% 表題   dcpam5  コード解説 -- 力学過程 -- 非重力波項の計算 (サブルーチン NonLinearOnGrid)
%
% 履歴
%\Drireki{2009/07/11  森川 靖大}
%\Drireki{2009/03/03  森川 靖大}
%\Drireki{2009/02/24  森川 靖大}
%

\section[非重力波項の計算]{非重力波項の計算 (サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid})}
\label{subsec:NonLinearOnGrid}


%\subsection{渦度発散の計算}
\subsection{{\tt NonLinearOnGrid}前の準備}

{\tt NonLinearOnGrid}の直前で計算される, 
地表面気圧の空間変化と渦度発散について記す. 
灰色文字で示されるのは SPMODEL ライブラリ
(Takehiro {\itshape et al.}, 2006) から提供される
関数である. 
この節では変数の時間ステップは全て $t$ であるため,
簡単化のため $(t)$ の表記を省略する. 
経度, 緯度, 鉛直方向添え字 $i,j,k$ の表記も省略する. 
%
%\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧経度微分}
   \underbrace{\left(\nabla \pi \right)_{\lambda}}_{\Oarray{xy\_GradLambdaPiN}} &=
     \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
     \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
     \underbrace{
       \DP{(\ln \overbrace{p_s }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_PsN}\!\!\!\!\!\!})}{\lambda},
     }_{\Farray{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad xy\_GradLambda\_w( w\_xy( ... ) )}} \\
 \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧緯度微分}
   \underbrace{\left(\nabla \pi \right)_{\mu}}_{\Oarray{xy\_GradMuPiN}} &=
     \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
     \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
     \underbrace{
       (1-\mu^2)
       \DP{(\ln \overbrace{p_s }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_PsN}})}{\mu},
     }_{\Farray{\qquad\qquad\quad xy\_GradMu\_w( w\_xy( ... ) )}}
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:渦度}
  \underbrace{\zeta }_{\Oarray{xyz\_VorN}}
        &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
           \underbrace{
             \biggl(
              \underbrace{
                \Dinv{1-\mu^2}
                  \DP{\overbrace{V }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VN}}\!\!\!\!}{\lambda}
              }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya( ... )}}
              - 
              \underbrace{
                  \DP{\overbrace{U }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UN}}\!\!\!\!}{\mu}
              }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya( ... )}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
             \biggr)
          }_{\Farray{xya\_wa( ... )}} \\
%
 \Deqlab{code-nongrav:発散}
  \underbrace{D }_{\Oarray{xyz\_VorN}}
        &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
           \underbrace{
             \biggl(
              \underbrace{
                \Dinv{1-\mu^2}
                  \DP{\overbrace{U }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UN}}\!\!\!\!}{\lambda}
              }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya( ... )}}
              + 
              \underbrace{
                  \DP{\overbrace{V }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VN}}\!\!\!\!}{\mu}
              }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya( ... )}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
             \biggr)
          }_{\Farray{xya\_wa( ... )}}
\end{align}

\subsection{{\tt NonLinearOnGrid}での計算}

サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid} では格子点上で
$U_A, V_A, H, R, KE, $
$UT', VT', $
$Uq, Vq, $
$\dot{\sigma}, Z$
について計算を行う.
この節では時間 $(t)$ と
経度, 緯度方向添え字 $i,j$ の表記を省略する. 

\subsubsection*{地表面気圧の変化に関連する項の計算}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧1}
 \underbrace{ Z }_{\Oarray{xy\_DPiDtN}}
   &=  - \underbrace{ \sum_{k=1}^{K}
             \overbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}^{
              \Warray{xyz\_PiAdv}\ 
              \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:地表面気圧2}参照}
              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
             }
             \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
             \underbrace{\Delta \sigma_{k}.}_{\qquad\quad \Carray{z\_DelSigma}}
         }_{\Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=1}$}}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧2}
  \underbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}_{\Warray{xyz\_PiAdv}} &=
    \overbrace{U_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UCosLatN}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
      \Dinv{1- \underbrace{\mu^2}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_SinLat**2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}
      \!\!\!\!\!
      \overbrace{\Dinv{a} \DP{\pi}{\lambda} }^{\Iarray{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
         xy\_GradLambdaPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
  \ \ + \ \ \ \ 
    \overbrace{V_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VCosLatN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
      \Dinv{1- \underbrace{\mu^2}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_SinLat**2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}
      \overbrace{\frac{(1-\mu^2)}{a}\DP{\pi}{\mu}.}^{
         \Iarray{xy\_GradMuPiN}}
\end{align}
%

\subsubsection*{渦度, 発散の変化に関連する項の計算}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \overbrace{{U_A}_{,1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyz\_UAdvN}\!\!\!\!\!\!\!\!}
    & =   \underbrace{(\zeta_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_VorN}\!\!\!\!\!}
            \!\!
            + \!\! \overbrace{f)}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_Cori}\!\!\!\!\!\!\!\!} 
          \!\!\!\!  \underbrace{V_1}_{\!\!\!\!\!
                       \Warray{xyz\_VCosLatN}\ 
                       \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:Ｖの定義}参照}
                       \!\!\!\!\!\!\!\!}
         - \quad \frac{1}{2 \underbrace{\Delta \sigma_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_DelSigma}\!\!\!\!\!\!\!\!}} 
                  \overbrace{\dot{\sigma}_{3/2}}^{
                    \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                    \Warray{xyr\_SigDotN}\
                    \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:鉛直速度の式}参照}
                    \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                  }
                     \underbrace{(U_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                       \Warray{xyz\_UCosLatN}\ 
                       \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:Ｕの定義}参照}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
                       \!\! - U_{2} )  \\
     & \quad
        - \!\!\underbrace{C_{p}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{CpDry}} \!\!\!\!\!\!\!
            \overbrace{\hat{\kappa}_1}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
              \Carray{z\_TInpCoefK} \
              \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:温度鉛直補間の係数K}参照}
            \!\!\!\!\!\!\!
            }
            \!\!\!\!\!\! \underbrace{T_{v,1}'}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
              \Warray{xyz\_TempVirEdd}\
              \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:仮温度の擾乱}参照}
              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
            \overbrace{\Dinv{a} \DP{\pi}{\lambda} }^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
              \Iarray{xy\_GradLambdaPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}  
        + {\cal F}_{\lambda, k} \cos \varphi, \\
  {U_A}_{,k}
    & =   ( \zeta_k + f ) V_k 
        - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} 
             [   \dot{\sigma}_{k-1/2} ( U_{k-1} - U_k   )
               + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( U_k     - U_{k+1} ) ] \\
    & \quad
        - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} 
            \DP{\pi}{\lambda} 
        + {\cal F}_{\lambda, k} \cos \varphi, \qquad (k=2,\cdots,K-1) \\
  {U_A}_{,K}
    & =   ( \zeta_K + f ) V_K 
        - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} 
                 \dot{\sigma}_{K-1/2} ( U_{K-1} - U_K   )
        - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,k}'}{a} 
            \DP{\pi}{\lambda} 
        + {\cal F}_{\lambda, K} \cos \varphi, 
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \overbrace{{V_A}_{,1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyz\_VAdvN}\!\!\!\!\!\!\!\!}
    & = - ( \zeta_1 + f ) U_1 
        - \frac{1}{2 \Delta \sigma_1} 
                 \dot{\sigma}_{3/2} ( V_1   - V_2 ) 
        - C_{p} \hat{\kappa}_1 T_{v,1}'
           \overbrace{\frac{1-\mu^2}{a}\DP{\pi}{\mu}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
             \Iarray{xy\_GradMuPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
        + {\cal F}_{\varphi, 1} \cos \varphi, \\
  {V_A}_{,k}  
    & = - ( \zeta_k + f ) U_k 
        - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} 
             [   \dot{\sigma}_{k-1/2} ( V_{k-1} - V_k   )
               + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( V_k   - V_{k+1} ) ] \\
    & \quad
        - C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}' \frac{1-\mu^2}{a}
             \DP{\pi}{\mu} 
        + {\cal F}_{\varphi, k} \cos \varphi, \qquad (k=2,\cdots,K-1) \\
  {V_A}_{,K}  
    & = - ( \zeta_K + f ) U_K 
        - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} 
                 \dot{\sigma}_{K-1/2} ( V_{K-1} - V_K   ) \\
    & \quad
        - C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,K}' \frac{1-\mu^2}{a}
             \DP{\pi}{\mu} 
        + {\cal F}_{\varphi, K} \cos \varphi,
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-0.5cm}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:エネルギーの項}
 \underbrace{ (\mbox{\sl KE})_{k} + \sum_{l=1}^{K}W_{kl} (T_{v,l}-T_{l})
   }_{\Oarray{xyz\_KinEngyN}} \,\,\, = \,\,\,
      \frac{U_k^{2}+V_k^{2}}{2 (1-\mu^2)} 
      + \!\!\!\!\!\!
        \underbrace{
          \sum_{l=1}^{K} W_{kl}
             \overbrace{(T_{v,l}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
               \Warray{xyz\_TempVir}\ 
               \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:仮温度}参照}
               \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
             } - 
             \underbrace{T_{l}).}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_TempN}}
        }_{\!\!\!\!\!\!
          \mbox{\footnotesize {\tt HydroGrid}を呼ぶと $W_{kl}$がかかる}
        }
\end{align}
%
%\footnote{$W_{kl}$についてもちゃんと書くべきだがとりあえず置いておく}. 
%
ここで,
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:Ｕの定義}
  \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}}
    & = \overbrace{u_k}^{\Iarray{xyz\_UN}}
        \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:Ｖの定義}
  \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}}
    & = \overbrace{v_k}^{\Iarray{xyz\_VN}}
        \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{code-nongrav:鉛直速度の式}
  \underbrace{\dot{\sigma}_{k-1/2}}_{\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
 &= \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}}
    \Biggl[
       \underbrace{\sum_{k=1}^{K} D_k \Delta \sigma_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
              \Warray{xyz\_DivSum$_{k=1}$}
              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
     + \overbrace{\sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_k\Biggl]}^{
       \Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=1}$}
       }
    - \Biggl[
       \underbrace{\sum_{l=k}^{K} D_l \Delta \sigma_l}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
              \Warray{xyz\_DivSum$_{k=l}$}
              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
     + \overbrace{\sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_l\Biggl]}^{
       \Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=l}$}
       }
      \\
  & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
         \qquad (k = 2, \cdots, K), \\
  \dot{\sigma}_{1/2}   &= 0, \\
  \dot{\sigma}_{K+1/2} &= 0, 
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:仮温度の擾乱}
  \underbrace{T_{v,k}^{\prime}}_{\Warray{xyz\_TempVirEdd}}
    & =   \overbrace{T_{v,k}}^{
            \Warray{xyz\_TempVir} \
            \mbox{\scriptsize (\ref{eq:code-nongrav:仮温度})参照}
            \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
          }
        - \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}}, 
\end{align}
%
\vspace{-0.5cm}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:仮温度}
  \underbrace{T_{v,k}}_{\Warray{xyz\_TempVir}}
    & = \underbrace{T_k}_{\Iarray{xyz\_TempN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
        \bigg\{ 1 +
          \bigg( \underbrace{\Dinv{\epsilon_v}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{EpsV}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} - 1 \bigg)
          \underbrace{q_k}_{\Iarray{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!xyz\_QVapN}}
        \bigg\},
\end{align}
%
\vspace{-0.5cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{code-nongrav:温度鉛直補間の係数K}
   \underbrace{\hat{\kappa}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                 \CarrayS{z\_TInpCoefK}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
     & = \frac{   \sigma_{k-1/2}
                    \overbrace{\alpha_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                      \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
                + \sigma_{k+1/2}
                    \overbrace{\beta_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                      \Carray{z\_HydroBeta}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} }
              { \Delta \sigma_k                                  },  
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{code-nongrav:静水圧の式の係数α}
   \underbrace{\alpha_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                 \CarrayS{z\_HydroAlpha}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
     & = \biggl( \frac{ \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}} }
                     { \underbrace{\sigma_k}_{\Carray{z\_Sigma}} }
         \biggl)^{\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\kappa}^{\Carray{Kappa}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} -1,  
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-0.5cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{code-nongrav:静水圧の式の係数β}
   \underbrace{\beta_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                 \CarrayS{z\_HydroBeta}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
     & = 1 - 
         \biggl( \frac{ \sigma_{k+1/2} }
                      { \sigma_k }
         \biggl)^{\kappa},  
 \end{split}
\end{align}
%
\vspace{-1.0cm}
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{code-nongrav:κ=Ｒ／Ｃｐ}
   \underbrace{\kappa}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                 \CarrayS{Kappa}{DynamicsInit}}
     & = \frac{\overbrace{R}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{GasRDry}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}
              {\underbrace{C_p}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{CpDry}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}.
 \end{split}
\end{align}
%


\subsubsection*{温度の変化に関連する項の計算}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \Oarray{xyz\_TempUAdvN} &\equiv
   \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}}
     \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
   \overbrace{T^{\prime}_{k}}^{
             \Warray{xyz\_TempEdd} \
	     \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:温度の擾乱}参照}
	     } \\
 \Oarray{xyz\_TempVAdvN} &\equiv
   \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
   T'_k,
\end{align}
%
\begin{align}
% \Deqlab{code-nongrav:温度変化の項}
 \begin{split}
   \underbrace{ H_k }_{\Oarray{xyz\_TempNonLinearN}}
     & =   T^{\prime}_{k}
           \underbrace{D_{k}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_DivN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
           \\
     &\ \  - \; \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} 
             \Big[   \overbrace{\dot{\sigma}_{k-1/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
	         \big( 
                  \!\!\!\!\!
                    \underbrace{\hat{T^{\prime}}_{k-1/2}}_{
                    \!\!\!\!\Warray{xyr\_TempEdd} \ 
		    \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:半整数レベル温度の擾乱}参照}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
                  \!\!\!\!\!
                  - T^{\prime}_{k} \big)
               + \dot{\sigma}_{k+1/2} \big(T^{\prime}_{k}
                      - \hat{T^{\prime}}_{k+1/2}   \big) \Big]
               \\
     &\ \  - \; \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} 
             \Big[ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!  \underbrace{ \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k-1/2}}_{\!\!\!\!\!\!
                        \Warray{xyr\_SigDotNonG} \
		    \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:鉛直速度非重力波}参照}
			\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                    \big(  \overbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                        \Carray{r\_RefTemp} \
			\mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:半整数レベル基準温度}参照}
			\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} 
                     -  \underbrace{\overline{T}_{k}}_{
                        \!\!\!\Carray{z\_RefTemp}
			\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \big)
               + \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k+1/2} \big( \overline{T}_{k}  
                                         - \hat{\overline{T}}_{k+1/2} \big) \Big]
               \\
     &\ \  + \underbrace{\hat{\kappa}_k}_{
                      \!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_TInpCoefK}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
             \! T_{v,k} \!\!\! \overbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}^{
                    \Warray{xyz\_PiAdv}}
               \\
     &\ \  - \frac{
               \overbrace{\alpha_{k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                   \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
             }{\Delta \sigma_{k} }
             \biggl[
               T_{v,k}
               \underbrace{ \sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi 
                 \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}}
             + \overbrace{ T'_{v,k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                 \Warray{xyz\_TempVirEdd}}
               \underbrace{ \sum_{l=k}^{K}
                          D_l  \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_DivSum}}
             \biggr] \\
     &\ \  - \frac{
               \overbrace{\beta_{k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                   \Carray{z\_HydroBeta}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
             }{\Delta \sigma_{k} }
             \biggl[
               T_{v,k}
                \sum_{l=k+1}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l}
             + T'_{v,k} \sum_{l=k+1}^{K} D_l  \Delta \sigma_{l}
             \biggr] \\
     & 
   \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
   (k=1,\cdots,K-1), \\
%
%
%
  \overbrace{ H_K }^{\Oarray{xyz\_TempNonLinearN}  k=K} \!\!\!\!\!\!
     & =     T_{K}^{\prime} D_{K} \\
     & \quad
           - \frac{1}{\Delta \sigma_{K}} 
             \left[
                 \dot{\sigma}_{K-1/2} \left(   \hat{T^{\prime}}_{K-1/2} 
                                             - T^{\prime}_{K}   \right)
               + \dot{\sigma}_{K+1/2} \left(   T^{\prime}_{K}  
                                             - \hat{T^{\prime}}_{K+1/2} \right) \right]
                \\
     & \quad
           - \frac{1}{\Delta \sigma_{K}} 
             \left[
                 \dot{\sigma}^{\rm NG}_{K-1/2} \left( \hat{\overline{T}}_{K-1/2} 
                                         - \overline{T}_{K}   \right)
               + \dot{\sigma}^{\rm NG}_{K+1/2} \left( \overline{T}_{K}  
                                         - \hat{\overline{T}}_{K+1/2} \right) \right]
                \\
     & \quad
           + \hat{\kappa}_{K} T_{v,K} \Dvect{v}_{K} \cdot \nabla \pi
                \\
     & \quad
           - \frac{\alpha_{K}}{\Delta \sigma_{K} }
               \left[
                   T_{v,K} \Dvect{v}_{K} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{K}
                 + T'_{v,K} D_K  \Delta \sigma_{K}
               \right].
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:温度の擾乱}
  \underbrace{T_{k}^{\prime}}_{\Warray{xyz\_TempEdd}}
    & =   \overbrace{T_{k}}^{
            \Iarray{xyz\_TempN}
            \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
          }
        - \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}}, 
\end{align}
%
\vspace{-0.5cm}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:半整数レベル温度の擾乱}
  \underbrace{\hat{T}_{k-1/2}^{\prime}}_{\Warray{xyr\_TempEdd}\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
  = \left\{
 \begin{array}{ll}
   0 , & \text{($k = 1$)} \\
      \underbrace{a_k}_{\Carray{z\_TInpCoefA}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} T_k
    + \overbrace{b_{k-1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_TInpCoefB}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} T_{k-1}
    - \underbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2},}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{r\_RefTemp}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
    & \text{($k = 2, \cdots, K$)} \\
   0 , & \text{($k = K+1$)}
 \end{array} \right. 
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:半整数レベル基準温度}
 \underbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2}}_{
   \CarrayS{r\_RefTemp}{DynamicsInit}} \!\!\!\!\!
 = \left\{
 \begin{array}{ll}
   0 , & \text{($k = 1$)} \\
     a_k \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
   + b_{k-1} \overline{T}_{k-1}, & \text{($k = 2, \cdots, K$)} \\
   0 , & \text{($k = K+1$)}
 \end{array} \right. 
\end{align}
%
%\footnote{k=1 〜 K+1 ではなくk=0 〜 K の方が式との対応が良いが.
%(支配方程式およびその離散化文書も合わせて変更する必要あり. )}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:温度補間係数a}
   \underbrace{a_k}_{\CarrayS{z\_TInpCoefA}{DynamicsInit}}
   & =
     \overbrace{\alpha_k}^{
       \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
            \left[ 1- \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k-1} }
                        \right)^{\kappa} \right]^{-1},    \\
  \Deqlab{code-nongrav:温度補間係数b}
   \underbrace{b_k}_{\CarrayS{z\_TInpCoefB}{DynamicsInit}}
  & =
     \overbrace{\beta_k}^{
       \Carray{z\_HydroBeta}}
            \left[ \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k+1} } 
                     \right)^{\kappa} - 1 \right]^{-1}, 
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:鉛直速度非重力波}
  \underbrace{ \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k-1/2}}_{
        \Warray{xyr\_SigDotNonG}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} 
 = \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}}
     \underbrace{ \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi 
              \Delta \sigma_{k}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}\  k=1} 
   - \underbrace{ \sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi 
              \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}}  \, .
\end{align}

\subsubsection*{比湿の変化に関連する項の計算}
%
\vspace{-1cm}
%
\begin{align}
 \Oarray{xyz\_QVapUAdvN} &\equiv
   \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}}
   \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
      \overbrace{q_{k},}^{
             \Iarray{xyz\_QVapN}
	     } \\
 \Oarray{xyz\_QVapVAdvN} &\equiv
   \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\!
   q_k,
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-nongrav:水蒸気の変化Ｒ}
 \begin{split}
  \overbrace{R_1}^{\Oarray{xyz\_QVapNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!
      &=    q_1 \underbrace{D_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_DivN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
          - \frac{1}{2\underbrace{\Delta \sigma_1}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_DelSigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} 
                       \overbrace{\dot{\sigma}_{3/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
                         ( \!\!\!\!\!\!
                         \underbrace{q_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xzy\_QVapN}} \!\!\!\!\!\!
                                                      - q_{2} )          , \\
  R_k &=    q_k D_k 
          - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} 
              \left[   \dot{\sigma}_{k-1/2} ( q_{k-1} - q_k   )
                     + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( q_k     - q_{k+1} ) \right],
            \\
      &     \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
            (k=2,\cdots,K-1) \\
  R_K &=    q_K D_K 
          - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} 
                       \dot{\sigma}_{K-1/2} ( q_{K-1} - q_K   )          .
 \end{split}
\end{align}


\subsection{スペクトル時間変化項の計算}
\label{subsec:スペクトル時間変化項の計算}

サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid} から得られた値から
$\pi, \zeta, D, T, q$に関するスペクトル時間変化項を計算する.
この節でも変数の時間ステップは全て $t$ であるため,
簡単化のため $(t)$ の表記を省略する.
なお, 本来$\widetilde{[ \hspace{0.5cm} ]}^{m}_{n}$と記載されるべき
表記を, 変数名を記載する関係からチルダを省略して
$[ \hspace{0.5cm} ]^{m}_{n}$と記載する. 
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧変化の非重力波項}
  \underbrace{
     \left( \DP{\tilde{\pi}^{m}_{n}}{t} \right)^{\rm NG}
  }_{\Oarray{w\_DPiDtN}}
   =  \overbrace{
           \bigl[ \!\!\!\!\!\!\!
              \underbrace{ Z_{ij} }_{\Iarray{xy\_DPiDtN}}
           \!\!\!\!\!\!\!\bigr]^{m}_{n},
      }^{\Farray{w\_xy}}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:渦度変化の非重力波項}
 \begin{split}
  \overbrace{
     \biggl( \DP{\tilde{\zeta}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG}
  }^{\Oarray{wz\_DVorDtN}}
   &=
            \Dinv{a}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{{V_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_VAdvN}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                - \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{{U_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_UAdvN}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr),
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:発散変化の非重力波項}
 \begin{split}
  \overbrace{
     \biggl( \DP{\tilde{D}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG}
  }^{\Oarray{wz\_DDivDtN}}
   &=
            \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{{U_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_UAdvN}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                + \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{{V_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_VAdvN}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr) \\
   & \qquad
          - \underbrace{\Dinv{a^2}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{RPlanet**2}}
              \underbrace{
                \Biggl[
                  - n (n+1)
                    \overbrace{
                      \left\{   (\mbox{\sl KE})_{ijk} 
                             + \sum_{l=1}^{K} W_{ijkl} ( T_{v,ijl}-T_{ijl} ) \right\}
                    }^{\Iarray{xyz\_KinEngyN}}
                \Biggr]^{m}_{n}
              }_{\Farray{wa\_Lapla\_wa( wa\_xya( ... ) )}}
%          + {\cal D}(D_{k})
  , 
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:温度変化の非重力波項}
 \begin{split}
  \overbrace{
     \biggl( \DP{\tilde{T}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG}
  }^{\Oarray{wz\_DTempDtN}}
   &= - \Dinv{a}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{U_{ijk} T'_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_TempUAdvN}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
              \quad
              + \quad
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{V_{ijk} T'_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_TempVAdvN}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr) \\
   & \qquad
          + \underbrace{
              \bigl[ \!\!\!\!\!\!
                 \overbrace{H_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                   \Iarray{xyz\_TempNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\!\!
              \bigr]^{m}_{n}
            }_{\Farray{wa\_xya}}
%          + {\cal D}(T_{k}) 
%          + {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v})
  , 
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-nongrav:比湿変化の非重力波項}
 \begin{split}
  \overbrace{
     \biggl( \DP{\tilde{q}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG}
  }^{\Oarray{wz\_DQVapDtN}}
   &= - \Dinv{a}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{U_{ijk} q_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_QVapUAdvN}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
              \quad
              + \quad
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{V_{ijk} q_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Iarray{xyz\_QVapVAdvN}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr) \\
   & \qquad
          + \underbrace{
              \bigl[ \!\!\!\!\!\!
                 \overbrace{R_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                   \Iarray{xyz\_QVapNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\!\!
              \bigr]^{m}_{n}
            }_{\Farray{wa\_xya}}
  , 
 \end{split}
\end{align}
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