% 表題   dcpam5  乱流過程
%
% 履歴
%\Drireki{2010/09/01 竹広真一}
%\Drireki{2010/04/15 高橋芳幸}
%
%  \Dchapterhead
\section{数理表現}


鉛直拡散による運動方程式, 熱力学の式, 成分の式における変化率は
下のようにそれぞれ下のように書くことができる.
%
\begin{eqnarray}
  \left( \frac{ \partial u }{ \partial t } \right)_{VD}
    &=& - \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_{m,x}}{\partial z}
\\
    &=&   g \frac{\partial F_{m,x}}{\partial p}
\\
  \left( \frac{ \partial v }{ \partial t } \right)_{VD}
    &=&   g \frac{\partial F_{m,y}}{\partial p}
\\
  \left( \frac{ \partial T }{ \partial t } \right)_{VD}
    &=&   \frac{g}{C_p} \frac{\partial F_{h  }}{\partial p}
\end{eqnarray}
%
ここで, $F_{m,x}$, $F_{m,y}$, $F_{h}$ はそれぞれ東西方向, 南北方向の
運動量フラックス, 熱フラックス, 物質のフラックスであり, 下のように表現される.
%
\begin{eqnarray}
  F_{m,x} &=& - \rho K_m \frac{\partial u}{\partial z}
\\
  F_{m,y} &=& - \rho K_m \frac{\partial v}{\partial z}
\\
  F_{h}   &=& - C_p P \rho K_h \frac{\partial \theta}{\partial z}
\\
  \theta  &=& \frac{ T }{ P }
\\
  P       &=& \left( \frac{ p_{00} }{ p } \right)^\kappa
\\
  \kappa  &=& \frac{R}{C_p}
\end{eqnarray}
%
ただし, 下部境界ではバルク法を用いて
%
\begin{eqnarray}
  F_{m,x} &=& - \rho C_d |\Dvect{v}| u
\\
  F_{m,y} &=& - \rho C_d |\Dvect{v}| v
\\
  F_{h}   &=& - C_p P \rho C_h |\Dvect{v}| \left( \theta - \theta_s \right)
\end{eqnarray}
%
のように評価し, 上部境界では
%
\begin{eqnarray}
  F_{m,x} &=& 0
\\
  F_{m,y} &=& 0
\\
  F_{h}   &=& 0
\end{eqnarray}
%
とする. 
ここで, $p_{00}$ は基準圧力である. 
$K_m$, $K_h$ はそれぞれ運動量, 熱の拡散係数である. 
$C_d$, $C_h$ はそれぞれ運動量, 熱のバルク係数である. 

$K_m$, $K_h$ はそれぞれ Mellor and Yamada (1982) レベル 2 の方法に従って評価する.
これら拡散係数の具体的な評価方法については ... 節で述べる.
$C_d$, $C_h$ はそれぞれ Louis et al. (1982) の方法に従って評価する.
これらバルク係数の具体的な評価方法については ... 節で述べる.




\subsection{鉛直拡散係数}


鉛直拡散係数, $K_m$, $K_h$, $K_q$, は Mellor and Yamada (1974, 1982) レベル 2 の
方法に従って評価する.

Mellor and Yamada (1974, 1982) の方法に従うと, 拡散係数は下のように表現される. 
%
\begin{eqnarray}
  K_m &=& l^2 \left| \frac{\partial \Dvect{v}}{\partial z} \right| S_M
\\
  K_h &=& l^2 \left| \frac{\partial \Dvect{v}}{\partial z} \right| S_H
\end{eqnarray}
%
ここで, $l$ は混合距離であり, 
%
\begin{eqnarray}
  l = \frac{ k \left( z - z_s \right) }{ 1 + k \left( z - z_s \right) / l_0 }
\end{eqnarray}
%
の表式を用いる. ここで, $z_s$ は地表面高度であり, $l_0$ は支配混合距離である
\footnote
{
  dcpam の現在 (2010/02/20) のデフォルト値は $l_0 = 300$ m である.
}.
%
また, 
%
\begin{eqnarray}
  S_M = B_1^{\frac{1}{2}} \left( 1 - R_f \right)^{\frac{1}{2}} \tilde{S}_M^{\frac{1}{2}} \tilde{S}_M
\\
  S_H = B_1^{\frac{1}{2}} \left( 1 - R_f \right)^{\frac{1}{2}} \tilde{S}_M^{\frac{1}{2}} \tilde{S}_H
\end{eqnarray}
%
である. $\tilde{S}_H$, $\tilde{S}_M$ は, 
%
\begin{eqnarray}
  \tilde{S}_H = \frac{ \alpha_1 - \alpha_2 R_f }{ 1 - R_f }
\\
  \tilde{S}_M = \frac{ \beta_1 - \beta_2 R_f }{ \beta_3 - \beta_4 R_f } \tilde{S}_H
\end{eqnarray}
%
であり, ここで, $R_f$ はフラックスリチャードソン数であり, 
%
\begin{eqnarray}
  R_f = \frac{1}{2\beta_2} 
        \left\{ \beta_1 + \beta_4 R_i - \sqrt{ \left( \beta_1 + \beta_4 R_i \right)^2 
               - 4 \beta_2 \beta_3 R_i } \right\}
\end{eqnarray}
%
と書ける. ここで $R_i$ はリチャードソン数で
%
\begin{eqnarray}
  R_{i} &=& \frac{ \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z} }
                 {\left| \frac{ \partial \Dvect{v}}{\partial z} \right| }
\end{eqnarray}
%
である. 
また, 
%
\begin{eqnarray}
  \alpha_1 &=& 3 A_2 \gamma_1
\\
  \alpha_2 &=& 3 A_2 \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right)
\\
  \beta_1  &=& A_1 B_1 \left( \gamma_1 - C_1 \right)
\\
  \beta_2  &=& A_1 \left[ B_1 \left( \gamma_1 - C_1 \right) + 6 A_1 + 3 A_2 \right]
\\
  \beta_3  &=& A_2 B_1 \gamma_1
\\
  \beta_4  &=& A_2 \left[ B_1 \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) - 3 A_1 \right]
\\
  \gamma_1 &=& \frac{1}{3} - \frac{2 A_1}{B_1}
\\
  \gamma_2 &=& \frac{B_2}{B_1} + \frac{6 A_1}{B_1}
\end{eqnarray}
%
であり, 
$(A_1, B_1, A_2, B_2, C_1) = (0.92, 16.6, 0.74, 10.1, 0.08)$ である 
(Mellor and Yamada, 1982). 




\subsection{バルク係数}

バルク係数は, Louis et al. (1982) の方法に従って評価する.

\subsubsection{中立もしくは安定 ($R_i \ge 0$) な場合}

中立, もしくは安定 $R_i \ge 0$ な場合には, バルク係数は下のように評価する
%
\footnote{
なお, 元論文 (Louis et al., 1982) では下のように表記されている. 

\begin{eqnarray}
  C_d &=& a^2 \frac{1}{ 1 + 2 b R_i \frac{1}{ \sqrt{ 1 + d R_i } } }
\\
  C_h &=& a^2 \frac{1}{ 1 + 3 b R_i \sqrt{ 1 + d R_i } }
\\
  a   &=& \frac{k}{ \log\left( \frac{z+z_0}{z_0} \right) }
\end{eqnarray}
%
ここで, $b = 5$, $d = 5$ である. 
$a$ の $\log$ の中の分子が $z+z_0$ となっている理由は不明である. 

}. 
%
\begin{eqnarray}
  C_d &=& a^2 \frac{1}{ 1 + 10 R_i \frac{1}{ \sqrt{ 1 + 5 R_i } } }
\\
  C_h &=& a^2 \frac{1}{ 1 + 15 R_i \sqrt{ 1 + 5 R_i } }
\\
  a   &=& \frac{k}{ \log\left( \frac{z}{z_0} \right) }
\end{eqnarray}
%
ここで, $z$ は地面からの距離, $k$ はカルマン定数で $k = 0.4$, 
$z_0$ は粗度長である.
なお, $z$ が基準等ポテンシャル面 (地球の場合はジオイド) からの距離では
ないことに注意.

\subsubsection{不安定 ($R_i < 0$) な場合}

不安定 $R_i < 0$ な場合には, バルク係数は下のように評価する
%
\footnote{
なお, 元論文 (Louis et al., 1982) では下のように表記されている. 

\begin{eqnarray}
  C_d &=& a^2 \left( 1 - \frac{ 2 b R_i }{ 1 + 3 a^2 b c \sqrt{ \frac{z+z_0}{z_0} |R_i| } } \right)
\\
  C_h &=& a^2 \left( 1 - \frac{ 3 b R_i }{ 1 + 3 a^2 b c \sqrt{ \frac{z+z_0}{z_0} |R_i| } } \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $c = 5$ である. 
$a$ の $\log$ の中の分子が $z+z_0$ となっている理由は不明である. 

}. 
%
\begin{eqnarray}
  C_d &=& a^2 \left( 1 - \frac{ 10 R_i }{ 1 + 75 a^2 \sqrt{ \frac{z}{z_0} |R_i| } } \right)
\\
  C_h &=& a^2 \left( 1 - \frac{ 15 R_i }{ 1 + 75 a^2 \sqrt{ \frac{z}{z_0} |R_i| } } \right)
\end{eqnarray}

