　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 4. Anomalous diffusion
W. R. Young

2000 年 12 月 08 日

OHP 資料一覧

- - $C(t)\equiv \langle u(t_1+t)u(t) \rangle$ : Corellation function
  - identity の証明(ノート)
- Anomalous diffusion via Taylor
  - スペードマークのしきは Taylor の論文にはない.
  - Supperdiffusion : $\langle x^2 \rangle$ の増加が t¹ よりきつい
  - Subdiffusion : $\langle x^2 \rangle$ の増加が t¹よりゆるい
- Taylor の論文の sitation index
  - これも anomalous diffusion?
- Anomalous diffusion の例
  - コンピュータシミュレーションによる分子の相関関数
  - 室内実験(レイリーベナール対流)
- Anomalous diffusion の例 : 室内実験 (Solmon, Weeks and Swinney, 1994)
  - 高速回転(1.5Hz, 外側で 4g)する水槽. 下面が傾いている. β効果
  - 回転のため強いジェットができる
  - ジェットに伴う渦ができている. この渦は伝播する. 0.1049Hz
  - 渦に trap されている粒子群(a)と, ぐるぐる回っている粒子群(b)
  - 下面から流体を注入, 排出して渦に対しての周期的な強制を与える.
  - 渦にトラップされていた粒子が拡散し始める(007.htm)
- Texas 室内実験の解釈
  - 粒子が渦に trap されているとき(Sticking)と流されている(Flying)ときの時間間隔
  - $\langle\tau^2\rangle = \int \tau^2 P(\tau) d\tau$ は発散する.
- Einstein 流の拡散係数では...
  - Einstein 流の拡散係数は $\bar{\Delta^2}/\tau$
  - anomalous diffusion は, この表現の分母あるいは分子のどちらか, あるいはその両者に起因する.
  - Texas experiment では分子に原因. $\bar{\Delta^2} = U^2\langle\tau_F^2\rangle \longrightarrow \infty$
電信モデル(The telegraph model), 電信方程式(The telegraph equation)
- 人口問題の例
  - 平均年齢にも 2 種類. 今存在している人の平均年齢と一人がどれくらいいきれるかという平均年齢(?)
- 人口問題モデル
- 人口問題モデル : 生き残り問題
- The telegraph model
  - 流れの向きを確率的に変えるモデル. 確率 $\alpha$ で向きをかえる.
  - 相関係数は $U^2\exp{-2 \alpha |t|}$
- The telegraph equation
  - telegraph モデルでの粒子密度の従う式は $c_{tt} + 2\alpha c_t - U^2 c_xx =0$ : 電信方程式. 拡散型ではない.
  - しかし, $\alpha t \gg 1$ であれば, c_tt を無視できて拡散型に従うだろう.
- 電信方程式の数値解
  - 最初にガウス分布を与える
  - 0.7 ぐらいで二つに別れる
  - 計算の最後の状態(t=1.96)でもまだ拡散型方程式の解とは違うが, だんだん近づいている.
- 一般化した Telegraph モデル
  - telegraph model を改良
  - 左右に動く状態に加えて, 止まっている状態を追加
  - 粒子の状態の年齢を追加. 状態を変えてからの時間
  - 止まっている状態 -> 動き出す状態への遷移確率 : β
  - 動き出す状態 -> 止まっている状態への遷移確率 : α
- 一般化した電信モデルの定式化
- Preliminary Considerations
  - coherent walker : a time t, there have been no transition from the initial stage
- 一般化した電信モデルの解
- 一般化した電信モデルの解 : 簡単な場合
  - 状態変移確率 α, β の形を解けるようにおく.