2 数値モデル

用いた数値モデルは SPMODEL の一環として開発された球面浅水モデル shallow-zd (竹広 他, 2002)である. モデルの支配方程式系は渦度発散型の球 面浅水方程式系である.

$$\DP{\zeta }{t} = -\frac{1}{a(1-\mu ^{2})} \DP{(f+\zeta)U}{\lambda} - \frac{1}{a}\DP{(f+\zeta)V}{\mu}$$

$$-K_{m}\left[(-1)^{N_{d}/2}\nabla ^{N_{d}} - \left(\frac{2}{a^{2}}\right)^{N_{d}}\right]\zeta + F_{\zeta}$$ (1)

$$\DP{D}{t} = \frac{1}{a(1-\mu ^{2})} \DP{(f+\zeta)V}{\lambda} - \frac{1}{a}\DP{(f+\zeta)U}{\mu} - \Dlapla \left[g (h+h_{s}) + E\right]$$

$$-K_{m}\left[(-1)^{N_{d}/2}\nabla ^{N_{d}} - \left(\frac{2}{a^{2}}\right)^{N_{d}/2}\right]D + F_{D}$$ (2)

$$\DP{h}{t} = - \frac{1}{a(1-\mu ^{2})}\DP{(hU)}{\lambda} - \frac{1}{a}\DP{(hV)}{\mu} - (-1)^{N_{d}/2}K_{h}\nabla ^{N_{d}}h+F_{h}.$$ (3)

各記号の定義はTable 1に示した. 渦度 $\zeta$ と発散 $D$ , 単位質量あたりの運動エネルギー $E$, 演算子 $\nabla ^{2}$ は以下のように定義される.

$$\zeta = \frac{1}{a(1-\mu ^{2})}\DP{V}{\lambda} - \frac{1}{a}\DP{U}{\mu},$$ (4)

$$D = \frac{1}{a(1-\mu ^{2})}\DP{U}{\lambda} + \frac{1}{a}\DP{V}{\mu},$$ (5)

$$E = \frac{U^{2}+V^{2}}{2(1-\mu ^{2})},$$ (6)

$$\nabla^{2} A = \frac{1}{a^{2}(1-\mu ^{2})}\DP[2]{A}{\lambda} + \frac{1}{a^{2}}\DP{}{\mu}\left[(1-\mu^{2})\DP{A}{\mu}\right].$$ (7)

ここで $A$ は任意のスカラーである. 流線関数 $\psi$ と速度ポテンシャ琉 $\chi$ を導入すると,

$$U = -\frac{1-\mu^ {2}}{a}\DP{\psi}{\mu} +\frac{1}{a\sqrt{1-\mu ^{2}}}\DP{\chi}{\lambda},$$ (8)

$$V = \frac{1}{a\sqrt{1-\mu ^{2}}}\DP{\psi}{\lambda} + \frac{1-\mu^{2}}{a}\DP{\chi}{\mu},$$ (9)

$$\zeta = \nabla ^{2} \psi,$$ (10)

$$D = \nabla ^{2} \chi$$ (11)

と表される.

変数, 物理定数の定義

表 1: 変数, 物理定数の定義

記号		変数/物理定数
$\lambda$		経度
$\phi$		緯度
$\mu$		$\sin$ 緯度 ( $\equiv \sin \phi$)
$t$		時間
$u$		経度方向流速
$v$		緯度方向流速
$U$		$u\cos \phi$
$V$		$v\cos \phi$
$h$		流体の全厚さ
$\zeta$		渦度
$D$		発散
$E$		運動エネルギー
$\psi$		流線関数
$\chi$		速度ポテンシャル
$f$		$2\Omega \sin \phi$
$\Omega$		自転角速度
$g$		重力加速度
$a$		惑星半径
$K_{m}$		水平拡散係数
$K_{h}$		水平拡散係数
$N_{d}$		超粘性の次数
$F_{\zeta, D, h}$		強制項

切断波数と格子点数

表 2: モデルで用いた切断波数と格子点数, 水平拡散係数, 時間格子間隔.

	格子点数		$K_{m}, K_{h}$	$\Delta t$
切断波数 $M$	経度方向 $I$	緯度方向 $J$	(m${}^{4}$/sec)	(sec)
T42	128	64	0.50 $\times 10^{16}$	1200
			(5.00 $\times 10^{15}$)	(600)
T63	192	96	1.00 $\times 10^{15}$	900
				(450)
T106	320	160	1.25 $\times 10^{14}$	600
T216	640	320	8.00 $\times 10^{12}$	360

空間離散化はスペクトル法を用いて行う. 展開関数は球面調和関数を用いる. 波数切断は三角切断である.ルジャンドル変換の際の数値積分はガウス - ル ジャンドルの積分公式を用いて行う. 非線形項を計算する際には, 先に格子点 上での非線形項の値を計算し, その値のスペクトルを求める方法(変換法)を用 いる. 時間積分はセミインプリシット法を用いて行う. 重力波に関係する線形 項に対しては台形型の陰解法, 摩擦項に対してはオイラー法, その他の項に対 してはリープフロッグ法を適用する. 計算モードの増幅を抑制するため Asselin (1972) の時間フィルターを 1 ステップ毎に適用する. 時間フィルター の係数の値は 0.05 とする.

格子点数, 時間格子間隔, 数値粘性の与え方は Jakob-Chien et al. (1995) に準じる. 非線形項の計算によって生じるエリアジングを防ぐため, 経度および緯度方向の格子点数 $I,J$ は切断波数 $M$ に対し $I>3M+1, J>3M/2$ を満たすように与える. 超粘性の次数 $N_{d}$ は 4 とする. 格子点 数と水平拡散係数の値, 時間格子間隔 $\Delta t$ の与え方は, Table にまとめた.