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B. 乱流パラメタリゼーション

1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

264#264 11#11 265#265 (92)

と与えられる. 266#266 は混合距離で, 87#87 とする. 267#267268#268 はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, 269#269 は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり,
270#270 11#11 271#271 (93)
272#272 11#11 273#273 (94)
274#274 11#11 275#275 (95)

である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.
276#276 11#11 277#277 (96)
278#278 11#11 279#279 (97)

ここで 73#73 は運動量に対する渦粘性係数であり, 74#74 はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, 79#79 は渦拡散係数である. 73#73, 79#7974#74 を用いて以下のように与えられる.
280#280 11#11 281#281 (98)
282#282 11#11 283#283 (99)

パラメータ 284#284 はともに 0.2 である. a

1 乱流運動エネルギー方程式の導出

Klemp and Wilhelmson (1978) ではB:dEdtについて, 「Deardroff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式B:dEdt, レイノルズ応力1, レイノルズ応力 2 の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

285#285 286#286 287#287  
  286#286 288#288  
  11#11 289#289  
  286#286 290#290 (100)


291#291 286#286 292#292  
  11#11 293#293 (101)

および, MY1974:eq(7)において 294#294 とした式
295#295 11#11 296#296  
    297#297 (102)

ここで

298#298


で, 299#299 はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数および熱膨 張率, 300#300 は重力加速度ベクトルの第 301#301 成分である.

MY1974:eq(7)およびMY1974:eq(8)に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

  1. 302#302 (圧力による運動エネルギーの再分配)


    303#303

    とおく. ここで 304#304 は乱流の特徴的なスケール, 305#305 は無次元の定数である.

  2. 306#306 (圧力による熱エネルギー再分配)

    1. の導出と同様の考察によって,

    307#307

    とおく. ここでの乱れのスケールは 308#308 とする.

  3. 309#309 (粘性による散逸)

    粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて 310#310 のみ で表現する.

    311#311

    ここで 312#312 は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

  4. 313#313


    314#314

    とおく.

  5. 315#315

    速度変動による 315#315 と考え次のようにおく.

    316#316


    ここで 317#317 はそれぞれの特徴的スケールである.

  6. 318#318 (圧力変動による拡散)


    319#319

    とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  7. 320#320 (コリオリ項)


    321#321


    322#322

    とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  8. 323#323


    314#314 (103)

    とする.

以上の近似をMY1974:eq(7), MY1974:eq(8), qの予報式 に対して行うと, 以下の式を得る.
324#324 325#325 326#326  
  11#11 327#327  
    328#328 (104)
329#329 325#325 330#330  
  11#11 331#331 (105)
332#332 286#286 333#333  
  11#11 334#334 (106)

ここで

335#335

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である.

式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)に対し, さらに以下の近似を加える.

これらの近似を行うと, 式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)は
338#338 11#11 339#339 (107)
340#340 11#11 341#341 (108)
332#332 11#11 342#342 (109)

となる. MY1974:Level1(1)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの 343#343 の式である. MY1974:Level1(2)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の 344#344 の式で 345#345 の項を無視したものに対応する. MY1974:Level3(1) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの 346#346 の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する.

347#347 とし, 310#31074#74 で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

338#338 11#11 348#348 (110)
340#340 11#11 349#349 (111)
264#264 11#11 350#350 (112)

となる. 理想気体の場合 351#351 であることに注意すると, 式 乱流エネルギーの式は散逸項の係数を除きB:dEdtに一致 する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である.

2 2 次元の場合の表現

2 次元の場合のB:dEdt式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネル ギー生成項は,

270#270 11#11 352#352  
  11#11 353#353  
  11#11 354#354 (113)

である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 268#268 は,
272#272 11#11 355#355  
  11#11 356#356  
  11#11 357#357  
  11#11 358#358  
    359#359  
  11#11 360#360  
    361#361  
  11#11 362#362  
    363#363 (114)

である. 乱流エネルギー拡散項 269#269 は,
274#274 11#11 364#364  
  11#11 365#365 (115)

である. 以上の B, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで以下の式を得る.
264#264 11#11 366#366  
    367#367  
    368#368 (116)

3 乱流拡散係数を用いた表現

B:TurbE 式を B:E 式を用いて 73#73 に関する式に変形 する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと,

369#369 286#286 370#370  
  11#11 371#371  
  11#11 372#372  
  11#11 373#373  

となるので, B:TurbE 式を変形すると,
374#374 11#11 375#375  
    376#376  
    377#377  
    378#378 (117)

係数を整理すると,
80#80 11#11 379#379  
    82#82  
    380#380  
    84#84  
    381#381  

となり, ここで 382#382 383#383 という 関係を用いると,
80#80 11#11 384#384  
    82#82  
    83#83  
    84#84  
    385#385 (118)

となる.

Yamashita Tatsuya 2011-03-01