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% 表題  2 次元非静力学モデル -- 離散モデル  熱力学の式時間方向の離散化
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% 履歴: 2005-01-25 杉山耕一朗
%       2005/04/13  小高正嗣
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\section{熱力学の式}

熱力学の式を書き下すと以下のようになる. 
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\begin{eqnarray}
\DP{\theta}{t} = F_\theta
\Deqlab{theta:theta}
\end{eqnarray}
%
\Deqref{theta:theta} 式を時間方向にリープフロッグ法を用いて離散化する. 
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\begin{eqnarray}
 \theta_{i,k}^{t} = \theta_{i,k}^{t - \Delta t} + 2 F_\theta \Delta t  
\end{eqnarray}
% 
ここで, 
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\begin{eqnarray}
 F_{\theta,i,k}^{t} &=&
  - \left[{\rm Adv}_{\theta}\right]_{i,k}^{t}
  - \left[{\rm Src}_{\theta}\right]_{i,k}^{t}
  + \left[D_{\theta} +  {\rm Diff}_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}.
  \Deqlab{Ftheta}
\end{eqnarray} 
%
である. 移流を中心差分で安定して解くために, 数値粘性項 Diff を追加してあ
る. 


\Deqref{Ftheta} 式を書き下す. 移流項は, 
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\begin{eqnarray}
  \left[{\rm Adv}_{\theta}\right]_{i,k}^{t}  &=& 
      \left\{ 
         u_{i(u),k}  \left( \DP{\theta}{x} \right)_{i(u),k} 
      \right\}_{i,k}^{t}
      + 
      \left\{ 
         w_{i,k(w)} \left( \DP{\theta}{z} \right)_{i,k(w)} 
      \right\}_{i,k}^{t}
\end{eqnarray}
%
であり, 生成項は, 
%
\begin{eqnarray}
  \left[{\rm Src}_{\theta}\right]_{i,k}^{t} =
      \left\{ 
         w_{i,k(w)} \left( \DP{\overline{\theta}}{z} \right)_{i,k(w)} 
      \right\}_{i,k}^{t}
\end{eqnarray}
%
であり, 粘性拡散項は, 
%
\begin{eqnarray}
\left[D_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t} &=& 
   \left[ \DP{}{x} 
      \left\{
         \left( K_{h} \right)_{i(u),k}
         \left( \DP{\theta}{x} \right)_{i(u),k}
       \right\}
   \right]_{i,k}^{t - \Delta t}
\nonumber \\
&&
     + \left[ \DP{}{z}\left\{
       \left( K_{h} \right)_{i,k(w)}
       \left( \DP{\theta}{z} \right)_{i,k(w)}
     \right\} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}
 \end{eqnarray}
%
である. 数値粘性項は,
%
 \begin{eqnarray}
  \left[ {\rm Diff}_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t} &=& 
     \nu_{h} \left\{ \DP{}{x} \left(\DP{\theta}{x}\right)_{i(u),k} \right\}_{i,k}^{t - \Delta t}
   + \nu_{v} \left\{ \DP{}{z} \left(\DP{\theta}{z}\right)_{i,k(w)} \right\}_{i,k}^{t - \Delta t}
 \end{eqnarray}
%
である. $K_{h}$ は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算する(詳細は後述). 
$\nu_{h}, \nu_{v}$ は \Deqref{nu} 式を利用する. 
