gw-pic-2} に
おいて, 点Aと点Bに於ける圧力はそれぞれ次のようになる:

$$
 p + \delta p_{1} = p + \rho_{1}g\delta z = p +
 \rho_{1}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x, 
$$
$$
 p + \delta p_{2} = p + \rho_{2}g\delta z = p +
 \rho_{2}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x. 
$$

\medskip
ここで $\partial h / \partial x$ は, 界面の傾斜を表す. $\delta
x\rightarrow 0$ とすると, 下層の圧力傾度力が得られる: 

$$
  \lim_{\delta x \rightarrow 0}\left[\frac{(p + \delta p_{1}) - (p +
  \delta p_{2})}{\delta x}\right] 
=
  g\delta\rho\frac{\partial h}{\partial x}
$$

\medskip
ここで, $\delta\rho = \rho_{1}-\rho_{2}$ である. 運動は $x-z$ 平面に限ら
れ2次元的であると仮定すると, 下層の $x$ 方向の運動方程式は次のようになる. 

\begin{equation}
    \frac{\partial u}{\partial t}
 + u\frac{\partial u}{\partial x}
 + w\frac{\partial u}{\partial z}
 = 
 -  \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h}{\partial x}
\label{x-eq}
\end{equation}

\medskip
一方, 連続の式は, 

\begin{equation}
 \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
\end{equation}

\medskip
(\ref{x-eq})の圧力傾度力は $z$ に独立であるから, 初期に $u\not=u(z)$ を
仮定すると, $u$ は $z$ に独立な関数である. このとき(\ref{x-eq})を下層境
界 $z=0$ から界面の高さ $z=h$ まで鉛直方向に積分すると以下のようになる: 

$$
 w(h) - w(0) = -h\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)
$$

\medskip
一方, $w(h)$ は界面の高さの時間変化の割合に等しいから, 

$$
 w(h) = \frac{Dh}{Dt} = \frac{\partial h}{\partial t} + u\frac{\partial
 h}{\partial x}
$$

\medskip
また, $w(0) = 0$ (下端境界条件)である. ゆえに, 連続の式を鉛直方向に積分
して, 

\begin{equation}
 \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(hu) = 0. \label{renzoku-2d-h}
\end{equation}

\medskip
さらに, $u,h$ を以下のように摂動展開する:

$$
 u = \overline{u} + u', \qquad h = H + h'
$$

\medskip
ここで, $\overline{u}$ は基本場の東西流を表し定数である. また, $H$ は下
層の平均深さをあらわす. (\ref{x-eq})と(\ref{renzoku-2d-h})を摂動展開すると, 

\begin{equation}
                              \frac{\partial u'}{\partial t}
+ \overline{u}                \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h'}{\partial x}
= 0 \label{setudou-u-eq}
\end{equation}
\begin{equation}
              \frac{\partial h'}{\partial t}
+ \overline{u}\frac{\partial h'}{\partial x}
+ H           \frac{\partial u'}{\partial x}
= 0 \label{setudou-h-eq}
\end{equation}

\medskip
ここで, $H \gg |h'|$ と仮定し, 摂動の2次以上の項は消去した.
(\ref{setudou-u-eq})と(\ref{setudou-h-eq})から $u'$ を消去すると, 次式を
得る. 

\begin{equation}
  \left(
   \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)^{2} h'
- \frac{gH\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial^{2}h'}{\partial x^{2}}
= 0 \label{setudou-u-eq2}
\end{equation}

\medskip
以下のような波型の解

$$
 h' = A\exp[ik(x-ct)] 
$$

\medskip
を仮定し(\ref{setudou-u-eq2})に代入すると, 位相速度 $c$ は以下のように
なる: 

\begin{equation}
 c = \overline{u} \pm \sqrt{\frac{gh\delta\rho}{\rho_{1}}}
\end{equation}

\medskip
上層が大気, 下層が水面の様な場合には, $\delta\rho \approx \rho_{1}$ とな
るから, 位相速度は以下のようになる: 

$$
 c = \overline{u} \pm \sqrt{gH}
$$

\medskip
$\sqrt{gH}$ は浅水波の速度と呼ばれ, 流体の厚さよりも波長がはるかに長いよ
うな波の場合には妥当な速度である. 

%\setcounter{chapter}{3}
%\setcounter{section}{0}

%\Dtitle[第3章 重力波(非回転系)−内部重力波]{}
%\Dchapter*{3.1 内部重力波}

%\chapter*{第3章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−内部重力波}
\chapter{非回転系重力波 2 − 内部重力波}

\section{内部重力波(Internal Gravity (Buoyancy) Waves)}

本節では, 大気中を伝播する重力波(大気重力波)について考察する. はじめに, 
純粋な内部重力波についてその特徴をまとめ, 定式化を行う. 続けて, 地形性の
重力波についてまとめることにする.

\subsection{大気重力波の定性的な特徴}

\begin{itemize}
 \item 大気重力波は, 大気が安定成層している場合にのみ存在し, 密度の不連
       続な流体中を伝播する波である.  
 \item 大気重力波の復元力は, 鉛直方向に変位した流体パーセルに働く浮力で
       ある. 
 \item 水平だけでなく鉛直伝播も可能である\footnote{海洋は上下に境界があ
       りそこで反射を受けるため, 障害無く伝播できるのは水平方向に伝播す
       る波のみ.}. 鉛直伝播する波を特に{\bf 内部波(内部重力波)}と
       呼ぶ. 
 \item 流体の回転は考えない. 
\end{itemize}

\subsection{純粋な内部重力波(パーセル法による解釈)}

簡単のため, $x,z$ 平面を伝播する2次元の内部重力波を扱う. 流体の回転はな
い. 内部重力波は重力波の特徴である横波の性質をもつから, パーセルの振動は,
図\ref{naibu-gw-pic-percel} のように, 等位相線に対して平行である. 

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[12cm]{ps/Fig7.8.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{鉛直方向に対して $\alpha$ の角度の等位相線をもつ重力波のパーセルの振動の模式図.} \label{naibu-gw-pic-percel}
\end{figure}

図\ref{naibu-gw-pic-percel} で示すように, 鉛直方向に対して $\alpha$ の角
度の等位相線にそって, 距離 $\delta s$ だけ変位したパーセルを考える. この
とき鉛直方向の変位$\delta z = \delta s \cos\alpha$ であるから, このパー
セルに働く単位質量あたりの浮力は, $-N^{2}\delta z$ である($N$ は浮力振動
数\footnote{$N^{2}=g\frac{d\ln\theta_{0}}{dz}$}). したがって, 図
\ref{naibu-gw-pic-percel} のように傾いた等位相線に沿って振動するパーセル
に働く浮力は以下のようになる:

$$
 -N^{2}\delta z = -N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha =
 -(N\cos\alpha)^{2}\delta s
$$

\medskip
よって, 等位相線に沿って振動するパーセルの運動方程式は次のようになる: 

\begin{equation}
 \frac{d^{2}(\delta s)}{dt^{2}} = - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \label{naibu-gw-eq}
\end{equation}

\medskip
上式より

$$
 \delta s = exp[\pm i(N\cos\alpha)t]
$$

\medskip
を得る. これより, パーセルは振動数 $\nu = N\cos\alpha$ で振動することが
分かる. 

\subsection{純粋な内部重力波の定式化}

純粋な内部重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である. 

\begin{itemize}
 \item 運動は2次元($x,z$ 平面)
 \item 流体の回転はなし
 \item ブジネスク近似(浮力項中の重力を除き密度一定(ゆえに, 非圧縮流体)
       として扱う\footnote {これは, 鉛直スケールが大気のスケールハイト
       ($H \approx$ 8km)より小さい場合には妥当な近似である.})
 \item 基本場は東西平均流のみ
 \item 静水圧平衡
\end{itemize}

上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる: 

\begin{equation}
   \frac{\partial u}{\partial t}
+ u\frac{\partial u}{\partial x}
+ w\frac{\partial u}{\partial z}
+  \frac{1}{\rho}
   \frac{\partial p}{\partial x}
= 0 \label{naibu-gw-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial w}{\partial t}
+ u\frac{\partial w}{\partial x}
+ w\frac{\partial w}{\partial z}
+  \frac{1}{\rho}
   \frac{\partial p}{\partial z}
+ g
= 0 \label{naibu-gw-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial u}{\partial x}
+  \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{naibu-gw-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial \theta}{\partial t}
+ u\frac{\partial \theta}{\partial x}
+ w\frac{\partial \theta}{\partial z}
= 0 \label{naibu-gw-eq4}
\end{equation}

\medskip
ここで, 温位 $\theta$ は

\begin{equation}
 \theta = \frac{p}{RT}\left(\frac{p_{s}}{p}\right)^{\kappa} \label{oni-eq}
\end{equation}

\medskip
である. 次に, (\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{naibu-gw-eq4})を以下のように線
形化する.
\begin{eqnarray}
 \rho  &=& \rho_{0} + \rho', \qquad u = \overline{u} + u'\nonumber \\
    p  &=& \overline{p}(z) + p', \qquad w = w'\\ \label{setudou-tenkai1}
\theta &=& \overline{\theta}(z) + \theta' \nonumber 
\end{eqnarray}
ここで, 基本場の東西流 $\overline{u}, \rho_{0}$ は共に定数である. また,
静水圧平衡より

\begin{equation}
 \frac{d\overline{p}}{dz} = -\rho_{0}g
\end{equation}

基本場の温位は, (\ref{oni-eq})を満たすから, 
\begin{eqnarray}
 \ln \overline{\theta} &=& \ln \left\{
				\frac{\overline{p}}{\rho_{0}R}\left(\frac{p_{s}}{\overline{p}}\right)^{\frac{R}{c_{p}}}
                               \right\} \nonumber \\
                       &=& \ln \overline{p}^{\left(1-\frac{R}{c_{p}}\right)}
			  -\ln \rho_{0} 
                          +\ln \frac{p_{s}^{\frac{R}{c_{p}}}}{R} \nonumber \\
                       &=& \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p}
			  -\ln \rho_{0} 
                          +\mbox{const.} \label{ln-oni-eq}
\end{eqnarray} 
ただし, $\gamma  = c_{p}/c_{v}$ である. (\ref{setudou-tenkai1})を
(\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{oni-eq})に代入して線形化を行うと, 
(\ref{naibu-gw-eq2})左辺の残り二つの項は以下のように近似できる: 
\begin{eqnarray}
    \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + g 
&=& \frac{1}{\rho_{0}+\rho'}\left(\frac{d\overline{p}}{dz}+\frac{\partial p'}{\partial z}\right) + g \nonumber \\
&\approx& \underbrace{\frac{1}{\rho_{0}}\frac{d\overline{p}}{dz}}_{=-g}\left(1-\frac{\rho'}{\rho_{0}}\right) 
   +\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} 
   +g 
=   \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
   +\frac{\rho'}{\rho}g \label{seisuiatu-setudou}
\end{eqnarray}
また, (\ref{oni-eq})の摂動展開は以下のようにして得られる. 
\begin{eqnarray}
 \ln \left[
      \overline{\theta}\left(
			1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
                       \right)
     \right]
&=& \frac{1}{\gamma}\ln\left[
		      \overline{p}\left(
				   1 + \frac{p'}{\overline{p}}
				  \right)
                     \right]
 -\ln \left[
       \rho_{0}\left(
		1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}}
	       \right)
      \right] 
 +\mbox{const.} \\
  \ln \overline{\theta}
 +\ln \left(
       1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
      \right)
&=& 
   \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p}
 + \frac{1}{\gamma}\ln \left(
			1 + \frac{p'}{\overline{p}}
		       \right)
 -\ln \rho_{0}
 -\ln \left(
       1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}}
     \right)
 +\mbox{const.} \nonumber \\
  \ln \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
&=& 
      \frac{1}{\gamma} \ln \frac{p'}{\overline{p}}
 -\ln \frac{\rho'}{\rho_{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
ただし, ここで $\ln(1+\varepsilon)\approx \varepsilon$ (for $\varepsilon
\ll 1$), (\ref{ln-oni-eq})を用いた. 以上より, 

$$
  \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
= 
  \frac{1}{\gamma} \frac{p'}{\overline{p}}
 -\frac{\rho'}{\rho_{0}}
$$ 

\medskip
$\rho'$ について解くと, 

\begin{equation}
 \rho' 
\approx 
- \rho_{0}\frac{\theta'}{\overline{\theta}} 
+ \frac{p'}{c_{s}^{2}}
\end{equation}

\medskip
ここで, $c_{s}\equiv\overline{p}\gamma / \rho_{0}$ は音波の速度の2乗であ
る. 内部重力波の場合, 圧力変化による密度変化は, 温度変化による密度変化と
比べて小さい($|\rho_{0}\theta'/\overline{\theta}| \gg |p'/c_{s}^{2}|$)か
ら, 故に以下の関係式を得る: 

\begin{equation}
 \frac{\theta'}{\overline{\theta}} = -\frac{\rho'}{\rho_{0}} \label{oni-setudou}
\end{equation}

(\ref{seisuiatu-setudou})と(\ref{oni-setudou})を用いて,
(\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{naibu-gw-eq4})は次のように線形化される: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)u'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x}
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)w'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
- \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{\partial w'}{\partial z}
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)\theta'
+ w'\frac{d\overline{\theta}}{dz}
= 0. \label{naibu-gw-setudou-eq4}
\end{equation}

\medskip
$\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq2})$/\partial z -$
$\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq1})$/\partial x$ より, $p'$ を消去し
て, 渦度方程式の $y$ 成分を得る: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)
  \left(
    \frac{\partial w'}{\partial x} 
  - \frac{\partial u'}{\partial z}
  \right)
- \frac{g}{\overline{\theta}}\frac{\partial\theta'}{\partial x}
= 0  \label{naibu-gw-setudou-uzudo1}
\end{equation}

\medskip
(\ref{naibu-gw-setudou-eq3}), (\ref{naibu-gw-setudou-eq4})を用いて, 
(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo1})は次のようになる: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)^{2}
  \left(
    \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} 
  + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}}
  \right)
+ N^{2}\frac{\partial^{2}w'}{\partial x^{2}}
= 0  
 \label{naibu-gw-setudou-uzudo2}
\end{equation} 

\medskip
ここで, $N^{2}\equiv gd\ln\overline{\theta}/dz$ は浮力振動数の2乗(定数と
仮定)である. 

\subsection{内部重力波の分散関係}

内部重力波の分散関係を得るため, (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})に対して
以下のように波型の解を仮定する:

\begin{equation}
 w' = \mbox{Re}[\hat{w}\exp(i\phi)] = w_{r}\cos\phi - w_{i}\sin\phi \label{w-modetenkai}
\end{equation}

\medskip
ただし, $\hat{w}$ は複素振幅 $\hat{w}=w_{r}+iw_{i}$ ($w_{r}$ は実部,
$w_{i}$ は虚部)であり, $\phi$ は位相 $\phi=kx+mz-\nu t$ を表す. 解は $x$
方向には常に三角関数型であるから, 東西波数 $k$ は実数, 鉛直波数 $m$ は複
素数 $m=m_{r}+m_{i}$ ($m_{r}$ は $z$ 方向に三角関数型で変位するときの波
数を表し, $m_{i}$ はその符号が正か負であるかによって $z$ 方向で指数関数
的に増加するか減衰するかを表す.)\\

$m$ が実数の場合, 全波数 {\boldmath $k$}$\equiv (k,m)$ となる.
{\boldmath $k$}は, {\bf 等位相線に垂直な方向を向いていて},
$k=2\pi/L_{x}, m=2\pi/L_{z}$ である. (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})を
(\ref{w-modetenkai})に代入して以下の分散関係式を得る: 

$$
 (\nu-\overline{u}k)^{2}(k^{2}+m^{2})-N^{2}k^{2}=0
$$

\medskip
したがって, 

\begin{equation}
 \hat{\nu} \equiv \nu - \overline{u}k = \pm \frac{Nk}{\sqrt{k^{2}+m^{2}}} = \pm \frac{Nk}{|\mbox{\boldmath $k$}|} \label{naibu-gw-bunsan}
\end{equation}

\medskip
ここで, $\hat{\nu}$ は {\it intrinsic frequency} と呼ばれ, 平均流に相対
的な振動数を表す($\nu$ が正(負)の場合には, 平均流に対して相対的に西風(東
風)である). 

\subsection{内部重力波の構造と伝搬メカニズム}

図\ref{naibu-gw-pic-phase} のように $k>0, m<0$ の場合, 等位相線は, 東に
傾いていることが分かる\footnote{等位相線は $\phi = kx + mz$ 一定の線であ
るから, $k>0, m<0$ の場合, $x$ が増加のとき $z$ も増加する.}.
(\ref{naibu-gw-bunsan})の正の方を選択すると, 水平, 鉛直位相速度はそれぞ
れ $c_{x}=\hat{\nu}/k, c_{z}=\hat{\nu}/m$ で与えられるから, これは東向き
かつ下向きの位相伝搬に対応する.

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11cm]{ps/Fig7.9.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{内部重力波に於ける圧力, 温度, 速度場の位相の理想的な経度高度断面図. 細い矢印は, 速度場を表し, 太い矢印は, 位相速度を表す. 影を付けた領域は, 運動が上向きの領域を表す.} \label{naibu-gw-pic-phase}
\end{figure}

一方, 群速度 $c_{gx}, c_{gz}$ は, 次式で与えられる:

\begin{equation}
 c_{gx} = \frac{\partial \nu}{\partial k} = \overline{u} \pm
 \frac{Nm^{2}}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}, \label{naibu-gw-gunsokudo-x}
\end{equation}
\begin{equation}
 c_{gz} = \frac{\partial \nu}{\partial m} =              \pm \frac{-Nkm}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}. \label{naibu-gw-gunsokudo-z}
\end{equation}

\medskip
$\pm$ の符号は, (\ref{naibu-gw-bunsan})と同じように取る. これより, 以下
のことが分かる. 

\begin{itemize}
 \item {\bf 群速度の鉛直成分は, 平均流に対して相対的な鉛直位相速度の符号と逆符号を取る}(下向きに位相伝搬する場合は, エネルギーは上方伝播されることを意味する).
 \item {\bf 群速度ベクトルは等位相線に平行\footnote{{\boldmath $k$}との
       内積が 0}}(∴群速度は位相速度と垂直)
\end{itemize}

大気中の内部重力波は, 主に対流圏での積雲対流や地形上の流れによって励起さ
れるので, 個々の流体パーセルの振動が鉛直方向数km以内に限られていたとして
も, エネルギーは上向きに伝播し成層圏にまで及び得ることが分かる. \\

図\ref{naibu-gw-pic-phase} 中の等位相線の鉛直方向に対する傾きを以下のよ
うに取れば,

$$
 \cos\alpha =
 L_{z}/\sqrt{L_{x}^{2}+L_{z}^{2}}=\pm k/\sqrt{k^{2}+m^{2}}=\pm
 k/\mbox{\boldmath $k$}
$$

\medskip
(\ref{naibu-gw-bunsan})より, $\hat{\nu} = \pm N\cos\alpha$ となり, (\ref{naibu-gw-eq})で得られた結果と一致することが分
かる.

\subsection{地形性の内部重力波}

静的安定な状況のもと, 速度 $\overline{u}$ の流れが三角関数型の地形を越え
る場合を考える. このとき個々の流体パーセルは, 平衡状態にある高度から上下
の変位を強いられるため, 浮力振動をする. このような地形による強制を受けて
上下に振動しながら浮力を復元力として進行する波を{\bf 地形性内部重力波}と
いう. 以下では, このような地形性内部重力波の特徴についてまとめる. 

\subsection{地形性内部重力波の定式化}

地形性内部重力波では, 地上の地形に対して相対的に定在となる解が存在する.
この解は時間がたっても波の位相が変化することは無い((\ref{w-modetenkai})
に於いて $\nu=0$). したがって(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})より, 次式を
得る: 

\begin{equation}
  \left(
    \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} 
  + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}}
  \right)
+ \frac{N^{2}}{\overline{u}}w'
= 0  
 \label{naibu-gw-setudou-uzudo3}
\end{equation} 
 
\subsection{地形性内部重力波の分散関係式}

\medskip
(\ref{w-modetenkai})を(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})に代入して以下の分
散関係式を得る: 

\begin{equation}
 m^{2} = \frac{N^{2}}{\overline{u}^{2}} - k^{2} \label{tikei-naibu-gw-bunsan}
\end{equation}

\subsection{地形性内部重力波の鉛直構造と鉛直伝播可能性}

(\ref{tikei-naibu-gw-bunsan})より, $N,k,\overline{u}$ が与えられれば, 地
形性内部重力波の鉛直構造を求めることが出来る. 

\begin{description}
 \item[\underline{1) $|\overline{u}<N/k|$ の場合($m^{2}>0$ の場合)}] ~\\

	    この場合, $m$ は実数となる. したがって, 鉛直上向きに伝播する
	    解(群速度 $c_{gz}>0$, 位相速度 $c_{z}<0$)が存在する:
	    $$
	     w' = \hat{w}\exp[i(kx+mz)]
	    $$

	    ここで(\ref{naibu-gw-bunsan})より, $k>0$ の時, 

	    \begin{description}
	     \item[\underline{$\overline{u}>0$ の場合:}] ~\\

			$\hat{\nu}<0$ となる(地形性内部重力波では
			$\nu=0$)ので, $c_{z}<0$ であるためには $m>0$ で
			なければならない. このとき,
			(\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) の符号は, $c_{gz}>0$ となるように, 下側の符号が選ばれる. \\

	     \item[\underline{$\overline{u}<0$ の場合:}] ~\\

			$\hat{\nu}<0$ となる(地形性内部重力波では
			$\nu=0$)ので, $c_{z}<0$ であるためには $m<0$ で
			なければならない. このとき,
			(\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) の符号は, $c_{gz}>0$ となるように, 上側の符号が選ばれる. 
	    \end{description}

 \item[\underline{2) $|\overline{u}>N/k|$ の場合($m^{2}<0$ の場合)}] ~\\
	    
	    この場合, $m$ は虚数となり $m=im_{i}$ となる.
	    (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})は, 鉛直方向に減衰する(鉛直方
	    向に捕捉された)解をもつ: 
	    $$
	     w' = \hat{w}\exp(ikx)\exp(-im_{i}z)
	    $$
\end{description}

以上の結果から, 地形性内部重力波が鉛直伝播可能($m$が実数)になるのは, 平
均流に対して相対的な振動数の大きさ $|\hat{\nu}|=|\nu(=0) -
\overline{u}k| = |\overline{u}k|$ が, 浮力振動数($N$)よりも小さい場合に
限られることが分かる\footnote{例えば, 安定成層をしていて($N$ が大きい), 
地形の山の幅が広く($k$ が小さい), 相対的に基本場の東西流($\overline{u}$)
が小さい場合に, このような条件が満たされる}. これらの波の励起源は地上に
あるので, 波のエネルギーは上向きに輸送される\footnote{位相速度は下向きと
なるので, 等位相線は高度と共に西に傾く.}. \\

最後に, 地上の地形が与えられた場合の解を示しておく. ここでは, 以下のよう
な地形のプロファイルを考える: 
$$
 h(x) = h_{M}\cos kx
$$

\medskip
ここで, $h_{M}$ は地形の振幅である. 下端の境界に於ける流れは境界に平行で
なければならないから, 境界における鉛直速度は, 運動にしたがって変化する境
界の高度変化で与えられる: 

$$
 w'(x,0) = \left(\frac{Dh}{Dt}\right)_{z=0} \approx
 \overline{u}\frac{\partial h}{\partial x} = -\overline{u}kh_{M}\sin kx
$$

\medskip
この条件を満たす(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})の解は, 以下のようになる: 

\begin{equation}
w(x,z) = \left\{
	  \begin{array}{ll}
	   -\overline{u}h_{M}ke^{-m_{i}z}\sin kx, & (\overline{u}k >N ) \\
	   -\overline{u}h_{M}k           \sin(kx+mz). & (\overline{u}k <N ) \\
	  \end{array} 
	  \right.
\end{equation}

%\Dtitle[第4章 重力波(回転系)]{}
%\Dchapter*{4.1 はじめに}

%\setcounter{chapter}{4}
%\setcounter{section}{0}

%\chapter*{第4章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(回転系)}
\chapter{重力波(回転系)}

\section{はじめに}

第1章では, 表面重力波, 内部重力波について議論した. そこでは, 惑星の回転
の影響が小さく, 波の振動数 $\omega$ がコリオリパラメータ $f$ よりもはる
かに大きい場合について扱った. 本章では, $\omega$ が $f$ と同程度であり, 
惑星の回転の影響を受けるような ``ゆっくりとした現象'' について扱う.

\section{基礎方程式の定式化(浅水方程式)}

本章では, 層厚 $H$ が一定, 底地形のない浅水波($\lambda \gg H$)を扱う(図
\ref{shallow-water-pic}). 鉛直座標 $z$ は底から上向きにとり, 表面変位
$\eta$ は波長にくらべて十分小さいものとする. 
\vspace{-3mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.13.12.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{本章であつかう系の設定} \label{shallow-water-pic}
\end{figure}

\subsection{圧力傾度力}

\ref{shallow-deep-water}節の結果より, 浅水系では静水圧平衡が成り立ってい
るから, 座標 $z$ における圧力は以下のようになる:

\begin{equation}
 p = \rho g (H+\eta-z)
\end{equation}

\medskip
したがって, 水平方向の圧力傾度力は次のようになる: 

%\Dchapter*{2.2 基礎方程式の定式化(浅水方程式)}

\begin{equation}
 \frac{\partial p}{\partial x} = \rho g \frac{\partial\eta}{\partial x},
\qquad
 \frac{\partial p}{\partial y} = \rho g \frac{\partial\eta}{\partial y}
\label{pressure-gradient-horizontal}
\end{equation}

\medskip
これらは $z$ に独立であるので, 水平運動は流体の深さに独立である. 

\subsection{連続の式}

次に, 浅水系での連続の式を導出する. 一般の連続の式

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y}
+ \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{renzoku-3d}
\end{equation}

\medskip
において, $\partial u/\partial x, \partial v/\partial y$ は共に $z$ に関
して独立であるから, $w$ は $z$ に関して線形である(底で 0, 水面で最大値). 
(\ref{renzoku-3d})を $z=0$ から $z=H+\eta$ まで鉛直積分すると次式を得る: 

\begin{equation}
  (H+\eta)\frac{\partial u}{\partial x}
+ (H+\eta)\frac{\partial v}{\partial y}
+ w(\eta) 
- w(0) 
= 0 \label{renzoku-3d-z-integral}
\end{equation}

\medskip
ここで $w(\eta), w(0)$ は, それぞれ水面, 水底での鉛直速度である($w(0)=0$). 
一方, 水面での鉛直速度は $d\eta/dt$ に等しいから次式を得る: 

\begin{equation}
 w(\eta) =   \frac{D\eta}{Dt} 
         =   \frac{\partial\eta}{\partial t}
          + u\frac{\partial\eta}{\partial x}
          + v\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
上式を用いると, (\ref{renzoku-3d-z-integral})は次のようになる: 

$$
  (H+\eta)\frac{\partial u}{\partial x}
+ (H+\eta)\frac{\partial v}{\partial y}
+         \frac{\partial\eta}{\partial t}
+        u\frac{\partial\eta}{\partial x}
+        v\frac{\partial\eta}{\partial y}
= 0, 
$$
\begin{equation}
  \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ \frac{\partial    }{\partial x}[u(H+\eta)]
+ \frac{\partial    }{\partial y}[v(H+\eta)]
= 0. \label{renzoku-3d-z-integral-2}
\end{equation}

\medskip
小振幅の波の場合, 2次の非線形項は線形項と比べて十分小さいから,
(\ref{renzoku-3d-z-integral-2})は次のようになる:

\begin{equation}
  \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ H\left(
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y}
   \right)
= 0 \label{renzoku-3d-z-integral-3}
\end{equation}

\subsection{基礎方程式}

したがって, (\ref{pressure-gradient-horizontal})と
(\ref{renzoku-3d-z-integral-3})を用いると線形化した基礎方程式は以下のよ
うになる:

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial t}
+ H\left(
    \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}
  + \displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}
   \right) &=& 0, \\ [2ex]
  \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} -fv &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x}, \\ [2ex]
  \displaystyle\frac{\partial v}{\partial t} +fu &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y}. 
 \end{array} \label{shallow-water-eq}
\end{equation}

%\Dchapter*{2.3 浅水方程式における高周波・低周波レジーム}

\medskip
ここで, 運動方程式中の非線形項(〜移流項)は小振幅の仮定のもとで無視した.
(\ref{shallow-water-eq})は, 流体の層厚に比べて水平スケ−ルがはるかに大
きい場合の流体の支配方程式であり{\bf 浅水方程式}と呼ばれる. 

\section{浅水方程式における高周波・低周波レジーム}

本節では, 種々の周波数帯で浅水方程式の各項がどのように消去できるかをまと
める. 回転の影響として, $\beta$ 効果を導入する. 慣例に従い, $x,y$ 軸をそ
れぞれ東向き, 北向きに取る. 種々の周波数帯による浅水方程式の振舞いを考察
するため, (\ref{shallow-water-eq})を用いる. \\

(\ref{shallow-water-eq})の運動方程式をそれぞれ時間微分した後, 連続の式を
用いると次のようになる:

\begin{equation}
   \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}
- f\frac{\partial    v}{\partial t    }
= gH\frac{\partial}{\partial x}\left(
				  \frac{\partial u}{\partial x}
				+ \frac{\partial v}{\partial y}
			       \right)     \label{shallow-water-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}
+ f\frac{\partial    u}{\partial t    }
= gH\frac{\partial}{\partial x}\left(
				  \frac{\partial u}{\partial x}
				+ \frac{\partial v}{\partial y}
			       \right)     \label{shallow-water-eq-v2}
\end{equation}

\medskip
さらに(\ref{shallow-water-eq-v2})を $t$ で微分した後,
(\ref{shallow-water-eq-u2})を用いると次のようになる: 

\begin{equation}
   \frac{\partial^{3} v}{\partial t^{3}}
+ f\left[
    f\frac{\partial v}{\partial t}
  +gH\frac{\partial  }{\partial x}\left(
				   \frac{\partial u}{\partial x}
				 + \frac{\partial v}{\partial y}
				  \right)
   \right]
= 
  gH\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}\left(
					      \frac{\partial u}{\partial x}
					    + \frac{\partial v}{\partial y}
					     \right) \label{shallow-water-eq-u-v3}
\end{equation}

\medskip
ここで, $u$ を消去するため(\ref{shallow-water-eq})の運動方程式から得られ
る次の渦度方程式を用いる: 

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial u}{\partial y}
		            -\frac{\partial v}{\partial x} 
			    \right)
-f_{0}\left(
       \frac{\partial u}{\partial x}
     + \frac{\partial v}{\partial y}
      \right)
-\beta v
= 0  \label{shallow-uzudo-eq}
\end{equation}

\medskip
ここで, $f$ について $\beta$ 平面近似 $f=f_{0}+\beta y$ (ただし,
$\beta\equiv df/dy$; これは, $\Delta f/f \ll 1$ の場合に妥当である)を用
いた. (\ref{shallow-uzudo-eq})を $x$ 微分した後, $gH$ を掛けて
(\ref{shallow-water-eq-u-v3})を加えると $v$ のみの渦度方程式を得る: 
\begin{eqnarray}
   \frac{\partial}{\partial x}(\ref{shallow-uzudo-eq}):
&& \frac{\partial}{\partial t}\left(
			       \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}
			      -\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}      } 
			      \right)
 -f_{0}\left(
	\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} 
       +\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}  
       \right)
 -\beta\frac{\partial u}{\partial x}
 = 0 \nonumber \\
\times gH :
&& gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}
				-\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}      } 
			        \right)
 -f_{0}gH\left(
	  \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} 
	 +\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}  
       \right)
 -\beta gH\frac{\partial u}{\partial x}
 = 0 \nonumber \\
+(\ref{shallow-water-eq-u-v3}):
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  +f_{0}gH\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
  +f_{0}gH\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}
  +gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}
				-\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}      } 
			        \right) \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
  -f_{0}gH\left(
	   \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
	  +\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}
	  \right)
  -\beta gH\frac{\partial v}{\partial x}
  = gH\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}\left(
						\frac{\partial u}{\partial x}
					       +\frac{\partial v}{\partial y}
					       \right)\nonumber \\
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  -gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
				+\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} 
			        \right)
  -\beta gH\frac{\partial v}{\partial x}
  = 0 \nonumber \\
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  -gH\frac{\partial}{\partial t}\nabla^{2}_{H}v
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  -gH \beta \frac{\partial v}{\partial x}
  = 0 \label{shallow-water-eq-only-v3}
\end{eqnarray}
ただし, $\nabla^{2}_{H}=\partial^{2}/\partial
x^{2}+\partial^{2}/\partial y^{2}$ は水平ラプラシアン演算子である. 
ここで, 以下のような波動解を考える: 

\begin{equation}
 v = \hat{v}e^{i(kx+ly-\omega t)} 
\end{equation}

\medskip
ここで, $k$ は東西波数, $l$ は南北波数である. これを
(\ref{shallow-water-eq-only-v3})に代入して次の分散関係式を得る: 

\begin{equation}
 \omega^{3} - c^{2}\omega K^{2} - f_{0}^{2}\omega - c^{2}\beta k = 0 
 \label{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}
\end{equation}

\medskip
ここで, $K^{2} = k^{2} + l^{2}$, $c=\sqrt{gH}$ である.
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}) は浅水波方程式の一般的な分散関係
式である. 以下では, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})を $\omega$ 
の範囲によって分類する.

\subsection{$\omega \gg f$ (高周波)の場合}

この場合, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の3番目の項は1番目の項
と比べて無視することが出来る. さらに, 4番目の項は2番目の項と比べて無視で
きる: 

\begin{equation}
     \frac{c^{2}\beta k}{c^{2}\omega K^{2}} 
\sim \frac{\beta}{\omega K} 
\sim 10^{-3}
\end{equation}

\medskip
ここで, 以下の典型的な値を用いた: $\beta=2\times
10^{-11}$m$^{-1}$s$^{-1}$, $\omega = 3f\sim 3\times 10^{-4}$s$^{-1},
2\pi/K\sim 100$km. それ故, $\omega \gg f $ の場合には,
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})式は1番目の項と2番目の項とのバラ
ンスになる: 

\begin{equation}
\omega^{3} - c^{2}\omega K^{2} = \omega(\omega^{2} - c^{2}K^{2}) = 0  
\end{equation} 

\medskip
これより $\omega = \pm K\sqrt{gH}$ を得る. 波の位相速度は $\omega
/K=\sqrt{gH}$ となるから, したがって高周波の波の場合には, $f$ と $\beta$
の影響(回転の効果)は共に無視できることが分かる. これは, $\omega$ が $f$
と比べて非常に大きいためにコリオリ力の効果が効かなくなることに対応してい
る. 

\subsection{$\omega > f$ (ただし $\omega \sim f$)の場合}

この場合, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の3番目の項は無視で
きないが, $\beta$ 効果(4番目の項)は無視できる. したがって, この場合の重
力波はコリオリ力によって影響を受ける. しかし, 運動のタイムスケールは依然
として非常に短いので, $\beta$ 効果によって影響を受けることは無い. 

\subsection{$\omega \ll f$ (低周波)の場合} 

この場合には, $\beta$ 効果が非常に重要になる. このとき, 
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の第一項は無視できる. 例えば, 
1番目の項と4番目の項を比べると以下のようになる: 

\begin{equation}
 \frac{\omega^{3}}{c^{2}\beta k} \ll 1
\end{equation}

%\Dchapter*{2.4 回転系の重力波}

\medskip
海洋の典型的な値を用いると, 順圧モードの場合 $c\sim 200$m/s, 傾圧モード
の場合 $c\sim 2$m/s となり, $\beta = 2\times 10^{-11}$m$^{-1}$s$^{-1}$,
$2\pi/k\sim 100$km, $\omega\sim 10^{-5}$s$^{-1}$ である. これらの値から
上の比は, 順圧モードの場合, 約 $0.2\times 10^{-4}$, 傾圧モードの場合 0.2 
となる. それ故, $\omega \ll f$ の場合には
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の第一項は無視できることがわかる.
\\

(\ref{shallow-water-eq-only-v3})は, 大気, 海洋の種々の波動を支配する方程
式系である. 本節での議論により, 限定された状況のもとで, これらの方程式の
どの項を無視して良いかについて明らかにした. 以下の節では, 個々の限定され
た状況について, その波動の性質をまとめることにする.

\section{回転系の重力波}

本節では, 振動数 $\omega$ が $\omega > f$ の範囲の重力波についてまとめる. 
前節の結果よりこの範囲では, $\beta$ 効果は無視することが出来る. したがっ
て, $f=f_{0}$(const.) とする. ここで, 以下のように波動解を仮定する. 

\begin{equation}
 (u,v,\eta) = (\hat{u},\hat{v},\hat{\eta})e^{i(kx+ly-\omega t)}
\end{equation}

\medskip
ここで, $\hat{u},\hat{v},\hat{\eta}$ は複素振幅である. 上式を
(\ref{shallow-water-eq})に代入すると次のようになる: 

\begin{equation}
 -i\omega\hat{u} -f\hat{v} = -ikg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{v} +f\hat{u} = -ilg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\eta} + iH(k\hat{u}+l\hat{v}) = 0. \label{inertio-gw-eta}
\end{equation}

\medskip
(\ref{inertio-gw-u})と(\ref{inertio-gw-v})より $\hat{u},\hat{v}$ につい
て解くと以下を得る: 

\begin{equation}
 \hat{u} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega k + ifl),
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega l - ifk).
\end{equation}

\medskip
これらを(\ref{inertio-gw-eta})に代入して次の分散関係式を得る:  
\begin{eqnarray}
 \omega^{2} - f^{2} &=& gH(k^{2}+l^{2}) \nonumber\\
 \omega^{2}         &=& f^{2} + gHK^{2} 
\end{eqnarray}

\medskip
ここで, $K^{2}=\sqrt{k^{2}+l^{2}}$ である. 上の分散関係式から, この波は
水平面内であらゆる方向に伝播し, $\omega > f$ であることがわかる. このよ
うに, コリオリ力によって影響を受けた重力波を{\bf ポアンカレ波}({\it
Poincar\'{e} wave}), スベルドラップ波({\it Sverdrup waves}), {\bf 慣
性重力波}({\it inertio gravity waves})等と呼ぶ. 次節では, この慣性重力波
の特徴について更に詳しくまとめることにする. 

%\Dtitle[第5章 重力波(回転系)−慣性重力波]{}

%\setcounter{chapter}{5}
%\setcounter{section}{0}

%\chapter*{第5章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(回転系)−慣性重力波}
\chapter{慣性重力波}
%\Dchapter*{5.1 慣性重力波}

\section{慣性重力波(Inertio-Gravity Waves)}

数 km 以上の水平スケールをもち, 数時間以上の周期をもつ重力波は, コリオリ
力の影響を受ける(ロスビー数が小さい場合にあたる). このように, 回転の影響
を受けた重力波を{\bf 慣性重力波} という. 本節では慣性重力波の特徴をまと
めることにする.

\subsection{慣性重力波の定性的な特徴}

\begin{itemize}
 \item 慣性重力波は, 数 km 以上の水平スケールと数時間以上の周期を
       もち, 回転の影響を受けた重力波である. 
 \item 慣性重力波の復元力は, 浮力とコリオリ力である. 
 \item 水平だけでなく鉛直伝播も可能である. 特に, 子午面方向のパーセルの
       振動が慣性重力波には重要である\footnote{コリオリ力の変化が復元力
       となるため}.
\end{itemize}

\subsection{パーセル法による慣性重力波の解釈}

図5のように, $y,z$ 平面において斜めの経路を伝わるパーセルの振動を考える. 
鉛直変位を $\delta z$ とすると, パーセルの振動方向に平行な浮力成分は,
$-N^{2}\delta z\cos\alpha$ である. 一方, パーセルの振動方向に平行なコリ
オリ力の成分は, 慣性振動を考えると得られる. \\

\medskip
\begin{breakbox}
\vspace{5mm}
\small
{\bf 慣性振動}

\bigskip
基本場は東西流のみであるとし, $u_{g}(y)$ とおく. パーセルの変位により圧
力場は変化しな\\
\hspace*{7mm}いものと仮定すると, パーセルの運動方程式は以下のようになる: 

$$
 \frac{Du}{Dt} = fv = f\frac{Dy}{Dt} \eqno(\mbox{A.1})~~~~~
$$

$$
 \frac{Dv}{Dt} = -f(u-u_{g})         \eqno(\mbox{A.2})~~~~~ 
$$

\medskip
$y=y_{0}$ でパーセルは地衝流平衡にあるものとすると, $\delta y$ だけ変位
したパーセルの東西速\\
\hspace*{7mm}度は(A.1)を積分して以下のように得られる: 

$$
 u(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + f\delta y   \eqno(\mbox{A.3})~~~~~ 
$$ 

\medskip
一方, $y_{0}+\delta y$ における地衝風は, $y_{0}$ のまわりで $u_{g}$ をテ
イラー展開することにより次の\\
\hspace*{7mm}ように表すことができる.

$$
 u_{g}(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + \frac{\partial u_{g}}{\partial y}\delta y   \eqno(\mbox{A.4})~~~~~ 
$$

\medskip
(A.3)と(A.4)を用いて, (A.2)を評価すると $y_{0}+\delta y$ の場所における
南北方向の運動方\\
\hspace*{7mm}程式は次のようになる: 

$$
 \frac{Dv}{Dt} = \frac{D^{2}\delta y}{Dt^{2}} = -f\left(f-\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\right)\delta y  \eqno(\mbox{A.5})~~~~~
$$

\vspace{4mm}
\end{breakbox}
\vspace{5mm}

慣性振動の考察により, 基本場が $y$ 方向に一定の場合($u_{g}=const.$)の南
北方向のコリオリ力は(A.5)より $-f^{2}\delta y$ である. したがって, パー
セルの振動方向に平行なコリオリ力の成分は $-f^{2}\delta y\sin\alpha$ とな
る. 以上より, パーセルの運動方程式(\ref{naibu-gw-eq})は次のようになる:
\begin{eqnarray}
   \frac{D^{2}\delta s}{Dt^{2}} 
 &=& - f^{2}\delta y\sin\alpha 
     - N^{2}\delta z\cos\alpha \nonumber \\
 &=& - f^{2}(\delta s\sin\alpha)\sin\alpha 
     - N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha \nonumber \\
 &=& - (f\sin\alpha)^{2}\delta s 
     - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \nonumber \\
 &=& - (N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha)\delta s
\end{eqnarray}
ここで, $\delta s$ はパーセルの変位である(図5). したがって分散関係式は次
のようになる: 
\begin{eqnarray}
 \nu^{2} &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha \label{inertio-gw-bunsan} \\
         &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}(1-\cos^{2}\alpha) \nonumber \\
         &=& (N^{2}-f^{2})\cos^{2}\alpha + f^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
ここで $N^{2}>f^{2}$ であるから, (\ref{inertio-gw-bunsan})より慣性重力波
の振動数 $\nu$ は, $f \le |\nu| \le N$ にあることが分かる\footnote{パー
セルの軌跡の傾斜が鉛直方向に近付くにつれて $\nu$ は $N$ に近くなる. 一方,
パーセルの軌跡の傾斜が水平方向に近付くにつれて $\nu$ は $f$ に近くなる.
中緯度の対流圏で $\nu$ の範囲は, およそ12分〜15時間である.}. 

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/Fig7.11.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{慣性重力波における子午面内でのパーセルの振動の模式図.} \label{inertio-gw-pic-percel}
\end{figure}

\subsection{慣性重力波の定式化}

慣性重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である. 

\begin{itemize}
 \item 運動は3次元($x,y,z$ 平面)
 \item 流体の回転を含む
 \item ブジネスク近似(浮力項中の重力を除き密度一定(ゆえに, 非圧縮流体)
       として扱う)
 \item 基本場の流れは無し
 \item 静水圧平衡
\end{itemize}

上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる: 

\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial t}
- fv'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x}
= 0, \label{inertio-gw-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v'}{\partial t}
+ fu'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial y}
= 0, \label{inertio-gw-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
- \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g
= 0, \label{inertio-gw-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{\partial v'}{\partial y}
+ \frac{\partial w'}{\partial z}
= 0, \label{inertio-gw-eq4}
\end{equation}
\begin{equation}
    \frac{\partial \theta'}{\partial t}
+ w'\frac{\partial \overline{\theta}}{\partial z}
= 0. \label{inertio-gw-eq5}
\end{equation}

\medskip
ここで(\ref{inertio-gw-eq3})より, 
$$
  \theta' 
= \frac{1}{\rho_{0}}
  \frac{\overline{\theta}}{g}\frac{\partial p'}{\partial z}
$$

\medskip
であるから, これを(\ref{inertio-gw-eq5})に代入して $\theta'$ を消去すると
次式を得る:

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}
  \left(\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}\right)
+ N^{2}w'
= 0 \label{inertio-gw-setudou}
\end{equation}

\subsection{慣性重力波の分散関係}

慣性重力波の分散関係を得るため, (\ref{inertio-gw-setudou})に対して以下の
ように波型の解を仮定する:

$$
   (u',v',w',p'/\rho_{0}) 
 = \mbox{Re}[(\hat{u'},\hat{v'},\hat{w'},\hat{p'})\exp i(kx+ly+mz-\nu t)]
$$

\medskip
上式を
(\ref{inertio-gw-eq1}),(\ref{inertio-gw-eq2}),(\ref{inertio-gw-setudou})
に代入すると, 次式を得る: 

\begin{equation}
 \hat{u} =  \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu k + ilf)\hat{p},\label{inertio-gw-uhat}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v} =  \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu l - ikf)\hat{p},\label{inertio-gw-vhat}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{w} = -\frac{\nu m}{N^{2}}\hat{p}.\label{inertio-gw-what}
\end{equation}

\medskip
ここで(\ref{inertio-gw-eq4})を用いると, 慣性重力波の分散関係式は以下のよ
うになる:

\begin{equation}
 \nu^{2} = f^{2} + \frac{N^{2}(k^{2}+l^{2})}{m^{2}} \label{inertio-gw-bunsan2}
\end{equation}

\medskip
静水圧平衡の状況のもとでは, 運動の水平スケール $\gg$ 運動の鉛直スケール
であるから, $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ である. したがって, $m$ が実数と
なるような鉛直伝播可能な波動の場合, (\ref{inertio-gw-bunsan2})より慣性重
力波の振動数 $\nu$ は $|f|<|\nu|\ll N$ の範囲でなければならないことがわ
かる. (\ref{inertio-gw-bunsan2})は, 以下のような変換を施すと
(\ref{inertio-gw-bunsan})と同等であることが分かる\footnote{この変換は,
場が静水圧平衡にある場合の条件 $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ と同等である.}. 

$$
 \sin^{2}\alpha \rightarrow 1, \qquad \cos^{2}\alpha =\frac{k^{2}+l^{2}}{m^{2}}
$$

\subsection{慣性重力波の構造と伝搬メカニズム}

$l=0$ の場合, (\ref{inertio-gw-uhat})$\times if +$
(\ref{inertio-gw-vhat})$\times \nu$ より,
$\hat{v}=-\frac{if\hat{u}}{\nu}$ を得る. これより, $\hat{u}$ が実数の場
合, 慣性重力波の水平成分は以下のようになる: 

\begin{equation}
 u' = \hat{u}\cos(kx+mz-\nu t), \qquad v' = \hat{u}(f/\nu)\sin(kx+mz-\nu t)
\end{equation}

\medskip
上の結果から, 慣性重力波について以下の性質があることがわかる(図
\ref{inertio-gw-pic-phase}参照)\footnote{こ
れらの性質は, 観測データで内部重力波と慣性重力波を区別するのに役立つ.}: 

\begin{itemize}
 \item 速度ベクトルの水平成分は, 時間と共に高気圧性循環(北半球では時計周
       り)をする.  
 \item パーセルの軌跡は, 波数ベクトルに垂直な面内で楕円を描く.
 \item 上向きにエネルギーを伝播する波($c_{gz}>0$)の場合($m<0, \nu >0
       \rightarrow c_{z}<0$ の場合), 速度ベクトルの水平成分は, 高度上昇
       と共に時計周りで回転する. 
\end{itemize}

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9.5cm]{ps/Fig7.12.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{上向きに伝播する慣性重力波 ($m<0,\nu >0, f>0$ :北半球)の速度,
 ジオポテンシャル, 温度擾乱の位相を波数ベクトル {\protect\boldmath $k$} を含む鉛直断面で示したもの. 傾いた細い線は, 波数ベクトルに垂直な等位相面を表す. 太い矢印は, 位相伝搬の方向を示す. 細い矢印は, 慣性重力波の東西, 鉛直速度場を表す. 子午面の風は, ページ内に向かう向きを北向き, ページから出る向きを南向きとして表している. この図より速度ベクトルは高度とともに, 時計周りをしている様子が分かる.} \label{inertio-gw-pic-phase}
\end{figure}

%\Dchapter*{2.6 ケルビン波}
\chapter{ケルビン波}

\section{ケルビン波}

本節では, 壁に平行に伝播する重力波を考える. このうち, 壁に捕捉された重力
波を特に, {\bf ケルビン波}と呼ぶ. %この場合, 壁から離れるにつれ
%て減衰する圧力傾度力 $\partial\eta/\partial y$ が存在する. したがって
このとき, $v=0$ であるから $fu$ は $-g(\partial\eta/\partial y)$ と地衝
流バランスした状態にある($f$ は一定): 

\begin{equation}
 fu = -g\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
波頭の下部の左側では下降流, トラフの左側では上昇流があることから, 圧力傾
度力の方向に対して右向きに流れが存在することになる. このことから, ケルビ
ン波では, 北(南)半球の場合, 壁を右(左)にみる方向に流れが存在する. \\

ポアンカレ波(慣性重力波)とケルビン波との違いは, 南北方向の方程式から明ら
かである: 

\begin{equation}
 \frac{\partial v}{\partial t}
+ fu
= -g\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
ポアンカレ波の場合, 波頭が水平になり南北の圧力傾度力が存在しないときには,
$\partial v/\partial t$ はコリオリ力とバランスし, 粒子の軌跡は楕円軌道を
描く. 一方, ケルビン波の場合には, 地衝流バランス $fu =
-g(\partial\eta/\partial y)$ のために南北流速が存在しない.

\subsection{ケルビン波の定式化}

(\ref{shallow-water-eq})より, $x$ 方向の壁に沿って伝播するケルビン波の運
動方程式は次のようになる: 

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial t} + H\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} 
&=& 0, \\ [2ex]
 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x},\\ [2ex]
                            fu &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y}.
\end{array} \label{shallow-kelvin-eq}
\end{equation}

\subsection{ケルビン波の分散関係}

ここで解を以下のように仮定する: 

\begin{equation}
 [u,\eta] = [\hat{u}(y),\hat{\eta}(y)]e^{i(kx-\omega t)}
\end{equation}

\medskip
(\ref{shallow-kelvin-eq})に代入すると次のようになる: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  -i\omega\hat{\eta} + iHk\hat{u} &=& 0, \\ [1.5ex]
  -i\omega\hat{u}                 &=& -igk\hat{\eta}, \\ [1.5ex]
  f\hat{u} = -g\displaystyle\frac{d\hat{\eta}}{dy}.
 \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-eq}
\end{equation}

\medskip
上式の最初の二つの式から $\hat{u}$ を消去すると次のようになる: 

\begin{equation}
 \hat{\eta}[\omega^{2}-gHk^{2}] = 0
\end{equation}

\medskip
よって, 任意の $\eta$ について次の分散関係式を得る: 

\begin{equation}
 \omega = \pm k\sqrt{gH}
\end{equation}

\medskip
ゆえに, 位相速度は非分散となり次の様になる: 

\begin{equation}
 c = \sqrt{gH}
\end{equation}

\medskip
上記の結果より, {\bf ケルビン波の伝播する速度は非回転系の重力波の位相速
度と同じになる.} 慣性重力波(ポアンカレ波)とケルビン波の分散曲線をまとめ
ると図\ref{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan} の様になる: 

\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[8cm]{ps/FM-Fig.13.15.ps}
 \end{center}
 \vspace{-8mm} 
\caption{ポアンカレ波とケルビン波の分散曲線} \label{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan}
\end{figure}

\subsection{ケルビン波の構造}

東西の構造($x$ 方向)を調べるため, (\ref{shallow-kelvin-mode-eq})の1番目
と3番目の方程式から $\hat{u}$ を消去すると次の様になる: 

\begin{equation}
 \frac{d\hat{\eta}}{dy} \pm \frac{f}{c}\hat{\eta} = 0
\end{equation}

\medskip
このうち, 岸から離れると減衰する解は以下の様になる: 

\begin{equation}
 \hat{\eta} = \eta_{0}e^{-fy/c}
\end{equation}

\medskip
ここで, $\eta_{0}$ は岸における振幅である. これより, ケルビン波の場合の
表面変位と速度場は以下の様になる: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  \eta &=& \eta_{0}e^{-fy/c}\cos k(x-ct) \\ [2ex]
     u &=& \eta_{0}\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{g}{H}}e^{-fy/c}\cos k(x-ct)
 \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-solution}
\end{equation}

ここで, 解は実部のものを選んだ. また, $u$ の解を得るのに,
(\ref{shallow-kelvin-mode-eq})を用い
た. (\ref{shallow-kelvin-mode-solution})より, ケルビン波の南北の減衰スケー
ルは以下の様に与えられる:

\begin{equation}
 \Lambda \equiv \frac{c}{f}
\end{equation}

\medskip
これは, ロスビーの変形半径({\it Rossby radius of deformation})と呼ばれる. 
$H=5$km, $f=10^{-4}$s$^{-1}$(中緯度)の場合, $c=\sqrt{gH}=220$m/s,
$\Lambda = c/f=2200$km である. 

%\Dchapter*{2.7 ロスビー波}

\input{rossby-wave.tex}

%\Dchapter*{2.8 赤道波}

\input{eq-wave-body.tex}

\input{reference.tex}

\appendix

\input{appendix.tex}

\end{document}