% 表題   dcpam5-primitive 力学過程  水平離散化
%
% 履歴
%\Drireki{2010/04/15 高橋芳幸}
%\Drireki{2009/07/11 森川靖大}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}
%\Drireki{1993/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%

\section{離散表現: 水平離散化}

ここでは支配方程式を水平離散化する. 
水平方向の離散化はスペクトル変換法を用いる (Bourke, 1988). 
非線形項は格子点上で計算する. 
各方程式のスペクトル表現は以下のようになる. 
スペクトル表現に関する記号の意味については
\ref{sec:crd:水平スペクトル}節を参照されたい. 
その詳細については\Dchapref{座標系・変換公式に関する解説}
を参照せよ.
なお, 簡単化のため, 部分的に鉛直方向添字$k$を省略する. 

\subsection{連続の式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \DP{\tilde{\pi}_n^m}{t}
   & = - \sum_{k=1}^{K} (\tilde{D}_n^m)_k \Delta  \sigma_k 
       + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
               Z_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j.
\end{align}
%
ここで,
\begin{align}
 Z \equiv - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_k.
\end{align}

\subsection{運動方程式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \Deqlab{渦度方程式の水平離散化}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{\zeta}_n^m}{t} 
     & = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           im V_{A,ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
          \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)} 
          \\
     & \quad + 
           \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           U_{A,ij} (1-\mu_j^2)
           \DP{}{\mu}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
           \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)}
          \\ 
     & \quad + 
         \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{\zeta}_n^m ,
 \end{split} \\
%
 \Deqlab{発散方程式の水平離散化}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{D}_n^m}{t} 
     & = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           im U_{A,ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
          \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)} 
          \\
     & \quad -
           \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           V_{A,ij}
           (1-\mu_j^2) 
           \DP{}{\mu}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
           \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)} 
          \\
     & \quad -
          \frac{n(n+1)}{a^{2}} 
          \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           (\mbox{\sl KE})_{ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
           w_j
          \\ 
     & \quad +
           \frac{n(n+1)}{a^{2}} 
           ( \Phi_n^m + C_{p} \hat{\kappa}_k \bar{T}_k \pi_n^m ) 
           +  \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{D}_n^m .
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \tilde{\cal D}_{M,n}^m &= - K_{HD} \left[ 
                             \left\{ - \frac{n(n+1)}{a^{2}} \right\}^{N_D/2}
                             - \left( \frac{2}{a^2} \right)^{N_D/2}
                             \right]  
                           - \tilde{\gamma}_{M,k,n}^m ,
\\
 \tilde{\gamma}_{M,k,n}^m &= \left\{
 \begin{array}{ll}
   \tilde{\gamma}_{M,0,n}^m \left( \frac{\sigma_K}{\sigma_k} \right)^{N_{SL}}, & \text{($k \ge k_{SLlim}$)} \\
   0 . & \text{($k < k_{SLlim}$)}
 \end{array} \right.
\end{align}
%
% ここで, $k_{SLlim}$ はスポンジ層を適応する下限の $k$ である. 
% また, スポンジ層において東西平均成分も減衰させる場合には, 
% $\tilde{\gamma}_{M,0,n}^m = \gamma_{M,0}$ であり, 東西平均成分を
% 減衰させない場合には, 
% %
% \begin{align}
%  \tilde{\gamma}_{M,0,n}^m &= \left\{
%  \begin{array}{ll}
%    \gamma_{M,0}, & \text{($m \ne 0$)} \\
%    0           , & \text{($m = 0$)}
%  \end{array} \right.
% \end{align}
% %
% である. 

なお, dcpam では, $K_{HD}$ は, 打ち切り波数成分の減衰時定数 (1/e になる時間), 
$\tau_{HD}$, を用いて与える
\footnote
{
  正確には, 温度擾乱の減衰時定数である. ... からも明らかのように, 運動方程式の
  水平拡散項には, 全角運動量を保存するための項が加わるため, $\tau_{HD}$ は
  1/e になる時間にはならない.
}. 
つまり, 
%
\begin{align}
  K_{HD} &= \frac{1}{\tau_{HD}} \left\{ \frac{ N \left( N + 1 \right) }{ a^2 } \right\}^{-N_D/2}
\end{align}
%
である. 


\subsection{熱力学の式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{T}_n^m}{t}
  & = - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         im U_{ij} T'_{ij}
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
        \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)} 
        \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         V_{ij} T'_{ij}
         (1-\mu_j^2) 
         \DP{}{\mu}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
         \frac{w_j}{a (1-\mu_j^2)} 
        \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         \left( H_{ij} + \frac{Q_{ij}}{C_{p}} \right)
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
         w_j
        \\ 
  & \quad
      + \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{T}_n^m
        \\ 
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         {\cal D}'_{ij}(\Dvect{v})
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
         w_j .
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
\tilde{\cal D}_{H,n}^m 
  &= - K_{HD} \left\{ - \frac{n(n+1)}{a^{2}} \right\}^{N_D/2}
     - \tilde{\gamma}_{H,k,n}^m .
\\
 \tilde{\gamma}_{H,k,n}^m &= \left\{
 \begin{array}{ll}
   \tilde{\gamma}_{H,0,n}^m \left( \frac{\sigma_K}{\sigma_k} \right)^{N_{SL}}, & \text{($k \ge k_{SLlim}$)} \\
   0 , & \text{($k < k_{SLlim}$)}
 \end{array} \right.
\\
 \tilde{\gamma}_{H,0,n}^m &= \left\{
 \begin{array}{ll}
   \gamma_{H,0}, & \text{($m \ne 0$)} \\
   0           , & \text{($m = 0$)}
 \end{array} \right.
\end{align}
%
である. 

