Subsections
地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の
分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような
系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで
決まることになる. このような系では温位 4#4 が保存量として使える.
水平鉛直 2 次元大気の状態を
気温 1#1, 圧力 5#5, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合,
基礎方程式系は以下のようになる.
- 運動方程式
-
- 連続の式
-
- 密度の式(状態方程式)
-
- 熱の式
-
- 凝縮成分の混合比保存式
-
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103#103 |
(35) |
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104#104 |
(36) |
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105#105 |
(37) |
ここで 106#106, 59#59, 107#107 は単位質量当たりの乾燥成分の
気体定数, 定圧比熱, 密度であり,
108#108 は非断熱加熱, 40#40 は気体成分の混合比,
41#41 は雲水混合比,
43#43 は雨水混合比である.
109#109 は, 凝縮成分の数だけ存在する.
110#110, 38#38, 39#39 を付けた項はそれぞれ
拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.
密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている.
30#30 |
11#11 |
111#111 |
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11#11 |
112#112 |
(38) |
ただし,
113#113, 41#41, 43#43 はそれぞれ,
凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 114#114 は.
115#115 |
11#11 |
116#116 |
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11#11 |
117#117 |
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11#11 |
118#118 |
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11#11 |
119#119 |
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となるので,
である. 但し 121#121 は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした.
rho:rho, rho:rho_d 式より,
となる.
と定義すると, rho:p-T_1 式は以下のように書ける.
また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,
30#30 |
11#11 |
125#125 |
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11#11 |
126#126 |
(42) |
である. 但しエクスナー関数 6#6 は
127#127 の関係を満たす.
温位は乾燥断熱状態における保存量である.
乾燥断熱状態を表す熱力学の式は
である. ここで 1#1 は温度, 5#5 は圧力,
129#129 は単位質量当たりの比熱, 130#130 は比容である.
theta1 式の 130#130 は,
理想気体の状態方程式を用いると,
と書ける. ここで 121#121 は分子量, 132#132 は気体定数である.
theta1 式に theta2 式を代入し整理すると,
となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので
129#129 と 132#132 は共に 5#5 に依存しない.
一般に 129#129 は 1#1 の関数であるが,
129#129 を定数とみなすと,
134#134 |
11#11 |
135#135 |
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136#136 |
11#11 |
137#137 |
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138#138 |
11#11 |
139#139 |
(46) |
となり, 温位が得られる.
水平鉛直 2 次元大気の状態を
温位 4#4, 圧力 5#5, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合,
基礎方程式系は以下のようになる.
CReSS(坪木と榊原, 2001)では,
この基礎方程式を用いている.
- 運動方程式
-
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140#140 |
(47) |
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141#141 |
(48) |
- 圧力方程式
-
- 密度の式(状態方程式)
-
- 熱の式
-
- 凝縮成分の混合比の保存式
-
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145#145 |
(52) |
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146#146 |
(53) |
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147#147 |
(54) |
ただし温位 4#4 は
であり, 仮温位 33#33 は,
である. 音速 150#150 は
である. 59#59 と 152#152 はそれぞれ単位質量当たりの
乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり,
153#153 という
関係にある.
圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる.
まず密度を
154#154 として
2#2 の全微分を求める.
155#155 |
11#11 |
156#156 |
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11#11 |
157#157 |
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11#11 |
158#158 |
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159#159 |
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11#11 |
160#160 |
(58) |
となる. pressure:theta-p:drho 式を圧力の式として整理すると,
であり, 連続の式を用いると,
となり, 圧力方程式が得られる.
水平鉛直 2 次元大気の状態を
温位 4#4, 無次元圧力 6#6, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合,
基礎方程式系は以下のようになる.
連続の式 equations:continue と状態方程式 equations:rho
を用いることで得られる圧力方程式を利用する.
Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.
- 運動方程式
-
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163#163 |
(59) |
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164#164 |
(60) |
- 圧力方程式
-
- 状態方程式
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- 熱の式
-
- 水蒸気および水物質混合比の式
-
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168#168 |
(64) |
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169#169 |
(65) |
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170#170 |
(66) |
ただし, エクスナー関数 6#6 は,
であり, 音速 150#150 は
である.
運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.
173#173 |
11#11 |
174#174 |
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11#11 |
175#175 |
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11#11 |
176#176 |
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11#11 |
177#177 |
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11#11 |
178#178 |
(69) |
圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる.
まず密度を
179#179 として
2#2 の全微分を計算する.
155#155 |
11#11 |
180#180 |
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11#11 |
181#181 |
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11#11 |
182#182 |
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183#183 |
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11#11 |
184#184 |
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185#185 |
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11#11 |
186#186 |
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11#11 |
187#187 |
(70) |
となる. pressure:theta-pi:drho 式を圧力の式として整理すると,
となり, 連続の式を用いると,
となり, 圧力方程式が得られる.
準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.
変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する.
この時, 変数は以下のように書ける.
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190#190 |
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191#191 |
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192#192 |
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193#193 |
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194#194 |
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195#195 |
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196#196 |
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197#197 |
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但し,
198#198 とし,
基本場の風速 3#3 と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした.
そして基本場には静水圧平衡,
の関係が成り立つものとする.
水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は 7#7 方向に
は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
201#201 |
11#11 |
202#202 |
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11#11 |
203#203 |
(74) |
ここで 204#204 は,
である.
鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
さらに静水圧の式を利用すると以下となる.
208#208 |
11#11 |
209#209 |
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11#11 |
210#210 |
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ここで
211#211 は,
212#212 |
11#11 |
213#213 |
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11#11 |
214#214 |
(76) |
であり, DTheta 式の第 2 項を計算すると,
215#215 |
11#11 |
216#216 |
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11#11 |
217#217 |
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218#218 |
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11#11 |
219#219 |
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であり, DTheta 式の第 3 項を計算すると,
220#220 |
11#11 |
221#221 |
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11#11 |
222#222 |
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であり, DTheta 式の第 4 項を計算すると,
223#223 |
11#11 |
224#224 |
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11#11 |
222#222 |
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となるので,
である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので,
全量を平均成分に置き換えることで,
となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 227#227 の式は以下のように書ける.
208#208 |
11#11 |
228#228 |
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229#229 |
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Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と
凝縮に伴う圧力変化を無視し,
として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので,
この近似を用いることとした.
圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成
分よりも十分小さいという仮定を用い,
231#231,
232#232 とする.
上式では 35#35 を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を
無視すると,
234#234 と等しくなることを利用している.
235#235 |
11#11 |
236#236 |
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237#237 |
238#238 |
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11#11 |
239#239 |
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237#237 |
240#240 |
(79) |
ただし
241#241,
242#242 であることを用いた.
平均成分は 8#8 にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.
さらに 6#6 を理想気体の状態方程式で変形してまとめると,
圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる.
244#244 |
11#11 |
245#245 |
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11#11 |
246#246 |
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11#11 |
247#247 |
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11#11 |
248#248 |
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以上より,
である.
熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.
ここで平均場の量は 8#8 の関数であることを用いると,
となる.
凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する.
熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ
存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに
等しい.
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252#252 |
(82) |
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253#253 |
(83) |
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254#254 |
(84) |
但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.
準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す 255#255 は
除いた.
- 運動方程式
-
10#10 |
11#11 |
256#256 |
(85) |
13#13 |
11#11 |
257#257 |
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258#258 |
(86) |
- 圧力方程式
-
- 熱の式
-
- 凝縮成分の混合比の保存式
-
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261#261 |
(89) |
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262#262 |
(90) |
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263#263 |
(91) |
Yamashita Tatsuya
2011-03-01