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D. 湿潤飽和調節法の定式化

湿潤飽和調節を用いる段階では, 潜熱の開放による温位の変化を考えるので, 熱力学第一法則の非断熱項は無視する.

$\displaystyle d\theta + \gamma dq_{v} = 0.$     (D.1)

ただし $\gamma = L_{v}/(c_{p} \Pi)$ である. 相変化の効果を除いた予報方程 式を解くことで得られ た値を $[\theta]^{*}$, $[q_{v}]^{*}$, $[q_{c}]^{*}$, $[q_{r}]^{*}$ とし, 相変化の効果も含めたより真に近い値を $[\theta]^{t + \Delta t}$, $[q_{v}]^{t + \Delta t}$, $[q_{c}]^{t + \Delta t}$, $[q_{r}]^{t + \Delta t}$ する. この時, (D.1) 式は,
$\displaystyle ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) =
\gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t})$     (D.2)

となる. ここで過飽和を許さないので,
$\displaystyle [q_{v}]^{t + \Delta t} = q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t})$      

と表すことができる. ここで $q_{vsw}$ は飽和蒸気圧である. $q_{vsw}([\theta]^{t + \Delta t})$$[\theta]^{*}$ の回りで テーラー展開して 2 次の微小項以下を無視すると,
$\displaystyle q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t})
= q_{sw}([\theta]^{*})
+ \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta} ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*})$     (D.3)

となる. (D.3) 式を (D.2) 式に代入することに よって (3.52) 式が得られる.
    $\displaystyle ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) =
\gamma \left(
[q_{v}]^...
...q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}
([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*})
\right)$  
    $\displaystyle \left(
1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}
\right) ([\t...
...a t} - [\theta]^{*}) =
\gamma \left(
[q_{v}]^{*} - q_{sw}([\theta]^{*})
\right)$  
    $\displaystyle [\theta]^{t + \Delta t} = [\theta]^{*} +
\gamma \frac{[q_{v}]^{*} - q_{vsw}([\theta]^{*})}
{ 1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}}.$ (D.4)

(3.53) 式は (D.2) 式から直接得ることがで きる.

    $\displaystyle ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) =
\gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t}) ,$  
    $\displaystyle [q_{v}]^{t + \Delta t} =
[q_{v}]^{*} - ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) / \gamma.$  

(3.54) 式は水蒸気と雲水量の和が常に等しいという 条件から容易に得られる.

    $\displaystyle ([q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*})
= ([q_{v}]^{t + \Delta t} + [q_{c}]^{t + \Delta t}) ,$  
    $\displaystyle [q_{c}]^{t + \Delta t} =
[q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t} .$ (D.5)


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Odaka Masatsugu 平成18年9月23日