付録 A: 式 TrisanH - 式 TrisanR の導出

式 TrisanE, TrisanF から 式 TrisanH - 式 TrisanR を導出する. 式 TrisanF に式 TrisanE を代入して 164#164 を消去すると,

152#152 12#12 239#239 240#240 241#241 242#242 155#155

243#243 (A.1)

となる. 式 TrisanG-Deriv1 において, 未知の量である 244#244 が含まれる項を左辺にまとめると,

12#12 246#246 247#247 192#192 242#242

248#248 (A.2)

となる. ここで

190#190 12#12 247#247 192#192

249#249 (A.3)

と置くと,

12#12 250#250

251#251 (A.4)

となる.

以下, 252#252, 253#253, それ以外の 3 つの場合に分けて, 式 TrisanG-Deriv4 を鉛直方向に差分化した式を書き下す. 鉛直微分は 2 次の中心差分で評価する. 先ず 252#252 の場合について考える. 下部境界条件 254#254 を適用すると, 式 TrisanE より

0 12#12 255#255 256#256

257#257 12#12 258#258 (A.5)

が成り立つ. ここで

188#188 12#12 259#259 (A.6)

と置くと, 式 TrisanG-Deriv5 は以下のように書き換えられる.

260#260 (A.7)

252#252 の場合, 式 TrisanG-Deriv4 の左辺は 式 TrisanG-Deriv7 を用いると

12#12 262#262 263#263

12#12 262#262 264#264

12#12 265#265 266#266

267#267 (A.8)

となるので,

12#12 268#268

269#269 (A.9)

となる.

次に 253#253 の場合について考える. 下部境界条件 270#270 を適用すると, 式 TrisanE より

0 12#12 271#271 272#272 273#273

274#274 12#12 275#275

12#12 276#276 (A.10)

となる. 253#253 の場合, 式 TrisanG-Deriv4 の左辺は 式 TrisanG-Deriv10 を用いると

12#12 278#278 279#279

12#12 278#278 280#280

12#12 281#281 282#282

283#283 (A.11)

となるので,

12#12 284#284

285#285 (A.12)

となる.

更に 286#286 以外の場合について考える. 式 TrisanG-Deriv4 の左辺は

12#12 152#152 287#287 288#288

12#12 152#152 289#289 290#290

12#12 291#291 292#292

293#293 (A.13)

となるので,

12#12 250#250

295#295 (A.14)

となる. 式 TrisanG-Deriv9, TrisanG-Deriv12, TrisanG-Deriv14 を行列形式で表記すると,

296#296 (A.15)

168#168 12#12 297#297 (A.16)

170#170 12#12 171#171

298#298 (A.17)

173#173 12#12 299#299 (A.18)

175#175 12#12 300#300 (A.19)

177#177 12#12 301#301 (A.20)

179#179 12#12 180#180

302#302 (A.21)

182#182 12#12 183#183

303#303 (A.22)

185#185 12#12 186#186

304#304 (A.23)

が得られる.