% 表題   dcpam5  物理過程をまとめた連立一次方程式の構成
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% 履歴
%\Drireki{2010/09/01 竹広真一}
%\Drireki{2010/04/15 高橋芳幸}
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%  \Dchapterhead
\chapter{熱収支を統合した連立方程式の構成}


\section{離散表現}

\ref{sec:disc:heatbudget} 節において, 大気中の熱拡散における収支
について書いた. 
既に書いたように, これは必ずしも閉じておらず, 
適宜組み合わせて連立方程式を構成する必要がある. 


\subsection{惑星表面に 1 層モデルを用いる場合}

ここでは, 惑星表面に 1 層モデルを用いる場合を考える. 

このときは, 大気中の熱拡散の収支式 (\ref{eq:disc:heatdiff}),
惑星表面の 1 層モデルの熱収支式 (\ref{eq:disc:surface1layermodelheatbudget})
を同時に解く. 
これらの式をまとめると下のように整理される. 
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\begin{eqnarray}
    \Dvect{D} \Dvect{x}_{hq} = \Dvect{G}_{hq}
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
  \Dvect{x}_{hq} &=& \left( 
      T_s^{t+\Delta t} - T_s^{t-\Delta t}, \right. \nonumber
\\
      & & \left. 
      T_1^{t+\Delta t} - T_1^{t-\Delta t}, 
      T_2^{t+\Delta t} - T_2^{t-\Delta t},
      ..., 
      T_{k_{max}}^{t+\Delta t} - T_{k_{max}}^{t-\Delta t} \right), 
\\
    &=& \left( 
      \Delta T_s, \right. \nonumber
\\
      & & \left. 
      \Delta T_1, 
      \Delta T_2,
      ..., 
      \Delta T_{k_{max}} \right), 
\\
  \Dvect{G}_{hq} &=& \left(g_{s,0}, g_{h,1}, g_{h,2}, ..., g_{h,k_{max}} \right), 
\end{eqnarray}

\Dvect{D} の各成分は, $k = 0$ のとき, 
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\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{s,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{s,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{s,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
であり, $k \ge 1$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{a,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{a,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{a,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
である.

この連立一次方程式式を解いて求めた $\Dvect{x}_{hq}$ を用いて, 時刻 $n+1$ に
おける値を
%
\begin{eqnarray}
  T_k^{n+1} &=& T_k^{n-1} + \Delta T_k
\end{eqnarray}
%
のように計算するが, 惑星表面温度は
%
\begin{eqnarray}
  T_s^{n+1} &=& T_s^{n} + \Delta T_s
\end{eqnarray}
%
のように計算する
\footnote
{
この場合, ある意味でエネルギーは保存しないと考えられるが, このように
しないと安定に計算できない ... のかな?
}
. 

