ここでは 音波計算(2) で示した音波の振幅 の見積もり方法について説明する.
du/dt = -cpθ dπ/dxである. ここで u, π はそれぞれ速度と圧力の基本場からの偏差, θ は基本場の温位, cp は定圧比熱である. この式を時間方向に離散化すると,
uin+1 = uin -Δt cpθ dπ/dxとなる. O(u) を u=0 の状態から N ステップ計算して得られた値として 評価すると,
O(u) = NΔt cpθ dπ/dxとなる.
音波計算(2) の設定では,
cp = 1000 J/(K kg)であることと,
θ = 298.15 K
cs = 350 m/sec
O(dπ/dx): (初期の圧力偏差の振幅) / (初期値の半値幅)として O(u) を見積もると,
NΔt: (初期値の半値幅) / (音速)
O(u)となる. 計算結果に示した u の最大振幅 (約 4 m/sec) は, この値と同程度である.
= NΔt cpθ dπ/dx
= 700 / 350 x 1000 x 300 x 0.006 / 700
= 5 m/sec
見積もりに用いる式は x 方向 1 次元の圧力偏差の式
dπ/dt = αd(ρθU)/dxである. ここで ρ は基本場の密度である. この式を時間方向に離散化すると,
α = cs2 / cpρθ2
πin+1 = πin + Δt cs2 / cpθ du/dxとなる. ρ=ρ(z), θ=θ(z) であることに注意する. O(u) と同様に, O(u)を π=0 の状態から N ステップ計算して得られた値として評価すると,
O(π) = NΔt cs2 / cpθ du/dxとなる.
O(du/dx): O(u) / (初期値の半値幅)とし, O(u) = 5 m/sec として O(π) を見積もると,
NΔt:(初期値の半値幅) / (音速)
O(π)O(u) として実際に計算された平均的な u の値 (3 m/sec) を用いると,
= NΔt cs2 / cpθ du/dx
= 700 / 350 x 3502 / 1000 / 300 x 5 / 700
= 6 x 10-3
O(π)となる. 前者は計算された π の値よりやや大きく, 後者はほぼ同じ値である.
= NΔt cs2 / cpθ du/dx
= 700 / 350 x 3502 / 1000 / 300 x 3 / 700
= 3.6 x 10-3