　Fluid Dynamics in Earth and Planetary Sciences (FDEPS)
　Second FDEPS Workshop 
　Dec 4 - 8, 1999
　Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo

Lecture 2. The pair separation problem and line-element stretching
W. R. Young

2000 年 12 月 07 日

OHP 資料一覧

はじめに
- Batchelor 1952 では線素は指数的に増加 $l=l_0\exp(\gamma t)$
- 一方で円状においた流れでの例では細長くなっていっていた.
- 近づいていく方向もある. その向きに gradient が指数的に増大することになる.
- lecture 1 での分散の式では, 分子拡散による分散のシンクが結構だいじ. これがあることで無限に gradient がきつくなることを妨げる.
簡単な流れによる引き延ばしの例
- A straining flow I
  - x 方向 stretching, y 方向 contracting な流れ
  - 分子拡散がないなら, 初期状態の濃度から簡単に濃度変化の分布を計算できる.
- A straining flow II
  - 分子拡散があるときは定常解が存在する.
  - 階段状の初期値からスタートすると, $l^2/\kappa = \alpha^{-1}$ の時間で定常に達する.
  - $l= \sqrt{\kappa/\alpha}$ が大事なパラメター(Batchelor length): 拡散と移流がバランスするスケール.
  - 初期にはスケールが拡散距離 $L \sim \sqrt{\kappa t}$ で発達
  - やがて Batchelor length に達するとバランスするようになるので
    $L \sim \sqrt{\kappa t} \sim \sqrt{\kappa/\alpha} \longrightarrow t = 1/\alpha$ が定常に達するまでの時間.
  - 解くための方法 : Lagrangian 変数に変換する. これはこの流れに限らず stirring の問題に有効.
- Stirring versus mixing
  - $c(x,y,0)= \cos kx \cos my$
  - $c(a,b,\tau=0)= \cos ka \cos ma$
  - $c(a,b,t)= A(\tau)\cos ka \cos ma$ を式に代入すると $A(\tau)$ に関する式が得られる.
  - $\kappa=0$ -> A=1 で一定 -> 濃度分布が y 方向にきつくなって行く
  - $\kappa\neq 0$ -> A が分子粘性により減衰 -> とある時間より $\mid\Dgrad c\mid^2$ が減少し始める(グラフ)
- Random stretching
  - blob の引き延ばしは, その中心に対して局所的に展開して計算してやれば良い.
  - 線素の時間変化の式 :
  - 局所的なながれ関数は $\psi \sim a/2 x\^2 + b xy + c/2 y^2$
  - ac < b² の場合には, Simple case I に対応
  - ac > b²の場合には単にまわっているだけ.
  - したがって ac-b² の符号でもって引き延ばしがおこるかどうかを判定できる(Okubo-Weiss criterion)
  - しかしながらこの Okubo-Weiss criterion は "naive". 定常ならば OK (a,b,c are constant)だが非定常性が入るとわからん.
- Are hyperbolic points essential for ? The answer is NO!
  - Realingnment : 線素を指数的な引き延ばしに都合のいい方向に向きを曲げる.
Multiplicative random variables ～Intermittency and long-normality
- A straining flow I
  - most probable value (もっとも起こりうる値)と期待値は異なる.
- A straining flow I
  - 確率変数のかけ算の結果としてできる値の統計を調べる際にその対数をとって調べることが良く行われる.
  - 対数をとるとかけ算が足し算になるので, 確率変数の対数に対して中心極限定理(CLT: Center Limit Theorem)を適用できる.
  - 対数の値の期待値を求めるならば OK. しかしながらもとの値の期待値を求める際には注意が必要. 正規分布の裾野の誤差が大きく反映すると, 中心極限定理を用いての計算が正しくなくなる.
  Intermittency は, $\langle X \rangle, \langle X^2 \rangle$ などの平均値が非常にまれな確率で起きる現象での大きな値に支配されてしまっていることを意味する.