\documentclass[a4paper, 11pt]{jarticle}
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\begin{document}

   \begin{flushleft}

      \textgt{ITPASS 数値計算実習課題その１ (2010年6月25日(金)出題)}

   \end{flushleft}
   \begin{flushleft}

      惑星の軌道計算をする準備として、２体問題に関する簡単な問題を解いてみましょう。解
答にあたっては次のことに注意してください。

      \begin{itemize}

         \item 解答は \TeX で作成し、\TeX のソースファイルと PDF ファイルを 提出すること。

         \item 7月9日(金)に出題される「課題その２」と合わせて提出すること。「課題その２」については7月9日(金)に詳細を告知する。

         \item 提出期限は、「課題その２」と合わせて 7月15日(木) の24時とする。

         \item 提出方法に関しては、「課題その２」と合わせて 7月9日(金)に詳細を告知する。

      \end{itemize}

   \newpage

      \textgt{問題}

      万有引力の法則

      \[ F = - \frac{GMm}{r^2} \]

      を用いて、惑星の軌道を計算することを考えてみよう。\\
簡単のため、考える系における支配的な力は万有引力のみであるとする。いま、質量が $ m_1 $ である中心星と、質量が $ m_2 $ である惑星のみで構成される惑星系を考える。また中心星及び惑星の位置はベクトル $ \bm{r}_1 $, $ \bm{r}_2 $ で表されるとする。

      \begin{enumerate}

         \item 慣性系において、中心星と惑星に対して成り立つ運動方程式を書け。またそれらから

            \[
            \frac{d^2 \bm{r}}{dt^2}
            =
            - \frac{G (m_1 + m_2)}{r^3} \bm{r}
            \]
 
            を導出せよ。ここで $ \bm{r} $ は 
$ \bm{r} = \bm{r}_2 - \bm{r}_1 $ で表される相対ベクトルとする。
このとき、上記運動方程式で表される運動がどのようなものかを考えよ。

         \item 1. の運動方程式を成分に分けることを考えよう。\\
簡単のため、二体は同一平面上を運動しているとする。
相対ベクトル $ \bm{r} = ( x , \, y ) $ に対して、速度を

            \[
            \bm{v}
            \equiv
            (v_x , \, v_y)
            = \left(
            \frac{dx}{dt} , \, \frac{dy}{dt}
            \right)
            \]

            と定義する。このとき、$ \frac{dv_x}{dt} $ と $ \frac{dv_y}{dt} $ を
             $ x $, $ y $ を用いて表せ。

      \end{enumerate}

   \textgt{おまけ}

   以下は発展問題です。提出の必要はありませんが、余力のある人は考えてみると7月9日の数値計算実習で役に立つでしょう。\\
上記の問題では2体問題を扱いました。これが3体になると運動方程式はどうなるでしょうか。\\
中心星の質量を $ m_1 $, その周りを運動する天体の質量を $ m_2 $, $ m_3 $, 
位置ベクトルはそれぞれ $ \bm{r}_1 $, $ \bm{r}_2 $, $ \bm{r}_3 $とし、相対ベクトル
   \[
     \bm{r}_{ij}=\bm{r}_i - \bm{r}_j \hspace{3em} (i,j=1,2,3)
   \]     
を用いて考えてみてください。

   \end{flushleft}

\end{document}