\chapter{赤道波の固有値・固有関数(有次元系)}\Dchaplab{eq-bunsan-dim-sec}

本章では, \Dchapref{eq-bunsan-sec}で導出した無次元の固有値・固有関数
に対応して, 有次元での赤道波の解をまとめる. 

\section{固有値問題の定式化}

(\ref{spector-ex})を(\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})に代入して以下を得る:
\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} - \beta y \hat{v} = -ik\hat{\Phi},
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega \hat{v} + \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
			 ik\hat{u} + \frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
		        \right)
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi}
\end{equation}
上式で $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ としたものが, 無次元化した場合の結果である. 
さらに, 上式から $\hat{v}$ だけの式を導出すると以下の様になる: 
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\hat{v}}{\partial y^{2}}
+ \left[
   \left(
    \frac{\omega^{2}}{gH}
   -k^{2}
   -\frac{k}{\omega}\beta
   \right)
  -\frac{\beta^{2}y^{2}}{gH}
  \right]\hat{v}
= 0. \Deqlab{equator-shallow-water-eq-mode-only-v}
\end{equation} 
$\hat{v}$ は, 上式と, 境界条件(赤道に捕捉される条件),
$$
 v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty),
$$
を満たす $k$ の関数として決められる. よって, この境界条件を用いると, 
\Deqref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v}の固有値問題は以下の式を解
くという問題に帰着される: 
\begin{equation}
 \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
			 -\frac{k}{\omega}\beta
			 -k^{2}
			 +\frac{\omega^{2}}{gH}
		        \right)
= 2n+1 \qquad (n=0,1,2,\cdots). \label{equatorial-wave-bunsan}
\end{equation}
ゆえに, 
\begin{equation}
 \omega^{3} - \{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0. 
 \label{equatorial-wave-bunsan2}
\end{equation}

\section{固有値, 固有関数のまとめ}

無次元系での方法と同様に固有値・固有関数の導出を行うと次の様になる. こ
こでは, 結果だけをまとめる.  

\subsection{\protect$\hat{v}\not=0$ の解}

$n=0$ の場合の分散関係と固有関数は以下の通りである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=0_omega}
  \omega_{i} & = & \frac{1}{2}\left( k\sqrt{gH} \pm \displaystyle\sqrt{ k^{2}gH
+ 4\beta\sqrt{gH} } \right) \qquad (i=1,2), \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=0_u}
  \hat{u}(y) & = & \frac{i}{\omega_{i}-k}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}}, \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=0_v}
  \hat{v}(y) & = & H_{0}e^{-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}},  \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=0_Phi}
  \hat{\Phi}(y) & = & \frac{i}{\omega_{i}-k}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}
                      y H_{0}e^{-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}}.
\end{eqnarray}
$n \ge 1$ の場合の分散関係と固有関数は以下の通りである.

~~
\vspace{-5mm}
\begin{eqnarray}
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_omega1}
 \omega_{1} & \simeq & \frac{-k\beta}{k^{2}+\displaystyle\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)},\\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_omega2}
 \omega_{2} & \simeq & -\sqrt{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)}, \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_omega3}
 \omega_{3} & \simeq &  \sqrt{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)}, \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_u}
 \hat{u}(y) & =      &\frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
            \left(
              \omega y H_{n}(y) \exp
	      \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	      \right) \right. \nonumber\\
            &        & \left.
        - k \left[
	    \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
	     \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	     \right)
	      - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
	     \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	     \right)
	    \right]            
	    \right),~~~~~~~~~~ \\
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_v}
 \hat{v}(y)  &   = & H_{n}e^{-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}}, \\
 \hat{\Phi}(y) & = & \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
            \left(
              k y H_{n}(y) \exp
	      \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	      \right) \right. \nonumber\\
          && \left.
        - \omega \left[
	          \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
		  \left(
		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
		  \right)
		  -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
		  \left(
		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
		  \right)
		 \right]            
	    \right).~~~~~~~~~~
\Deqlab{dim-solution_vnot=0_n=1_Phi}
\end{eqnarray}

\subsection{\protect$\hat{v}=0$ の解}

$v=0$ の場合の解は以下の通りである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{dim-solution_v=0_omega}
  \omega        & = & k\sqrt{gH}, \\
\Deqlab{dim-solution_v=0_n=-1_u}
  \hat{u}(y)    & = & u_{0}e^{-\frac{1}{2\sqrt{gH}}y^{2}}, \\
\Deqlab{dim-solution_v=0_n=-1_v}
  \hat{v}(y)    & = & 0, \\
\Deqlab{dim-solution_v=0_n=-1_phi}
  \hat{\Phi}(y) & = & u_{0}\sqrt{gH}e^{-\frac{1}{2\sqrt{gH}}y^{2}}.
\end{eqnarray}

%\section{固有値}
%
%\subsection{$v\not=0$ の場合} 
%
%\medskip
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})より
%
%\begin{equation}
% \hat{u} = -\frac{1}{i\omega}(\beta y\hat{v}-ik\hat{\Phi}).
% \label{equator-shallow-water-eq-mode-u'}
%\end{equation}
%
%\medskip
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})を
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v})に代入して
%
%\begin{equation}
% (\beta^{2}y^{2}-\omega^{2})\hat{v} 
%= ik\beta y\hat{\Phi} + i\omega\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}.
%\label{equator-shallow-water-eq-mode-v'}
%\end{equation} 
%
%\medskip
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})を
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})に代入して
%
%\begin{equation}
% (\omega^{2}-k^{2}gH)\hat{\Phi} 
%+ i\omega gH\left(
%	     \frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
%	    -\frac{k}{\omega} \beta y \hat{v}
%	    \right)
%= 0,
%\label{equator-shallow-water-eq-mode-phi'}
%\end{equation}
%
%\medskip
%を得る. (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v'})と
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi'})から $\Phi$ を消去すると, 次の
%$v$ についての二階常微分方程式を得る: 
%
%\begin{equation}
%  \frac{\partial^{2}\hat{v}}{\partial y^{2}}
%+ \left[
%   \left(
%    \frac{\omega^{2}}{gH}
%   -k^{2}
%   -\frac{k}{\omega}\beta
%   \right)
%  -\frac{\beta^{2}y^{2}}{gH}
%  \right]\hat{v}
%= 0. \label{equator-shallow-water-eq-mode-only-v}
%\end{equation} 
%
%\medskip
%赤道から十分離れたところで減衰するような条件(赤道に捕捉される条件),
%
%$$
% v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty),
%$$
%
%\medskip
%を満たす(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})の解は次の条件を満た
%す(shr\"{o}dinger equation の固有値問題):
%
%\begin{equation}
% \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
%			 -\frac{k}{\omega}\beta
%			 -k^{2}
%			 +\frac{\omega^{2}}{gH}
%		        \right)
%= 2n+1 \qquad (n=0,1,2,\cdots). \label{equatorial-wave-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%上式は, 赤道に捕捉された東西波数 $k$, 南北のモード数 $n$ の振動解を求め
%る式(赤道波の分散関係式)である. 上式より $v\not=0$ の場合の固有値方程式
%は以下のようになる:
%
%\begin{equation}
% \omega^{3} - \{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0. 
% \label{equatorial-wave-bunsan2}
%\end{equation}
%
%\medskip
%これは浅水波の分散関係式(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})に於いて $c=\sqrt{gH},f=\sqrt{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}$ とした場合に対応している. \\
%
%\subsection{$v=0$ の場合} 
%
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})で $v=0$ として次式を得る: 
%\begin{equation}
% -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi}, 
%  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-u}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
%  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-v}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
%			 ik\hat{u}
%		        \right)
% = 0.
%  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi}
%\end{equation}
%
%\medskip
%(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})と
%(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi})から $\Phi$ を消去すると次式を得る:
%
%\begin{equation}
% \omega^{2} = k^{2}gH. \label{equator-kelvin-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%これが, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})〜
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})に於いて, $v=0$ とした場合の固
%有値方程式にあたる.
%
%\section{固有関数}
%
%\subsection{$v\not=0$ の場合} 
%
%簡単化のため, $y$ を次のように置換する: 
%
%\begin{equation}
% \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y
%\end{equation}
%
%\medskip
%このとき, 
%
%\begin{equation}
% y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, 
%  \qquad 
%\partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi
%\end{equation}
%
%\medskip
%であるから, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})より次式を得る: 
%\begin{eqnarray}
%  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
%+ \left[
% \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
%			 -\frac{k}{\omega}\beta
%			 -k^{2}
%			 +\frac{\omega{2}}{gH}
%		        \right)
% - \xi^{2}
%  \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\
%  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
%+ \left[
%   (2n+1)-\xi^{2}
%  \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq}
%\end{eqnarray}
%
%\medskip
%上式は二次のシュレーディンガー方程式であるから, 解はエルミート多項式を用
%いて次の様に表される: 
%
%\begin{equation}
% \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v3}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v4}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ここで, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ は $n$ 次のエルミート多項式である: 
%
%\begin{equation}
%\left.
%\begin{array}{rcl}
% H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex]
% H_{0}(y)   &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots 
%\end{array}
%\right\}
%\end{equation}
%
%\medskip
%また, $n$ は $|y|<\infty$ の領域において南北方向の速度プロファイルの節の
%数に対応する. この $\hat{v}$ を用いて, $\hat{u}, \hat{\phi}$ は,
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})より, 以下の様に表される: 
%
%\begin{equation}
% \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
%  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u4}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
%  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi4}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ここで, \ref{sec-eigen} 節の結果より, $\hat{v}\not=0$ の条件のもとでは
%$\omega^{2}-k^{2}\not=0$ が成り立つことを用いた. 以上
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v4}),
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u4}),
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi4})が $v\not=0$ の場合の固有関数
%である.
%
%\subsection{$v=0$ の場合} 
%
%(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})と(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-v})から 
%$\hat{\Phi}$ を消去すると次式を得る:
%
%\begin{equation}
% \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}.
%\end{equation}
%
%\medskip
%ただし, $c=\omega/k$ である. したがって, $\hat{u}$ は以下の様になる: 
%
%\begin{equation}
% \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ただし $u_{0}$ は赤道での東西速度を表す. 
%%ここで(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})において,
%%$y\rightarrow\pm\infty$ で減衰する解が存在するためには, $c>0$ でなければ
%%ならない. ゆえに,
%%
%%\begin{equation}
%% c = \sqrt{gH}. \label{equator-kelvin-bunsan2}
%%\end{equation}
%%
%\medskip
%よって, (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u}) より $\hat{\phi}$ は以下の様に
%なる:
%
%\begin{equation}
% \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-phat}
%\end{equation}
%
%\medskip
%以上(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat}),
%(\ref{equator-kelvin-eq-mode-phat})が $v=0$ の場合の固有関数である. 本節
%の結果より, $y\rightarrow\pm\infty$ のとき $(u,v,\Phi)\rightarrow 0$ (境
%界条件)を満たすのは, $c>0$ の場合であることが分かる. これより, $\omega >
%0$ であるから, ゆえに分散関係は 
%
%\begin{equation}
% \omega = k\sqrt{gH},
%\end{equation}
%
%\medskip
%が選ばれる. 

\chapter{$n\ge 1$ の分散関係式の解}\Dchaplab{eq-bunsan-nge1}

本章では, $n\ge 1$ の場合の分散関係式の厳密解と近似解を導出をまとめる.
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v4})より, 分散関係式は以下
の様になる:
\begin{equation}
 \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
\end{equation}
(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})は, 変数 $n$ を含んだ一般的な 3次
方程式であり厳密解として固有値 $\omega$ は 3つ存在する. 以下では, はじめ
に厳密解を導出したあと, $\omega$ の大小によってこれら 3つの固有値を近似
的に取り出す方法を示す. %\footnote{厳密解は,\ref{eigen-value-genmitsu-solution}節で導出する}.

\section{\protect$n\ge 1$ の場合の分散関係式の厳密解}

本節では, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の厳密解を導出する. ここ
では, $k=0$ の場合と $k\not=0$ の場合とに分けて考える. $k=0$ の場合は簡
単に解が求まるが, $k\not=0$ の場合には解は簡単に求まらないので, カルダノ・
タルタリアの解法を用いて(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の厳密解を
導出することにする. 

\begin{description}
 \item[\underline{(1) $k=0$ の場合}] ~\\ \vspace{-3mm}

(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})より,
\begin{equation}
 \omega_{i}^{3} = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1)
\end{equation}
\begin{equation}
 \omega_{i}\{
              \omega_{i}^{2} - (2n+1)
           \} = 0.
\end{equation}
ゆえに, 
\begin{equation}
 \omega = \left\{
	   \begin{array}{l}
	    \omega_{1} = 0, \\[2ex]
	    \omega_{2} = -\sqrt{2n+1}, \\[2ex]
	    \omega_{3} =  \sqrt{2n+1}. \\
	   \end{array}
          \right.
\end{equation}

 \item[\underline{(2) $k\not=0$ の場合}] ~\\ \vspace{-3mm}

	    カルダノ・タルタリアの方法を用いて
	    (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の厳密解を導出する.
(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})
\begin{equation}
 \omega_{i}^{3} - (k^{2}+2n+1)\omega_{i} - k = 0. \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1)
 \label{equatorial-wave-nondim-bunsan-1}
\end{equation}
	    において, $\omega = \alpha + \beta$ とおき, $\alpha$ と 
	    $\beta$ を求めることにする. 

	    $\omega^{3}$ に $\omega = \alpha + \beta$ を代入すると, 
	    次式を得る: 
\begin{equation}
 \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0
 \label{equatorial-wave-nondim-bunsan-2}
\end{equation}
(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan-1})と(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan-2})を比較して
$$
 3\alpha\beta = k^{2} + 2n + 1. 
$$
$$
 \alpha^{3}+\beta^{3} = k.
$$
よって, 
$$
\left\{
	    \begin{array}{l}
	     \alpha^{3}\beta^{3} = \displaystyle\frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27},\\
	     \alpha^{3}+\beta^{3} = k.
	    \end{array}
\right.
$$
これより $\alpha^{3}, \beta^{3}$ は次の2次方程式の解である: 
\begin{equation}
 A^{2} - kA + \frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27} = 0.
\end{equation}
この方程式の解は, 
\begin{eqnarray}
 A &=& \frac{k \pm \sqrt{k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}}}{2}. \nonumber
\end{eqnarray}
ここで, 根号 $\sqrt{~~~}$ の中は,
\begin{equation}
 k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} 
  = -\frac{4}{27}k^{6}
      -\frac{12}{27}k^{4}(2n+1)
      -\frac{4}{27}k^{2}
                        \underbrace{
                        \left\{
			 (2n)^{2} + 4n -\frac{5}{4}
                        \right\}
			}_{n\ge 1 の場合必ず正の値}
      -\frac{12}{27}(2n+1)^{3} 
  < 0
\end{equation}
となり, $n\ge 1$ の場合には必ず負となる. よって, 
\begin{equation}
 A = \frac{k \pm i\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}. 
\end{equation}
ここで, 
\begin{equation}
 A = ae^{\pm i\theta}, \label{equation-of-A}
\end{equation}
とおく. ただし, $a$ は正の実数である. 
すると, 
$$
 \alpha^{3} = ae^{i\theta},
$$
$$
 \beta^{3}  = ae^{-i\theta}.
$$
となり, それぞれ3乗根をとると 
\begin{eqnarray}
 \alpha &=& a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta}, \\
 \beta &=& a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}.
\end{eqnarray}
となる\footnote{
一般に
$$
 x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0,
\qquad \mbox{より} \qquad
 x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3}
$$
}. $\alpha^{3}, \beta^{3}$ の3乗根をそれぞれ $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ と書くことにすると, $\alpha^{3}, \beta^{3}$ の3乗根は以下のようになる: 
\begin{eqnarray}
 \alpha_{1} &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
				   \cos\displaystyle\frac{\theta}{3} 
				+ i\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \\
 \alpha_{2} &=& a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
                               \left(
				   \cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+ i\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right),\nonumber \\
            &=& \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}
	                       \left\{
			        -  \cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        -  \sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        + i\left(
			             -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				     +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				   \right)
                               \right\}, \\
 \alpha_{3} &=& a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}
                               \left(
				   \cos\displaystyle\frac{\theta}{3} 
				+ i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right) \nonumber \\
            &=& \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}
	                       \left\{
			        -  \cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        +  \sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        + i\left(
			             -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				     -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				   \right)
                               \right\}. \\
 \beta_{1} &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
			          \cos\displaystyle\frac{\theta}{3} 
			       - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}
			      \right), \\
 \beta_{2} &=& a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
                               \left(
				   \cos\displaystyle\frac{\theta}{3} 
				- i\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \nonumber \\
           &=& \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}
	                       \left\{
			        -  \cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        +  \sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        + i\left(
			              \sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				     +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				   \right)
                               \right\}, \\
 \beta_{3} &=& a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}
                               \left(
				   \cos\displaystyle\frac{\theta}{3} 
				- i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \nonumber \\
           &=& \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}
	                       \left\{
			        -  \cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        -  \sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			        + i\left(
			              \sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				     -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				   \right)
                               \right\}.
\end{eqnarray}
となる. $\omega = \alpha + \beta$ であるから, $\alpha + \beta$ が実数と
なる組合せ\footnote{固有モード(中立波)を求めるのだから, 固有値の虚部は 0 
である.} ~$\alpha_{1} + \beta_{1} = \omega_{1}$, $\alpha_{2} + \beta_{2} =
\omega_{2}$, $\alpha_{3} + \beta_{3} = \omega_{3}$ を求めると次の厳密解が
得られる:
\begin{equation}
\omega = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \omega_{1} &=& \alpha_{1} + \beta_{1} 
             =   \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}
	       \\
            &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \\[2ex]
 \omega_{2} &=& \alpha_{2} + \beta_{2} 
             =   \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}
	       \\
            &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \\[2ex]
 \omega_{3} &=& \alpha_{3} + \beta_{3} 
             =   a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} 
	       \\
            &=& 2a^{\frac{1}{3}}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}.
\end{array}
\right. \label{riron-omega}
\end{equation}
ただし, $a^{1/3},\theta/3$ は次式を満たす: 
\begin{equation}
 a^{\frac{1}{3}}  = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2}+2n+1)}, \label{a^13}
\end{equation}
\begin{equation}
 \frac{\theta}{3} = \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
			       \right), \label{theta/3}
\end{equation}
この(\ref{a^13}), (\ref{theta/3})は, それぞれ以下のようにして導かれる. (\ref{equation-of-A})より
\begin{equation}
 a\cos\theta = \frac{k}{2}, \label{a-cos-theta}
\end{equation}
\begin{equation}
 a\sin\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}.
 \label{a-sin-theta}
\end{equation}
上の式から $a\cos\theta \ge 0,~~a\sin\theta \ge 0$ であることが分かるので, 
\begin{equation}
 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
\end{equation}
である. よって(\ref{a-cos-theta}), (\ref{a-sin-theta})より, 
\begin{equation}
 a^{2} = \left(
	  \frac{k}{2}
	 \right)^{2} 
       + \frac{1}{4}\left(
		     \frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} - k^{2}
		    \right)
       = \frac{1}{27}(k^{2}+2n+1)^{3},
\end{equation}
\begin{equation}
 \tan\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}.\label{tan-theta}
\end{equation}
ゆえに, 
\begin{equation}
 a^{\frac{1}{3}}  = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2}+2n+1)},
\end{equation}
\begin{equation}
 \frac{\theta}{3} = \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
			       \right),
\end{equation}
となるからである. この $a^{1/3}$ と $\theta/3$ を(\ref{riron-omega})に代
入すれば良い.
\end{description}
上記の (1) $k=0$, (2) $k\not=0$ の結果をまとめると $n\ge 1$ の厳密解は次
の様になる:
\begin{equation}
 \omega = \left\{
\begin{array}{l}
 \mbox{$k=0$     の場合:} \left\{
			   \begin{array}{l}
			    \omega_{1} = 0, \\[2ex]
			    \omega_{2} = -\sqrt{2n+1}, \\[2ex]
			    \omega_{3} =  \sqrt{2n+1}. \\[2ex]
			   \end{array}
                          \right. \\[3ex]
 \mbox{$k\not=0$ の場合:} \left\{
			   \begin{array}{l}
			     \omega_{1} = a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \\[2ex]
			     \omega_{2} = a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \\[2ex]
			    \omega_{3} = 2a^{\frac{1}{3}}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}.
			   \end{array}
                          \right.
\end{array}
\right. \label{eq-bunsan-theory-result}
\end{equation}
ここで, $a^{\frac{1}{3}}$ は (\ref{a^13})式, $\frac{\theta}{3}$ 
は(\ref{theta/3})式で与えられる. 以上, $\omega_{1}, \omega_{2},
\omega_{3}$ を図示すると図 \ref{eq-bunsan-line} の様になる($n\ge 1$ の分散曲線). 

ここで, (\ref{eq-bunsan-theory-result})式に於いて $k=0$ の場合の振動数が 
$k\not=0$ 場合の振動数と接続していることを確認しておく. (\ref{theta/3})
式より, 
\begin{eqnarray}
 \frac{\theta}{3} &=& \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
			         \right) \nonumber \\
                  &=&  \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \sqrt{\frac{\frac{4}{27}\{k^{6}+3k^{4}(2n+1)+3k^{2}(2n+1)^{2}+(2n+1)^{3}\}-k^{2}}{k^{2}}}
			         \right) \nonumber \\
                  &=&  \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \sqrt{\frac{4}{27}\left\{k^{4}+3k^{2}(2n+1)+3(2n+1)^{2}+\frac{(2n+1)^{3}}{k^{2}}\right\}-1}
			         \right).~~~~~~~~~~
\end{eqnarray}
ゆえに, 
\begin{eqnarray}
 \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\theta}{3} &=& \frac{1}{3}
                                                   \left(
						    \tan^{-1}(+\infty)
						   \right) \nonumber \\
                                        &=& \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right) \nonumber \\
                                        &=& \frac{\pi}{6}. \label{theta/3-2}
\end{eqnarray}
一方, (\ref{a^13})より
\begin{equation}
 \lim_{k \rightarrow 0} a^{\frac{1}{3}}  = \sqrt{\frac{2n+1}{3}}. \label{a^13-2}
\end{equation}
よって, $k\not=0$ の場合の振動数 $\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ の
$k\rightarrow 0$ の極限は (\ref{theta/3-2}), (\ref{a^13-2}) を用いると,
以下の様になる: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 \displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} ( k\not=0 \mbox{の場合の}~\omega )\\[2ex]
 = \left\{
			   \begin{array}{l}
			     \displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \omega_{1} = \sqrt{\frac{2n+1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}
			       \right) = \sqrt{\frac{2n+1}{3}}\left(
				-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}
				+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0, \\[2ex]
			     \displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \omega_{2} = \sqrt{\frac{2n+1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}
			       \right) = \sqrt{\frac{2n+1}{3}}\left(
				-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}
				-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}
			       \right) = -\sqrt{2n+1}, \\[2ex]
			     \displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \omega_{3} = 2\sqrt{\frac{2n+1}{3}} \cos\displaystyle\frac{\pi}{6} = 2 \sqrt{\frac{2n+1}{3}} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2n+1}.
			   \end{array}
                          \right.
\end{array}
\label{eq-bunsan-theory-result-2}
\end{equation}
ゆえに, $k\not=0$ の場合の振動数 $\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ の
$k\rightarrow 0$ の極限は $k=0$ の場合の振動数
$\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ にそれぞれ一致することが分かる. した
がって, $k\not=0$ の式には $k=0$ の解も含まれる. よって以下では,
$k\not=0$ の場合の解を $n\ge 1$ の場合の厳密解と書くことにする.

\section{\protect$n\ge 1$ の場合の分散関係式の近似解}

(\ref{eq-bunsan-theory-result})を見て明らかなように, この分散関係式は大
変複雑な形をしている. これに対し, 振動数の大小によって見たい波動の分散関
係式を物理的に矛盾なく取り出す方法がこれまで提出されてきた(例えば,
Matsuno,1966). 以下では, はじめに Matsuno(1966)の方法を簡単にレビューし,
そのあと本ノートで導出した厳密解から近似解を導く方法を示す. 

\subsection{Matsuno(1966)の方法}

\begin{description}
 \item[\underline{1) 大きな $\omega$ (高周波の波動)を取り出す}] ~\\
	    \vspace{-2mm}

	    (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の左辺第三項が無視でき
	    て, $\omega \simeq \pm \sqrt{k^{2}+2n+1}$ (慣性重力波の分散
	    関係式)を得る.
	    $$
	      \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} \underbrace{- k}_{無視} = \omega_{i}(2n+1)
	    $$

 \item[\underline{2) 小さな $\omega$ (低周波の波動)を取り出す}] ~\\
	    \vspace{-2mm}

	    (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の左辺第一項が無視でき
	    て, $\omega \simeq -k/(k^{2}+2n+1)$ (赤道ロスビー波の分散関
	    係式)を得る.
	    $$
	      \underbrace{\omega_{i}^{3}}_{無視} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1)
	    $$
\end{description}

\subsection{厳密解から近似解を導く方法}

これまで Matsuno(1966) 等で行われてきた上記の近似は, 本ノートでは
$\tan\theta\rightarrow\infty$ の場合に対応している. 以下では, この
$\tan\theta\rightarrow\infty$ の場合を考えることによ
り, 分散関係式を近似的に導出する方法をまとめる.

前節の定義に基づき(\ref{eq-bunsan-theory-result})の厳密解を再掲すると次
のようになる:
\begin{equation}
 \omega = \left\{
			   \begin{array}{l}
			     \omega_{1} = a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \qquad \mbox{(ロスビー波)}\\[2ex]
			     \omega_{2} = a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \qquad \mbox{(西進慣性重力波)}\\[2ex]
			    \omega_{3} = 2a^{\frac{1}{3}}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}. \qquad\qquad\qquad\qquad~~~ \mbox{(東進慣性重力波)}
			   \end{array}
\right. \label{eq-bunsan-theory-result2}
\end{equation}
            上式に於いて $\tan\theta\rightarrow\infty$ の場合を考え
            る. このとき, $\theta\rightarrow\pi/2$ となるから, $\theta$ 
            が $\pi/2$ の近傍($\pi/2 - \delta$, $\delta \ll 1$)をとる場
            合を考える.  $\cos\theta, \sin\theta$ の $\pi/2$ 近傍での振
            る舞いは次の様になる($\pi/2$ のまわりで 1次の項までテイラー
            展開を施す):
	    \begin{eqnarray}
	     \cos\theta &=& \cos\frac{\pi}{2} 
	                   +\frac{1}{1!}\left(
					 -\sin\frac{\pi}{2}
				        \right)
			                \left(
					 \theta - \frac{\pi}{2}
				        \right)
			   + \cdots		
		      \simeq \frac{\pi}{2}-\theta,\label{cos-theta-pi/2} \\
	     \sin\theta &=&  \sin\frac{\pi}{2} 
	                   +\frac{1}{1!}\left(
					 \cos\frac{\pi}{2}
				        \right)
			                \left(
					 \theta - \frac{\pi}{2}
				        \right)
			   + \cdots		
		      \simeq 1 \label{sin-theta-pi/2}
	    \end{eqnarray}
	    これより, (\ref{cos-theta-pi/2})から次の関係を得る: 
	    \begin{equation}
	     \theta \simeq \frac{\pi}{2} - \cos\theta \label{theta-cos}
	    \end{equation}

	    一方, $\cos(\theta/3), \sin(\theta/3)$ の $\pi/2$ 近傍での振る舞
	    いは次の様になる: 
	    \begin{eqnarray}
	     \cos\frac{\theta}{3} &=& \cos\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} 
	                             +\frac{1}{1!}
				      \left(
				       -\frac{1}{3}\sin\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}
				      \right)
			              \left(
				       \theta - \frac{\pi}{2}
				      \right) 
				     + \cdots \nonumber \\
	                          &\simeq& \cos\frac{\pi}{6}
	                             -\frac{1}{3}\sin\frac{\pi}{6}
			              \left(
				       \theta - \frac{\pi}{2}
				      \right) \nonumber \\
	                          &\simeq& \frac{\sqrt{3}}{2}
				     -\frac{1}{6}\left(
						  \theta - \frac{\pi}{2}
						 \right),
				     \label{cos-theta/3-pi/2} \\
	     \sin\frac{\theta}{3} &=& \sin\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} 
	                             +\frac{1}{1!}
				      \left(
				       \frac{1}{3}\cos\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}
				      \right)
				      \left(
				       \theta - \frac{\pi}{2}
				      \right) 
				     + \cdots \nonumber \\
	     	                  &\simeq& \sin\frac{\pi}{6}
	                             +\frac{1}{3}\cos\frac{\pi}{6}
			              \left(
				       \theta - \frac{\pi}{2}
				      \right) \nonumber \\
	                          &\simeq& \frac{1}{2}
				     +\frac{\sqrt{3}}{6}\left(
							 \theta -\frac{\pi}{2}
						        \right). 
				     \label{sin-theta/3-pi/2}
	    \end{eqnarray}
	    これより, (\ref{theta-cos})を用いて(\ref{cos-theta/3-pi/2}),
	    (\ref{sin-theta/3-pi/2})を $\cos\theta$ を用いて表すと次の様
	    になる:
	    \begin{eqnarray}
	     \cos\frac{\theta}{3}&\simeq& \frac{\sqrt{3}}{2}
				         -\frac{1}{6}\left(
						  \theta - \frac{\pi}{2}
						 \right) \nonumber \\ 
	                         &\simeq& \frac{\sqrt{3}}{2}
				         -\frac{1}{6}\left(
						  \frac{\pi}{2} 
						 -\cos\theta 
						 -\frac{\pi}{2}
						 \right) \nonumber \\
	                         &\simeq& \frac{\sqrt{3}}{2}
				         +\frac{1}{6}\cos\theta , 
				     \label{cos-theta/3-pi/2-2} \\
	     \sin\frac{\theta}{3}&\simeq& \frac{1}{2}
				         +\frac{\sqrt{3}}{6}\left(
						  \theta -\frac{\pi}{2}
						            \right)\nonumber \\
	                         &\simeq& \frac{1}{2}
				         +\frac{\sqrt{3}}{6}\left(
						  \frac{\pi}{2} 
						 -\cos\theta 
						 -\frac{\pi}{2}
						            \right)\nonumber \\
	                         &\simeq& \frac{1}{2}
				         -\frac{\sqrt{3}}{6}\cos\theta . 
				     \label{sin-theta/3-pi/2-2}
	    \end{eqnarray} 
	    ここで, (\ref{a-cos-theta})より, 
	    \begin{equation}
	     \cos\theta = \frac{k}{2a}, \label{cos-theta}
	    \end{equation}
	    であるから, (\ref{cos-theta/3-pi/2-2}),
	    (\ref{sin-theta/3-pi/2-2})より, $\cos(\theta/3),~\sin(\theta/3)$
	    は最終的に以下の様に近似されることが分かる: 
	    \begin{eqnarray}
	     \cos\frac{\theta}{3}&\simeq& \frac{\sqrt{3}}{2}
				         +\frac{k}{12a}, 
				     \label{cos-theta/3-pi/2-3} \\
	     \sin\frac{\theta}{3}&\simeq& \frac{1}{2}
				         -\frac{\sqrt{3}k}{12a}. 
				     \label{sin-theta/3-pi/2-3}
	    \end{eqnarray} 
	    したがって, (\ref{cos-theta/3-pi/2-3}),
	    (\ref{sin-theta/3-pi/2-3})を用いると,
	    (\ref{eq-bunsan-theory-result2})は以下の様に近似される:

\begin{equation}
 \omega = \left\{
			   \begin{array}{rcl}
			     \omega_{1} 
			      = a^{1/3}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right)  
			      &\simeq&
			         a^{1/3}
			         \left\{ -\left(
					   \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} 
					  +\displaystyle\frac{k}{12a}
				          \right)
				  +\sqrt{3}\cdot\left(
						 \displaystyle\frac{1}{2}
						-\displaystyle\frac{\sqrt{3}k}{12a}
					        \right)
				 \right\} \\[2ex]
			      &=&
			         -\displaystyle\frac{k}{3a^{2/3}} \\[2ex]
			     \omega_{2} 
			      = a^{1/3}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right) 
			      &\simeq&
			         a^{1/3}
			         \left\{ -\left(
					   \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}
					  +\displaystyle\frac{k}{12a}
				          \right)
				 -\sqrt{3}\cdot\left(
						\displaystyle\frac{1}{2}
					       -\displaystyle\frac{\sqrt{3}k}{12a}
					       \right)
				 \right\} \\[2ex]
			      &=&
			         -\sqrt{3} a^{1/3}
				 +\displaystyle\frac{k}{6a^{2/3}} \\[2ex]
			     \omega_{3} 
			      = 2a^{1/3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}.
			      &\simeq&
			         2a^{1/3}\cdot
				  \left(
				   \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}
				  +\displaystyle\frac{k}{12a}
				  \right) \\[2ex]
			      &=&
			          \sqrt{3} a^{1/3}
				 +\displaystyle\frac{k}{6a^{2/3}} 
			   \end{array}
\right. \label{eq-bunsan-theory-result4}
\end{equation}
よって, (\ref{a^13})を用いると, (\ref{eq-bunsan-theory-result2})は最終的
に以下の様に近似される:
\begin{equation}
 \omega = \left\{
			   \begin{array}{l}
			     \omega_{1} 
			      = a^{1/3}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right)  
			      \simeq -\displaystyle\frac{k}{k^{2}+2n+1} \\[2ex]
			     \omega_{2} 
			      = a^{1/3}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right) 
			      \simeq -\sqrt{k^{2}+2n+1} 
				   +\displaystyle\frac{k}{2(k^{2}+2n+1)}\\[2ex]
			     \omega_{3} 
			      = 2a^{1/3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}.
			      \simeq \sqrt{k^{2}+2n+1} 
				   +\displaystyle\frac{k}{2(k^{2}+2n+1)}
			   \end{array}
\right. \label{eq-bunsan-theory-result5}
\end{equation}

この様に, $\tan\theta\rightarrow\infty$ の近似を行うことで,
Matsuno(1966)等で得られた解と同様の解が得られた. つまり,
$\tan\theta\rightarrow\infty$ の極限は, $\omega\rightarrow$ 小, あるいは, 
$\omega\rightarrow$ 大の極限と同等であることを意味する. なぜなら, 
$\tan\theta$ の式において $k\rightarrow$ 大, もしくは, $k\rightarrow$ 小
とすれば, $\tan\theta\rightarrow\infty$ の極限が得られるからである. 

上記の結果は, 多くの教科書で見られる赤道ロスビー波の分散関係式を解析解か
ら近似的に導出するためには, 分散関係式を2次の精度まで求めてやる必要があ
ることを示している. しかし, 本ノートでは簡単のため 
$\omega_{2},~\omega_{3}$ の2次のオーダーの成分($k/2(k^{2}+2n+1)$)を省略
して扱う:
\begin{equation}
 \omega = -\displaystyle\frac{k}{k^{2}+2n+1}, \qquad ~~\mbox{(赤道ロスビー波)}
  \label{eq-rossby-bunsan-nondim}
\end{equation}
\begin{equation}
 \omega = \pm\sqrt{k^{2}+2n+1}, \qquad \mbox{(慣性重力波)}~~~~~
  \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}
\end{equation}

以上, これまでの分散関係と分散関係式から求めた位相速度をまとめると, 図
\ref{eq-bunsan-line}, \ref{eq-phase-line}の様になる. $n\ge 1$ の場合の近
似解(\ref{eq-rossby-bunsan-nondim}), (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})
は, 厳密解として求めた分散曲線とよく一致する.  

%\subsubsection{● \protect$n\ge 1$ の場合の分散関係式の近似解(1) − 大きな \protect $\omega$ (高周波の波動)を取り出す場合}
%
%十分大きな $\omega$ を取れば, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})にお
%いて, 左辺第三項が無視できる. したがって以下の分散関係式を得る:
%
%$$
% \omega^{2} \simeq k^{2} + 2n+1, 
%$$
%\begin{equation}
% \omega \simeq \pm \sqrt{k^{2}+2n+1}. \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}
%\end{equation}
%
%\medskip
%これは, $f$ 平面のいわゆる慣性重力波の分散関係式と同様の形をしており, 赤
%道域での慣性重力波の振動数である. この振動数を用いると, 固有関数
%(\ref{solution_vnot=0_n=1})は図\ref{inertio-gw-pic}(左図: 東進, 右図: 西
%進)の様になる.
%
%\subsubsection{● \protect$n\ge 1$ の場合の分散関係式の近似解(2) − 小さな \protect $\omega$ (低周波の波動)を取り出す場合}
%
%この場合は, 重力波の振動数よりも小さい振動数を持つ低周波の波動に対応する
%\footnote{無次元化の際に重力波の周期を 1 としていることに注意.}. 十分小
%さな $\omega$ を取れば, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})において, 
%左辺第一項が無視できる. したがって以下の分散関係式を得る:
%
%\begin{equation}
% \omega = \frac{-k}{k^{2}+2n+1}. \label{eq-rossby-bunsan-nondim}
%\end{equation}
%
%\medskip
%これは, 中緯度 $\beta$ 平面に於けるロスビー波の分散関係式と同様の形をし
%ており, 赤道域でのロスビー波(赤道ロスビー波)の振動数である. この振
%動数を用いると, 固有関数(\ref{solution_vnot=0_n=1})は図\ref{rossby-pic} 
%の様になる.
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%% \vspace*{-6mm}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-7mm} 
%\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). 左図: $n=1, \omega=-0.25$, 右図: $n=2, \omega=-0.17$.} \label{rossby-pic}
%\end{figure}
%
%これまでの結果より, $n\ge 1$ の場合の固有値がすべて求まった. 近似解
%(\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}), (\ref{eq-rossby-bunsan-nondim})の分
%散曲線を図示すると図 \ref{eq-bunsan-line} の様になり, 厳密解として求めた
%曲線と一致する. そこで以下では, 式の取り扱いを容易にするため, $n\ge 1$ 
%の固有値は(\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}),
%(\ref{eq-rossby-bunsan-nondim}) の近似解を用いて議論することにする.p
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
% \vspace*{3cm}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
% \end{center}
% \begin{center}
% \vspace*{-3mm}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
%  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-7mm} 
%\caption{圧力場と速度場の分布($k=0.5$). 左図: 東進慣性重力波, 右図:
% 西進慣性重力波. 上段から $n=1$ (左図 $\omega=1.80$, 右図
% $\omega=-1.80$), $n=2$ (左図 $\omega=2.29$, 右図 $\omega=-2.29$).} \label{inertio-gw-pic}
%\end{figure}

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%                 \Depsf[10cm]{ps/n0_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \begin{center}
%                 \Depsf[10cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). 上段から $n=0, 1$ のモード.} \label{rossby-pic}
%\end{figure}
%
%\vspace{-5mm}
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
% \hspace*{-0.5cm}\Depsf[8.5cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). $n=2$ のモード.} \label{rossby-pic2}
%\end{figure}

%\chapter{赤道波の水平構造(有次元系)}\label{sec-dim-struct}
%
%\section{$\hat{v}\not=0$ の場合}
%
%簡単化のため, $y$ を次のように置換する: 
%
%\begin{equation}
% \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y
%\end{equation}
%
%\medskip
%このとき, 
%
%\begin{equation}
% y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, 
%  \qquad 
%\partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi
%\end{equation}
%
%\medskip
%であるから, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})より次式を得る: 
%\begin{eqnarray}
%  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
%+ \left[
% \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
%			 -\frac{k}{\omega}\beta
%			 -k^{2}
%			 +\frac{\omega{2}}{gH}
%		        \right)
% - \xi^{2}
%  \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\
%  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
%+ \left[
%   (2n+1)-\xi^{2}
%  \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq}
%\end{eqnarray}
%
%\medskip
%上式は二次のシュレーディンガー方程式であるから, 解はエルミート多項式を用
%いて次の様に表される: 
%
%\begin{equation}
% \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v5}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v6}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ここで, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ は $n$ 次のエルミート多項式である: 
%
%\begin{equation}
%\left.
%\begin{array}{rcl}
% H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex]
% H_{0}(y)   &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots 
%\end{array}
%\right\}
%\end{equation}
%
%\medskip
%また, $n$ は $|y|<\infty$ の領域において南北方向の速度プロファイルの節の
%数に対応する. この $\hat{v}$ を用いて, $\hat{u}, \hat{\phi}$ は,
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})より, 以下の様に表される: 
%
%\begin{equation}
% \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
%  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u2}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
%  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi2}
%\end{equation}
%
%\medskip
%これより, $u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ は次のようになる. 
%
%\begin{eqnarray}
% u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              \omega y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- k \left[
%	    \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	      - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	    \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp
%            \left(
%	    -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              k y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- \omega \left[
%	          \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		  -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		 \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)}\nonumber \\ \label{eq-wave-struct-eq}
%\end{eqnarray}
%
%以上の水平構造を図示するとの図\ref{inertio-gw-pic}, \ref{rossby-pic},
%\ref{rossby-pic} の様になる(ただし, $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ とした).
%
%% \begin{center}
%%  \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6a.ps}
%%  \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6b.ps}
%%  \Depsf[8cm]{ps/Matsuno1966-Fig7.ps}
%% \end{center}
%
%%\begin{figure}[H]
%% \begin{center}
%%\vspace{-1cm}
%%  \Depsf[8.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig4-5.ps}
%% \end{center}
%% \vspace{-7mm} 
%%\caption{圧力場と速度場の分布. 左図a: 東進慣性重力波($n=1$), 左図b: 西進
%% 慣性重力波($n=1$), 左図c: ロスビー波($n=1$), 右図a,b,c: 左図の $n=2$ モー
%% ドに対応した図.} \label{Matsuno1966-Fig4-5}
%%\end{figure}
%
%\section{$\hat{v}=0$ の場合}\label{for_vnot=0}
%
%%\section{赤道ケルビン波}
%%
%%\subsection{赤道ケルビン波の定式化}
%%
%(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})で
%$v=0$ として次式を得る: 
%\begin{equation}
% -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi} 
%  \label{equator-kelvin-eq-mode-u2}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}
%  \label{equator-kelvin-eq-mode-v2}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
%			 ik\hat{u}
%		        \right)
% = 0
%  \label{equator-kelvin-eq-mode-phi2}
%\end{equation}

%
%\subsection{赤道ケルビン波の分散関係式と水平構造}
%
%(\ref{equator-kelvin-eq-mode-u})と(\ref{equator-kelvin-eq-mode-phi})から
%$\hat{\Phi}$ を消去すると次の様になる: 
%
%\begin{equation}
% \omega^{2} = k^{2}gH \label{equator-kelvin-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%したがって, 位相速度 $c$ は $\pm\sqrt{gH}$ となる. 
%\medskip
%(\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2})と(\ref{equator-kelvin-eq-mode-v2})から 
%$\hat{\Phi}$ を消去すると次式を得る:
%
%\begin{equation}
% \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ただし, $c=\omega/k$ である. したがって, $\hat{u}$ は以下の様になる: 
%
%\begin{equation}
% \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ただし $u_{0}$ は赤道での東西速度を表す. ここで
%(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})において, $y\rightarrow\infty$ で減衰
%する解が存在するためには, $c>0$ でなければならない. ゆえに, 赤道ケルビン
%波の位相速度は次の様になる:
%
%\begin{equation}
% c = \sqrt{gH} \label{equator-kelvin-bunsan2}
%\end{equation}
%
%\medskip
%よって, (\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2}) より $\hat{\phi}$ は以下の様に
%なる:
%
%\begin{equation}
% \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-phat}
%\end{equation}
%
%\medskip
%以上の水平構造を図示すると図\ref{kelvin-pic}の様になる(ただし, $\beta=1,
%\sqrt{gH}=1$ とした).  

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%\vspace{-5mm}
%  \Depsf[5.3cm]{ps/Matsuno1966-Fig8.ps}
% \end{center}
% \vspace{-9mm} 
%\caption{赤道ケルビン波の圧力場と速度場の分布} \label{Matsuno1966-Fig8}
%\end{figure}

%\newpage
%
%\section{振動数の厳密解(付録)\protect\footnote{この結果と前節までの近似解と
% の整合性はまだとれていない. 今はとりあえずこの状態でノートにとどめてお
% く(2001/04/18).}}
%
%本節では3次方程式の解法−カルダノ・タルタリアの解法を用いて,
%(\ref{equatorial-wave-bunsan})の厳密解を導出する. 
%
%$$
% \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
%			 -\frac{k}{\omega}\beta
%			 -k^{2}
%			 +\frac{\omega^{2}}{gH}
%		        \right)
%= 2n+1
%$$
%
%\medskip
%より, 
%
%$$
% \omega^{3}-\{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0 \eqno(\mbox{A.1})
%$$
%
%\medskip
%ここで $\omega = \alpha + \beta$ とおくと, $\omega^{3}$ の計算結果から
%次式を得る: 
%
%$$
% \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0 \eqno(\mbox{A.2})
%$$
%
%\medskip
%(A.1)と(A.2)を比較して
%
%$$
% 3\alpha\beta = k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1) \quad \rightarrow \quad
%  \alpha^{3}\beta^{3} = \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27},
%$$
%$$
% \alpha^{3}+\beta^{3} = kgH\beta.
%$$
%
%\medskip
%これより $\alpha^{3}, \beta^{3}$ は次の2次方程式の解である: 
%
%$$
% A^{2} - kgH\beta A + \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27} = 0
%$$
%
%\medskip
%ゆえに,
%$$
% A = \frac{kgH\beta \pm \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}
%$$
%
%\medskip
%よって, 
%
%$$
% \alpha^{3} = \frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2},
%$$
%$$
% \beta^{3}  = \frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}.
%$$
%
%\medskip
%ここで, 一般に
%
%$$
% x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0,
%\qquad \mbox{より} \qquad
% x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3}
%$$
%
%\medskip
%であるから, 
%
%\begin{eqnarray*}
% \alpha &=& 
%  \sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
% &&
%  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ 
% &&
%  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. 
%\end{eqnarray*}
%\begin{eqnarray*}
% \beta &=& 
%  \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
% &&
%  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
% &&
%  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. 
%\end{eqnarray*}
%
%となる. したがって, 求める $\omega=\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ は
%$\omega = \alpha + \beta$ より次の様になる:
%\begin{eqnarray*}
%\omega_{1} &=& 
%\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ 
%&& \qquad 
%+ \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
%\omega_{2} &=& 
%  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ 
%&& \qquad
%+ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
%\omega_{3} &=& 
%  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\
%&& \qquad
%+ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}
%\end{eqnarray*}
%
\newpage

\chapter{赤道波方程式の各項のモード展開}\label{mode-expansion}

本節では, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項をモード展開した結果を
まとめる. 無次元の方程式系(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})をモード展開した結果は, 
以下のそれぞれの式において $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ とすれば得られる. 
\begin{eqnarray}
    \frac{\partial u}{\partial t}
&=& -i\omega u \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(u_{r} + iu_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) + i(\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})-i(\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \}, \nonumber \\
    \frac{\partial u}{\partial t}\Bigg|_{実部} 
&=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dudt}\\[2ex]
    \beta y v 
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \}, \nonumber \\
    \beta y v \Bigg|_{実部} 
&=& \beta y 
    \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t}
\label{mode-betayv} \\[2ex]
    -\frac{\partial\Phi}{\partial x}
&=& -ik\Phi \nonumber \\
&=& -ik(\Phi_{r} + i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\
&=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t}, \nonumber \\
-\frac{\partial\Phi}{\partial x}\bigg|_{実部} 
&=& k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdx}\\[2ex]
    \frac{\partial v}{\partial t}
&=& -i\omega v \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(v_{r} + iv_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) + i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})-i(\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \}, \nonumber \\
    \frac{\partial v}{\partial t}\Bigg|_{実部} 
&=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dvdt}\\[2ex]
    -\beta y u 
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \}, \nonumber \\
    -\beta y u \Bigg|_{実部} 
&=& -\beta y 
    \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} 
\label{mode-betayu}\\[2ex]
    -\frac{\partial\Phi}{\partial y} 
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t },  \nonumber \\
    -\frac{\partial\Phi}{\partial y} \Bigg|_{実部} 
&=& -\left\{
     \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdy} \\[2ex]
    \frac{\partial \Phi}{\partial t}
&=& -i\omega \Phi \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(\Phi_{r} + i\Phi_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) + i(\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})-i(\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \}, \nonumber \\
    \frac{\partial \Phi}{\partial t}\Bigg|_{実部} 
&=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} 
\label{mode-dpdt} \\[1ex]
    -gH\frac{\partial u}{\partial x}
&=& -gH \cdot iku \nonumber \\
&=& -ikgH(u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& kgH(u_{i} - iu_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\
&=& kgH(u_{i} - iu_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t}, \nonumber \\
-gH\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{実部} 
&=& kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-ghdudx}\\[2ex]
    -gH\frac{\partial v}{\partial y} 
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t },  \nonumber \\
    -gH\frac{\partial v}{\partial y} \Bigg|_{実部} 
&=& -gH\left\{
     \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t}. \label{mode-ghdvdy}
\end{eqnarray}
(\ref{mode-dudt})〜(\ref{mode-dpdx})より
(\ref{equator-shallow-water-eq-u})をモード展開して取り出した実部は次のよ
うになる: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
= \beta y \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t}.
\end{eqnarray}
(\ref{mode-dvdt})〜(\ref{mode-dpdy})より
(\ref{equator-shallow-water-eq-v})をモード展開して取り出した実部は次のよ
うになる: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ 
&& \qquad\qquad\qquad
= -\beta y 
    \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad
-\left\{
     \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t}.~~~~
\end{eqnarray}
(\ref{mode-dpdt})〜(\ref{mode-ghdvdy})より
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})をモード展開して取り出した実部は次のよ
うになる: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
= kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad
-gH\left\{
     \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t}.~~~~
\end{eqnarray}

\newpage

\chapter{渦度方程式の各項のモード展開}\label{uzudo-eq-mode-expansion}

本節では, 渦度 $\zeta$ ならびに(\ref{relative-vorticity-eq})
$$
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial v}{\partial x} 
			    -\frac{\partial u}{\partial y}
			    \right)
 = - v - y\left(
	     \frac{\partial u}{\partial x} 
	   + \frac{\partial v}{\partial y}
	  \right),
 \eqno(\mbox{\ref{relative-vorticity-eq}})
$$
の各項をモード展開した結果をまとめる.
\begin{eqnarray}
 \zeta &=& \frac{\partial v}{\partial x} 
          -\frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \\
       &=& ikv 
	  -\frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \\
       &=& ik(v_{r}+iv_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}}
	  -\frac{\partial}{\partial y}(u_{r}+iu_{i})
	                               e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
       &=& ik(v_{r}+iv_{i})e^{ i(kx-\omega_{r}t) }e^{ \omega_{i}t }
	  -\frac{\partial}{\partial y}
	              (u_{r}+iu_{i})e^{ i(kx-\omega_{r}t) }e^{ \omega_{i}t } \nonumber \\
       &=& k(iv_{r}-v_{i})
	     \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}
	     e^{ \omega_{i}t } \nonumber \\
       & & \qquad
	  -\frac{\partial}{\partial y}
	     (u_{r}+iu_{i}) 
	     \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}
	     e^{ \omega_{i}t }, \nonumber \\[2ex]
 \zeta\big|_{実部}
       &=& -k\{
             v_{i}\cos(kx-\omega_{r}t) 
	    +v_{r}\sin(kx-\omega_{r}t)  
             \} e^{ \omega_{i}t } \nonumber \\
       & & \qquad
	   -\left\{
	     \frac{\partial u_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t)
	    -\frac{\partial u_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
            \right\} e^{ \omega_{i}t }, \\[2ex]
\frac{\partial\zeta}{\partial t}
       &=& \frac{\partial}{\partial t}\left(
				       \frac{\partial v}{\partial x} 
				      -\frac{\partial u}{\partial y}
				      \right) \nonumber \\
       &=& \frac{\partial}{\partial x}\left(
				       \frac{\partial v}{\partial t}
				      \right)
          -\frac{\partial}{\partial y}\left(
				       \frac{\partial u}{\partial t}
				      \right) \nonumber \\
       &=& \frac{\partial}{\partial x}\left(
				       -i\omega v
				      \right)
          -\frac{\partial}{\partial y}\left(
				       -i\omega u
				      \right) \nonumber \\
       &=& -i\omega(ik)v 
	   +i\omega\frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \\
       &=& k\omega v + i\omega\frac{\partial u}{\partial y} \nonumber \\
       &=& k(\omega_{r} + i\omega_{i})(v_{r}+iv_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
       & & \qquad
	  +i(\omega_{r} + i\omega_{i})
	   \frac{\partial}{\partial y}
	   \left\{
	    (u_{r}+iu_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}}
	   \right\} \nonumber \\
       &=& k\{
	      (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})
	    +i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})
            \}e^{i(kx-\omega_{r}t)}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       & & \qquad
	  +(-\omega_{i}+i\omega_{r})
	   \frac{\partial}{\partial y}
	   \left\{
	    (u_{r}+iu_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t)}e^{\omega_{i}t}
	   \right\} \nonumber \\
       &=& k\{
	      (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})
	    +i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})
            \}\{
	       \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)
              \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       & & ~
	  +(-\omega_{i}+i\omega_{r})
	   \frac{\partial}{\partial y}
	   \left[
	    (u_{r}+iu_{i})\{
	                   \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)
			  \}
	    e^{\omega_{i}t}
	   \right] \nonumber \\
       &=& k\{
	      (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})
	    +i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})
            \}\{
	       \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)
              \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       & & ~
	  +\frac{\partial}{\partial y}
	   \left[\left\{
		   (-\omega_{i}u_{r}-\omega_{r}u_{i})
		 +i(-\omega_{i}u_{i}+\omega_{r}u_{r}) 
	         \right\}
	   \right. \nonumber \\
       & & ~~~~
	   \left.
	           \times\{
			   \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)
			 \}
	    e^{\omega_{i}t}
	   \right], \nonumber \\[2ex]
 \frac{\partial\zeta}{\partial t}\Bigg|_{実部}
       &=& k\left\{
	     (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\cos(kx-\omega_{r}t)
	    -(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\sin(kx-\omega_{r}t) 
            \right\} e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       & & ~
	  +\frac{\partial}{\partial y}
	    \left\{
	     (-\omega_{i}u_{r}-\omega_{r}u_{i})\cos(kx-\omega_{r}t)
	    \right. \nonumber\\
       & & ~~~~
	    \left.
	    -(-\omega_{i}u_{i}+\omega_{r}u_{r})\sin(kx-\omega_{r}t)
            \right\} e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       &=& k\left\{
	     (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\cos(kx-\omega_{r}t)
	    -(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\sin(kx-\omega_{r}t) 
            \right\} e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
       & & ~
	   \left\{
	    \left(
	     -\omega_{i}\frac{\partial u_{r}}{\partial y}
	     -\omega_{r}\frac{\partial u_{i}}{\partial y}
	    \right)\cos(kx-\omega_{r}t) \right. \nonumber \\
       & & ~~~~
	   \left.
	   +\left(
	      \omega_{i}\frac{\partial u_{i}}{\partial y}
	     -\omega_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial y}
	    \right)\sin(kx-\omega_{r}t)
           \right\} e^{\omega_{i}t}, \\[2ex]
    -v &=& -(v_{r} + iv_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
       &=& -(v_{r} + iv_{i})e^{ i(kx-\omega_{r}t) }e^{ \omega_{i}t } \nonumber \\
       &=& -(v_{r} + iv_{i})\{ 
	                     \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) 
		  	    \}e^{\omega_{i}t }, \nonumber \\[2ex]
-v \big|_{実部} 
       &=& -\{ 
             v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) 
	    \}e^{\omega_{i}t}, \\[2ex]
-y\left(
   \frac{\partial u}{\partial x}
  +\frac{\partial v}{\partial y} 
  \right)
       &=& -y\left(
	      iku + \frac{\partial v}{\partial y} 
	     \right) \nonumber \\
       &=& -y\left(
	      ik(u_{r}+iu_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}}
	     +\frac{\partial}{\partial y}
	        (v_{r}+iv_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} 
	     \right) \nonumber \\
       &=& -y\left(
	       k(u_{i}-iu_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)}e^{\omega_{i}t}
	     +\frac{\partial}{\partial y}
	        (v_{r}+iv_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t)}e^{\omega_{i}t}
	     \right) \nonumber \\
       &=& -y\left(
	       k(u_{i}-iu_{r})\{
	                       \cos(kx-\omega_{r}t)+i\sin(kx-\omega_{r}t)
			      \}e^{\omega_{i}t}
	     \right. \nonumber \\
       & & \qquad 
	     \left.
	     +\frac{\partial}{\partial y}
	        (v_{r}+iv_{i})\{
		               \cos(kx-\omega_{r}t)+i\sin(kx-\omega_{r}t)
			      \}e^{\omega_{i}t}
	     \right), \nonumber \\[2ex]
-y\left(
   \frac{\partial u}{\partial x}
  +\frac{\partial v}{\partial y} 
  \right)\Bigg|_{実部}
       &=& -y\left(\frac{~}{~}
	      \{
	       u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t)+u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)
	      \}e^{\omega_{i}t}
	     \right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \nonumber \\
       & & \qquad
	     \left.
             +\left\{
	       \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t)
	      -\frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
              \right\}e^{\omega_{i}t}
	     \right).
\end{eqnarray}

\chapter{回転の無い浅水系の重力波}\Dchaplab{pure-gravity-wave}

本章では, \Dchapref{ig-denpa}で慣性重力波の位相伝搬を考察する際に参考と
なる非回転浅水系の重力波についてまとめる.

\section{1次元の非回転浅水系重力波}\Dchaplab{pure-gravity-wave-1D}

無次元化した 1次元の非回転浅水系重力波の支配方程式は以下の様になる:
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial u  }{\partial t} &=& - \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \\
 \Deqlab{1D-gravitiy-wave-eq1}
 \frac{\partial\Phi}{\partial t} &=& - \frac{\partial u  }{\partial x}. 
 \Deqlab{1D-gravitiy-wave-eq2}
\end{eqnarray}
これより $\Phi$ を消去すると,
\begin{equation}
 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
 \Deqlab{1D-gravitiy-wave-eq-u}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
 u = A\exp i(kx-\omega t),
 \Deqlab{1D-gravitiy-wave-eq-soluv}
\end{equation}
(ただし $A$ は任意定数)とおいて \Deqref{1D-gravitiy-wave-eq-u} に代入す
ると次の分散関係式を得る:
\begin{eqnarray}
 \omega &=& \pm k, \\
    c   &=& \pm 1. 
\end{eqnarray}
ただし, $c=\omega/k$ である. これより, 固有関数 $u, \Phi$ は次の様になる:
\begin{eqnarray}
    u(x,t) &=& Re[ A\exp ik(x\mp t)] = A\cos k(x\mp t), \\
    \Phi(x,t) &=& Re[ A\exp ik(x\mp t)] = A\cos k(x\mp t).
\end{eqnarray}
ただし, 複合は, 上が $\omega > 0$, 下が $\omega < 0$ を表す.

\section{2次元の非回転浅水系重力波}\Dchaplab{pure-gravity-wave-2D}

無次元化した 2次元の非回転浅水系重力波の支配方程式は, 以下の様になる
\footnote{Satomura(1981)で $\sqrt{gH}=1$ とした場合に対応.}:
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial u  }{\partial t} &=& - \frac{\partial\Phi}{\partial x}, 
 \Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq1} \\
 \frac{\partial v  }{\partial t} &=& - \frac{\partial\Phi}{\partial y}, 
 \Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq2} \\
 \frac{\partial\Phi}{\partial t} &=& - \left(
					\frac{\partial u  }{\partial x} 
				       +\frac{\partial v  }{\partial y} 
				       \right).
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq3}
\end{eqnarray}
ここで, $u,v,\Phi$ を (\ref{spector-ex})の様に離散化する: 
\begin{eqnarray}
 -i\omega\hat{u}    &=& -ik\hat{\Phi},
 \Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq1-risanka} \\ 
 -i\omega\hat{v}    &=& -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}, 
 \Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq2-risanka} \\
 -i\omega\hat{\Phi} &=& -ik\hat{u} - \frac{\partial\hat{v}}{\partial y}.
 \Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq3-risanka}
\end{eqnarray}
これより $u, \Phi$ を消去すると,
\begin{equation}
 \frac{\partial^2\hat{v}}{\partial y^2} = -k^2 (c^2 - 1)\hat{v}
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v}
\end{equation}
ただし, $c=\omega/k$ である. よって解 $\hat{v}$ は, 次の様に与えられる:
\begin{eqnarray}
 \hat{v}(y) &=& A e^{ik\sqrt{c^2-1}y} + B e^{-ik\sqrt{c^2-1}y} \\
            &=& (A+B)\cos\left\{
			  k\sqrt{(c^2-1)}y
			 \right\},
	     + i(A-B)\sin\left\{
			  k\sqrt{(c^2-1)}y
			 \right\}.
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v-soluv4}
\end{eqnarray}
ただし, $A,B$ は任意定数. ここで水路の様な(南北に位相が伝播しない)以下の
境界条件を与える:
\begin{equation}
 \hat{v} \rightarrow 0 \qquad (y=\pm L).
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v-soluv-bound-condition}
\end{equation}
この境界条件より, 
\begin{eqnarray}
 (A+B)\cos\left\{
	   k\sqrt{(c^2-1)}y
          \right\} &=& 0,\\
 (A-B)\sin\left\{
	   k\sqrt{(c^2-1)}y
          \right\} &=& 0.
\end{eqnarray}
よって, $A=B=0$ の自明解以外の解を持つ条件を求めると, 以下の様になる: 
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{array}{l}
   A = -B, \\[1ex]
   k\sqrt{c^2 -1} L = n\pi \qquad (n=0,1,2,\cdots)
  \end{array}
 \right.
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v-soluv5}
\end{equation}
または, 
\begin{equation}
 \left\{
  \begin{array}{l}
   A = B, \\[1ex]
   k\sqrt{c^2 -1} L = n\pi/2 \qquad (n=0,1,2,\cdots)
  \end{array}
 \right.
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v-soluv6}
\end{equation}
ここでは, Satomura(1981)に合わせて \Deqref{2D-gravitiy-wave-eq-v-soluv5}
の方を採用すると以下の分散関係式を得る:
\begin{eqnarray}
 c      &=& \pm \sqrt{1+\frac{(n\pi)^2}{L^2k^2}}, 
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-bunsan1} \\
 \omega &=& \pm \sqrt{k^2+\frac{(n\pi)^2}{L^2}}.
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-bunsan2}
\end{eqnarray}
また, 固有関数 $u,v,\Phi$ は次の様になる:
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t) &=& A\frac{in\pi}{Lk(1-c^2)}\cos(n\pi y/L) e^{i(kx-\omega t)}, 
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-u-solution} \\
 v(x,y,t) &=& A\sin(n\pi y/L) e^{i(kx-\omega t)},
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-v-solution} \\
\Phi(x,y,t) &=& A\frac{icn\pi}{Lk(1-c^2)}\cos(n\pi y/L) e^{i(kx-\omega t)}.
\Deqlab{2D-gravitiy-wave-eq-phi-solution}
\end{eqnarray}
ただし, ここで \Deqref{2D-gravitiy-wave-bunsan1} より
\begin{equation}
 \frac{(n\pi)^2}{Lk} = Lk(1-c^2)
\end{equation}
の関係を用いた. また, $A$ は任意定数である.
\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq-u-solution}〜
\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq-phi-solution}の構造を計算すると図
\ref{non-rotation-gw-pic-n=1_k=1.0}の様になる:
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{-6mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k=1.0_non-rotation-gw-east.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k=1.0_non-rotation-gw-west.ps}
 \end{center}
 \vspace{-5mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.0$ の非回転浅水重力波の圧力場と速度場の分布. 等
 値線はジオポテンシャル, ベクトルは速度($u,v$)を表す. 左図(東進): \protect$\omega=1.45$, 右図(西進): \protect$\omega=-1.45$.} \label{non-rotation-gw-pic-n=1_k=1.0}
\end{figure}
また, \Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項
の分布は, 図\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term}〜図
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-west-term}に示した. 図
\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term}〜図
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-west-term}より, 2次元非回転浅水重力波の位相
伝搬には, 1次元の場合と違って南北風の収束発散成分($\partial v/\partial
y$)も寄与していることが分かる. 低波数(図
\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term})のうちは, ジオポテンシャルの位相
伝搬に南北風の収束発散成分が最も寄与しているが, 東西風の収束発散成分に対
する南北風の収束発散成分の寄与の割合は, 東西波数が増大するにつれて減少す
る(図
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-east-term}).
\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1-risanka},
\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq2-risanka} から明らかな様に, 図
\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term}〜図
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-west-term}より, 東進(西進)する波動の東西風, 
南北風の位相は, ジオポテンシャルの位相より 1/4 周期遅れて(進んで)いるこ
とが分かる. このため, 圧力傾度に伴う高圧部から低圧部へ向かう東西流と南北
流は, 圧力経度の分布に対して 1/4 周期遅れて(進んで)生じている.

2次元非回転浅水重力波の位相伝搬のメカニズムをまとめると次の様になる. 

はじめに, 東進波の位相伝搬のメカニズムについて考察する.  まず, ジオポテ
ンシャルの位相伝搬のメカニズムは以下の様である: 図
\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term} の経度225度付近を見ると, 赤道域
では西側で西風, 東側で東風, 北側で北風, 南側で南風となるので, この領域で
は速度ベクトルの収束域となる. このため, ジオポテンシャルは増加するので,
$\phi$ の分布と見比べると確かに赤道域のジオポテンシャルは東に伝播するこ
とが分かる. 一方, この経度帯の高緯度域の速度ベクトルの分布は赤道域と逆に
なるので, 高緯度域では速度ベクトルの発散域となる. このため, ジオポテンシャ
ルは減少するので, $\phi$ の分布と見比べると確かに高緯度域のジオポテンシャ
ルも東に伝播することが分かる. 次に, 速度ベクトルの位相伝搬のメカニズムに
ついてまとめる. 図\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term} の経度225度付
近を見ると, 赤道域のジオポテンシャルは西側で正, 東側で負の値を取るので, 
この領域の東西方向の圧力傾度力は正となる. このため, この領域の東西風は西
風加速を受けるので, $u$ の分布と見比べると確かに赤道域の東西風は東に伝播
することが分かる. 一方, この経度帯の高緯度域のジオポテンシャルは, 西側で
負, 東側で正の値を取るので, この領域の東西方向の圧力傾度力は負となる. こ
のため, この領域の東西風は東風加速を受けるので, $u$ の分布と見比べると確
かに高緯度域の東西風も東に伝播することが分かる. さらに, 図
\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term} の経度325度, 緯度1.5度付近を見る
と, ジオポテンシャルは北側で正, 南側で負の値を取るので, この領域の南北方
向の圧力傾度力は負となる. このため, この領域の南北風は北風加速を受けるの
で, $v$ の分布と見比べると確かにこの領域の南北風は東に伝播することが分か
る. 南半球でも同様の解釈で南北風は東に伝搬していることが分かる.  以上の
東進波の位相伝搬のメカニズムは, 高波数(図
\ref{n1_k1.0_non-rotation-gw-east-term},
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-east-term})になっても変わらない.

次に, 西進波の位相伝搬のメカニズムについてまとめる. 西進波であっても, ジ
オポテンシャルは速度ベクトルの収束発散によって位相伝搬し, 速度ベクトルは
圧力傾度力による速度ベクトルの加速減速によって位相伝搬するという点は, 東
進波と変わらない(図\ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-west-term},
\ref{n1_k1.0_non-rotation-gw-west-term}
\ref{n1_k1.5_non-rotation-gw-west-term}). 東進波との違いは, 東西風とジオ
ポテンシャルの位相差である. 東進波では, 東西風とジオポテンシャルが同位相
で変動するのに対して, 西進波では東西風とジオポテンシャルの位相が 90 度ず
れている. この位相のずれが, 西進波と東進波の伝搬方向を決めているのである.

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k0.8_ig-w-non-rotation-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=0.8$ の非回転浅水重力波(東進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=1.32, c=1.65$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.}\label{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k0.8_ig-w-non-rotation-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=0.8$ の非回転浅水重力波(西進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=-1.32, c=-1.65$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k0.8_non-rotation-gw-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k1.0_ig-w-non-rotation-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.0$ の非回転浅水重力波(東進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=1.45, c=1.45$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.}\label{n1_k1.0_non-rotation-gw-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k1.0_ig-w-non-rotation-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.0$ の非回転浅水重力波(西進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=-1.45, c=-1.45$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k1.0_non-rotation-gw-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k1.5_ig-w-non-rotation-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.5$ の非回転浅水重力波(東進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=1.83, c=1.22$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.}\label{n1_k1.5_non-rotation-gw-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/non-rotation-gw-term/n1_k1.5_ig-w-non-rotation-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.5$ の非回転浅水重力波(西進)の\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq1}〜\protect\Deqref{2D-gravitiy-wave-eq3}の各項の水平分布(\protect$t=0, \omega=-1.83, c=-1.22$). 等値線間隔は, \protect$u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k1.5_non-rotation-gw-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  &  & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\chapter{\protect $n=1, k\not=0$ の慣性重力波の物理量}\Dchaplab{n=1_knot=0_ig-w-phys-component}

本章では, \Dsecref{n=1_knot=0_ig-e-w}, \Dseclab{n=1_knot=0_ig-w-w}でまと
めた特徴が得られる理論的背景について, \Dchapref{eq-bunsan-sec}の結果に基
づき $n=1, k\not=0$ の東進慣性重力波の構造を支配する諸量をまとめておく.

\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}, \Deqref{solution_vnot=0_n=1_v}より,
$n=1, k\not=0$ の時, 東西・南北風速は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
&& (~u(x,y,t), ~v(x,y,t)~) \nonumber \\
&& \qquad\qquad = \left(
	       Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega-k} H_{2}
                      + \displaystyle\frac{2}{\omega+k}
                        H_{0}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(kx-\omega t)}
		 \right],
	       ~Re\left[
		  H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(kx-\omega t)} 
		 \right]
	       \right) \nonumber \\
&& \qquad\qquad =  \left(
		 -2 \displaystyle\frac{(\omega+k)y^2-k}{\omega^2-k^2}
		         e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin (kx-\omega t),
			 ~2y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos (kx-\omega t)
	        \right) . 
\Deqlab{knot=0-n=1-real-u_xyt}
\end{eqnarray}
ただし, $H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2}-2$ を用いた.
\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt}より, 東西風の振幅は, $\pm
\sqrt{k/(\omega+k)}$ で 0 となり赤道対称な分布をすることが分かる. 南北風
の振幅は, 赤道で 0 となり赤道反対称な分布をする. したがって, 速度ベクト
ルは赤道対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相
がずれている.  これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時
計周りの回転をすることが分かる.

次に速度ベクトルに作用するコリオリ力を明記しておく. 
\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt}より, $n=1, k\not=0$ の時, コリオリ力は次
の様に表される:
\begin{eqnarray}
&& (~yv(x,y,t), ~-yu(x,y,t)~) \nonumber \\
&& \qquad\qquad = \left(
		   2y^2 e^{-\frac{1}{2}y^2}\cos (kx-\omega t),
		  ~2y \frac{(\omega+k)y^2-k}{\omega^2-k^2}e^{-\frac{1}{2}y^2}\sin (kx-\omega t)
		  \right)\qquad
\Deqlab{knot=0-n=1-coliolis-force}
\end{eqnarray}

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 経度, 時間変化を考える.
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より, $n=1, k\not=0$ の時, ジオポテンシャ
ルは次の様に表される:
\begin{eqnarray}
\Phi(x,y,t)&=& Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega-k} H_{2}
                      - \displaystyle\frac{2}{\omega+k}
                        H_{0}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(kx-\omega t)} 
		 \right] \nonumber\\
           &=&  -2\displaystyle\frac{(\omega+k)y^2-\omega}{\omega^2-k^2}
	        e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin (kx-\omega t),
\Deqlab{knot=0-n=1-real-p_xyt}
\end{eqnarray}
となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道対称な分布をしながら 
$u(x,y,t)$ と同位相で振動することがわかる. 

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. \Deqref{knot=0-n=1-real-p_xyt} より, 圧力
傾度力の $x,y$ 成分は次の様に表される:
\begin{eqnarray}
-\frac{\partial\Phi}{\partial x} &=& 2k\frac{(\omega+k)y^2-\omega}{\omega^2-k^2}e^{-\frac{1}{2}y^2}\cos(kx-\omega t), \Deqlab{n=1_knot=0_p-grad-x} \\
-\frac{\partial\Phi}{\partial y} &=& 2y\frac{-(\omega+k)y^2+3\omega+2k}{\omega^2-k^2}e^{-\frac{1}{2}y^2}\sin(kx-\omega t). \Deqlab{n=1_knot=0_p-grad-y}
\end{eqnarray}
したがって, 圧力傾度力の $x$ 成分は緯度 $\pm\sqrt{\omega/(\omega+k)}$ で
0 となり, $y$ 成分は緯度\\ $\pm\sqrt{(3\omega+2k)/(\omega+k)}$ 
で 0 となる. 

最後に, 速度ベクトルの時間変化に対するコリオリ力と圧力傾度力の寄与を考察
するための情報として, コリオリ力と圧力傾度力の振幅の絶対値が等しくなる緯
度を計算しておく. はじめに, 東西方向の運動方程式に於けるコリオリ力と圧力
傾度力の振幅の絶対値が等しくなる緯度を求める. $yv$ と 
$-\partial\Phi/\partial x$ の振幅の絶対値が等しくなる条件は,
$$ 
 2y^2 = -2k\frac{(\omega+k)y^2-\omega}{\omega^2-k^2}, 
$$
$$ 
 \left\{
  (\omega^2-k^2) + k(\omega+k) 
 \right\} y^2 = k\omega, 
$$
\begin{equation}
 y = \pm\sqrt{\frac{k}{\omega+k}}. 
\end{equation}
これは, 東西流速が 0 となる緯度に等しい. ちなみに, 振幅(絶対値ではない)
の等しくなる条件を求めると次の様になる:
$$ 
 2y^2 = 2k\frac{(\omega+k)y^2-\omega}{\omega^2-k^2}, 
$$
$$ 
 \left\{
  (\omega^2-k^2) - k(\omega+k) 
 \right\} y^2 = -k\omega, 
$$
\begin{equation}
 y = \pm\sqrt{\frac{k\omega}{(\omega+k)(2k-\omega)}}. 
\end{equation}
この様に $2k-\omega <0$ の場合には振幅が等しくなることは無い. 本ノートで
は, 低波数と高波数の境界を東西方向の圧力傾度力とコリオリ力の寄与がほぼ等
しくなるところをおおよそ平面分布図から私意的に判断して決めているが, その
様に決めた低波数の場合には $2k-\omega <0$ となり振幅が等しくなる緯度を求
めることが出来ない. 一方, 高波数の場合には $2k-\omega >0$ となり振幅が等
しくなる緯度を求めることが可能になる. この様な点で, $2k-\omega$ の符号は,
低波数から高波数へレジームがシフトする際の境界を決める条件となる可能性が
ある.

次に南北方向の運動方程式に於けるコリオリ力と圧力傾度力の振幅が等しくなる
緯度を求める. $-yu$ と $-\partial\Phi/\partial y$ の振幅の絶対値が等しく
なる条件は,
$$ 
2y
\frac{(\omega+k)y^2-k}{\omega^2-k^2} =
2y\frac{-(\omega+k)y^2+3\omega+2k}{\omega^2-k^2}, 
$$ 
$$ 
y\left\{
2(\omega+k)y^2 - k - (3\omega+2k) \right\} = 0 
$$
\begin{equation}
 y = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}. 
\end{equation}
よって, $k, \omega$ の値によらず一定値を取る. 

\chapter{\protect $n=2, k=0$ の慣性重力波の物理量}\Dchaplab{n=2_k=0_ig-w-phys-component}

%\subsection{$n=2, k=0$ の慣性重力波の構造を決める物理量}\Dseclab{n=2_k=0_uv-dist}

本章では, \Dsecref{n=2_k=0_igw}でまとめた特徴が得られる理論的背景につい
て, \Dchapref{eq-bunsan-sec}の結果に基づき $n=2, k=0$ の慣性重力波の構造
を支配する諸量をまとめておく.

\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}, \Deqref{solution_vnot=0_n=1_v}より,
$n=2, k=0$ の時, 東西・南北風速は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
 (~u(x,y,t), ~v(x,y,t)~)
           &=& \left(
	       Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega} H_{3}
                      + \displaystyle\frac{4}{\omega}
                        H_{1}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)}
		 \right],
	       ~Re\left[
		  H_{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)} 
		 \right]
	       \right) \nonumber \\
           &=&  \left(
		 \displaystyle\frac{2}{\omega}y(2y^{2}-1)
		         e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t ,
			 ~2(2y^{2} - 1) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t
	        \right) . 
\Deqlab{k=0-n=2-real-u_xyt}
\end{eqnarray}
ただし, $H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2}-2, H_{3} = 8y^{3} - 12y$ を用いた.
\Deqref{k=0-n=2-real-u_xyt}より, 東西風の振幅は, 赤道と $\pm 1/\sqrt{2}$
で 0 となり赤道反対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 緯度 $\pm
1/\sqrt{2}$ で 0 となり赤道対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは
赤道反対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相が
ずれている.  これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計
周りの回転をすることが分かる.

次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t)^{2} + v(x,y,t)^{2} 
           &=& 
	          \left(
		   \frac{4}{\omega^{2}}y^{2}
		   (2y^{2}-1)^{2}\sin^{2}\omega t
		 + (4y^{2}-2)^{2}\cos^{2}\omega t
		  \right)e^{-y^{2}}.
\Deqlab{n=2_k=0_amp_vector}
\end{eqnarray}
\Deqref{n=2_k=0_amp_vector}より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定しても
時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しないのは,
$y=\pm\sqrt{5}, \pm 1/\sqrt{2}$ の場合である. このうち, $y=\pm
1/\sqrt{2}$ は速度ベクトルの大きさが 0 となる緯度を表す. $y=\pm\sqrt{5}$ 
では, 後で見るように圧力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている.

次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は, 
\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle\frac{2}{\omega}y(2y^{2}-1)e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t}
     {(4y^{2}-2)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t}
     &=& \frac{y\tan\omega t}{\omega},  
\Deqlab{n=2_k=0_uv_direction}
\end{eqnarray}
となり, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 
高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる.
\Deqref{n=2_k=0_uv_direction} と \Deqref{n=1_k=0_uv_direction} を比べて
分かるように, $k=0$ の場合には東西風と南北風の大き
さの比は $n$ の値によらず $y\tan\omega t / \omega$ で決まる. なぜなら
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}, \Deqref{solution_vnot=0_n=1_v} より
\begin{eqnarray}
\frac{u(y,t)}{v(y,t)} &=& Re \left[
			    \frac{i(1/2\omega)(H_{n+1}+2nH_{n-1})e^{-\omega t}}
			         {H_{n}e^{-\omega t}}
			     \right] \nonumber \\
                      &=&   \frac{1}{2\omega}
			    \frac{H_{n+1}+2nH_{n-1}}
			         {H_{n}}
			    \frac{\sin\omega t}{\cos\omega t}
			     \nonumber \\
                      &=&   \frac{y \tan\omega t}{\omega},
\Deqlab{k=0_uv_direction}
\end{eqnarray}
となるからである. ここで, \Deqref{hermite-relation-1} の関係 $(H_{n+1}
-2yH_{n} + 2nH_{n-1} = 0)$ を用いた.  $n$ の値が大きくなるにつれて 
$\omega$ は大きくなるから, \Deqref{k=0_uv_direction} は, 同じ緯度であっ
ても $n$ が増加すれば南北風の大きさに対する東西風の大きさは小さくなるこ
とを示している.

%\subsection{$n=2, k=0$ の慣性重力波の圧力分布}\Dseclab{n=2_k=0_phi-dist}

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える.
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より, $n=2, k=0$ の時, ジオポテンシャル
は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
\Phi(x,y,t)&=& Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega} H_{3}
                      - \displaystyle\frac{4}{\omega}
                        H_{1}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)} 
		 \right] \nonumber\\
           &=&  \displaystyle\frac{2}{\omega} y(2y^{2}-5)
	        e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t,
\Deqlab{k=0-n=2-real-p_xyt}
\end{eqnarray}
となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道反対称な分布をしながら 
$u(x,y,t)$ と同位相で振動することがわかる. 

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. \Deqref{k=0-n=2-real-p_xyt} より, 圧力
傾度力の $x,y$ 成分は次の様に表される:
\begin{eqnarray}
 \left(
  ~-\frac{\partial\Phi}{\partial x}, ~-\frac{\partial\Phi}{\partial y}~ 
 \right) 
&=&
 \left(
  ~0, -\frac{\partial}{\partial y}
	        \left\{
		 \displaystyle\frac{2}{\omega} y(2y^{2}-5)
	        \right\} \sin\omega t 
 \right) \nonumber\\
&=&
 \left(
  ~0, ~-\frac{2}{\omega}
	       \left( -2y^{4} + 11y^{2} - 5 \right)
	       e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t~ 
 \right)  \nonumber\\
&=&
 \left(
  ~0, ~+\frac{2}{\omega}
		(2y^{2}-1)(y^{2}-5)
	       e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t~ 
 \right)  
\Deqlab{n=2_k=0_p-grad}
\end{eqnarray}
したがって, 圧力傾度力の $y$ 成分は緯度 $\pm 1/\sqrt{2}, \pm \sqrt{5}$ 
で 0 となり, $\pm 1/\sqrt{2}, \pm \sqrt{5}$ 度を境界として圧力傾度力は符
号を変える.

\chapter{\protect $n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の物理量}\Dchaplab{n=0_k=0_mixed-ro-gw-phys-component}

%\subsection{$n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の構造を決める物理量}\Dseclab{n=0_k=0_uv-dist}

本章では, \Dsecref{n=0_k=0_mixed-ro-gw-phys-component}でまとめた特徴が得
られる理論的背景について, \Dchapref{eq-bunsan-sec}の結果に基づき $n=0,
k=0$ の混合ロスビー重力波の構造を支配する諸量をまとめておく.

\Deqref{solution_vnot=0_n=0_u}, \Deqref{solution_vnot=0_n=0_v}より,
$n=0, k=0$ の時, 東西・南北風速は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
 (~u(x,y,t), ~v(x,y,t)~)
           &=& \left(
	       Re\left[
		  \frac{i}{\omega}y H_{0}
		  e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)}
		 \right],
	       ~Re\left[
		   H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)}
		 \right]
	       \right) \nonumber \\
           &=&  \left(
		 \displaystyle\frac{1}{\omega}y
		         e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t ,
			 ~e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t
	        \right) . 
\Deqlab{k=0-n=0-real-u_xyt}
\end{eqnarray}
ただし, $H_{0} = 1$ を用いた. \Deqref{k=0-n=0-real-u_xyt}より, 東西風の
振幅は, 赤道で 0 となり赤道反対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅
は, 赤道で最大値をとり赤道対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは赤
道非対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がず
れている. これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周り
の回転をすることが分かる.

次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t)^{2} + v(x,y,t)^{2} 
           &=&
	          \left(
		   \frac{y^{2}}{\omega^{2}}\sin^{2}\omega t
		 + \cos^{2}\omega t
		  \right)e^{-y^{2}}.
\Deqlab{n=0_k=0_amp_vector}
\end{eqnarray}
\Deqref{n=0_k=0_amp_vector}より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定し
ても時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しない
のは, $y=\pm 1$ のみである. $y=\pm 1$ では, 後で見るように圧
力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている. 

次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は, 
\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle\frac{1}{\omega}y e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t}
     {e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t}
     &=& \frac{y\tan\omega t}{\omega},  
\Deqlab{n=0_k=0_uv_direction}
\end{eqnarray}
となり, \Deqref{n=1_k=0_uv_direction}式や\Deqref{n=2_k=0_uv_direction}式
と同様, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 
高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる.

%\subsection{$n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の圧力分布}\Dseclab{n=0_k=0_phi-dist}

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える.
\Deqref{solution_vnot=0_n=0_Phi}より, $n=0, k=0$ の時, ジオポテンシャル
は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
\Phi(x,y,t)&=& Re\left[
		  \frac{i}{\omega}
                      y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}} e^{i(-\omega t)} 
		 \right] \nonumber\\
           &=&  \displaystyle\frac{1}{\omega}y
	        e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t,
\Deqlab{k=0-n=0-real-p_xyt}
\end{eqnarray}
となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道反対称な分布をしながら 
$u(x,y,t)$ と同位相で振動することがわかる. 

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. \Deqref{k=0-n=0-real-p_xyt} より, 圧力
傾度力の $x,y$ 成分は次の様に表される:
\begin{eqnarray}
 \left(
  ~-\frac{\partial\Phi}{\partial x}, ~-\frac{\partial\Phi}{\partial y}~ 
 \right) 
&=&
 \left(
  ~0, -\frac{\partial}{\partial y}
	        \left\{
		 \displaystyle\frac{1}{\omega}y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
	        \right\} \sin\omega t 
 \right) \nonumber\\
&=&
 \left(
  ~0, ~-\frac{1}{\omega}
	       \left( 1 - y^{2} \right)
	       e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t~ 
 \right) . 
\Deqlab{n=0_k=0_p-grad}
\end{eqnarray}
したがって, 圧力傾度力の $y$ 成分は緯度 $\pm 1$ で 0 となり,
$\pm 1$ 度を境界として圧力傾度力は符号を変える.

%\chapter{中緯度ロスビー波}\Dchaplab{rossby-wave}

\input{rossby-wave.tex}

%\section*{付録 波動方程式}
%
%振幅の小さい非分散の波は, 次の波動方程式に従う: 
%
%\begin{equation}
% \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} = c^{2}\nabla^{2}\eta \label{hadou-1}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ここで, $\eta$ は擾乱の種々の物理量を表し, 表面変位, 密度変化, 伸長の幅
%等と置き換えられる. $x$ 方向に伝播する波の場合には, 以下のようになる: 
%
%\begin{equation}
%    \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} 
%  = c^{2}\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} \label{hadou-x}
%\end{equation}
%
%\medskip
%この波動方程式は, 次の一般解を持つ({\it d'Alembert's solution}): 
%
%\begin{equation}
% \eta = f(x-ct) + g(x+ct) \label{hadou-x-solution}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ここで, $f, g$ は任意の関数である. $f(x-ct)$ は $x$ 方向に $c$ で進む波
%を表し, $g(x+ct)$ は $x$ 方向に $-c$ で進む波を表している
%\footnote{$f(x-ct)$ の場合, $x-ct=$const となる点(線)は $t$ の増加と共に
%$x$ 軸方向に速度 $c$ で移動していく. このため, $f(x-ct)$ の波は始めの形
%$f(x)$ を保ちながら移動していく.}. \\
%
%例として以下のような初期値を持つ波を考える: 
%
%\begin{equation}
% \eta(x,0) = F(x) 
%  \qquad\mbox{and}\qquad 
% \frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0) = G(x) \label{hadou-x-initial}
%\end{equation}
%
%\medskip
%このとき(\ref{hadou-x-solution})は, 次のようになる. 
%
%\begin{equation}
% f(x) + g(x) = F(x) \label{hadou-x-initial-1}
%\end{equation}
%\begin{eqnarray*}
%\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0)
% &=& 
%G(x) \\
%\frac{\partial}{\partial t}
% \left(f(\underbrace{x-ct}_{a})+g(\underbrace{x+ct}_{b})\right) 
% &=& 
%\frac{\partial}{\partial t}\left(f(a)+g(b)\right) \\
% &=& 
%  \frac{df}{da}\frac{\partial a}{\partial t} 
% +\frac{dg}{db}\frac{\partial b}{\partial t} \\
% &=& 
% -c\frac{df}{da}
% +c\frac{dg}{db} \\
%\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0)
% &=& 
% -c\frac{df}{da}\bigg|_{a=x}
% +c\frac{dg}{db}\bigg|_{b=x} \\
% &=& 
% -c\frac{df}{dx}
% +c\frac{dg}{dx}
%\end{eqnarray*}
%ゆえに, 
%\begin{equation}
% -\frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} = \frac{1}{c}G(x) \label{hadou-x-initial-2}
%\end{equation}
%
%(\ref{hadou-x-initial-2})を積分した後, (\ref{hadou-x-initial-1})と連立させ
%ると, 以下を得る: 
%
%\begin{equation}
% f(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)-\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right]
%\qquad
% g(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)+\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right]
%\end{equation}
%
%\medskip
%これより, 初期速度 $G(x)$ が 0 の場合には $f(x)=g(x)=F(x)/2$ となり,
%(\ref{hadou-x-solution})は次のようになる: 
%
%\begin{equation}
% \eta = \frac{1}{2}F(x-ct)+\frac{1}{2}F(x+ct)
%\end{equation}
%
%\medskip
%この解から, 初期速度 $G(x)=0$ の波は, 初期の振幅の半分は $x$軸左向きに速
%度 $-c$ で進み, 残りの半分は, $x$軸右向きに速度 $c$ で進む波に分割される
%ことが分かる(図\ref{wave-profile-pic}). 
%
%\vspace{-5mm}
%\begin{figure}[H]
%% \begin{center}
%% \Depsf[9.5cm]{ps/FM-Fig.7.2.ps}
%% \end{center}
% \vspace{-5mm} 
%\caption{時間経過後の波の様子. 初期のプロファイルを $F(x)$, 初期速度は 0
% とする. 初期擾乱の半分は右に進み, 残りの半分は左に進む様子が分かる.} \label{wave-profile-pic}
%\end{figure}