Subsections

B. 乱流パラメタリゼーション

1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

661#661 19#19 662#662 (197)

と与えられる. 663#663 は混合距離で, 269#269 とする. 211#211197#197 はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, 664#664 は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり,
665#665 19#19 666#666 (198)
202#202 19#19 667#667 (199)
668#668 19#19 669#669 (200)

である. ここで
670#670 19#19 671#671 (201)
672#672 19#19 673#673 (202)

である. 1.5 次のクロージャーでは速度の 2 次相関量を以下のように表す.
674#674 (203)

また, 176#176 の場合,
675#675 19#19 676#676 (204)
677#677 19#19 678#678 (205)
679#679 19#19 680#680 (206)

と表し, 681#681 の場合,
675#675 19#19 682#682 (207)
677#677 19#19 683#683 (208)
679#679 19#19 684#684 (209)

と表す. ここで 247#247 は運動量に対する渦粘性係数, 248#248 はサブグリッ ドスケールの乱流運動エネルギー, 255#255 は渦拡散係数, 256#256 は相当 温位である. 247#247, 255#255248#248 を用いて以下のように与えられる.
685#685 19#19 686#686 (210)
687#687 19#19 688#688 (211)

パラメータ 689#689 はともに 0.2 である.

1 乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在しない場合)

Klemp and Wilhelmson (1978) ではB:dEdtについて, 「Deardorff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式B:dEdt, レイノルズ応力1, レイノルズ応力 2 - レイノルズ応力4 の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. またサブグリッドスケール内での放射の影響は考慮しない. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

690#690 691#691 692#692  
  691#691 693#693  
  19#19 694#694  
  691#691 695#695 (212)


696#696 691#691 697#697  
  19#19 698#698 (213)

および, MY1974:eq(7)において 699#699 とした式
700#700 691#691 701#701  
  19#19 702#702 (214)

である. ここで

703#703


で, 704#704, 705#705 はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数, 706#706 は重力加速度ベ クトルの第 707#707 成分である.

MY1974:eq(7)およびMY1974:eq(8)に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

  1. 708#708 (圧力による運動エネルギーの再分配)


    709#709

    とおく. ここで 710#710 は乱流の特徴的なスケール, 212#212 は無次元の定数である.

  2. 711#711 (圧力による熱エネルギー再分配)

    1. の導出と同様の考察によって,

    712#712

    とおく. ここでの乱れのスケールは 713#713 とする.

  3. 714#714 (粘性による散逸)

    粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて 715#715 のみ で表現する.

    716#716

    ここで 717#717 は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

  4. 718#718


    719#719

    とおく.

  5. 720#720

    速度変動による 720#720 と考え次のようにおく.

    721#721


    ここで 722#722 はそれぞれの特徴的スケールである.

  6. 723#723 (圧力変動による拡散)


    724#724

    とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  7. 725#725 (コリオリ項)


    726#726


    727#727

    とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  8. 728#728


    719#719 (215)

    とする.

以上の近似をMY1974:eq(7), MY1974:eq(8), qの予報式 に対して行うと, 以下の式を得る.
729#729 730#730 731#731  
  19#19 732#732  
    733#733 (216)
734#734 730#730 735#735  
  19#19 736#736 (217)
737#737 691#691 738#738  
  19#19 739#739 (218)

ここで

740#740

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である.

MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)に対し, さらに以下の近似を加える.

これらの近似を行うと, 式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)は
744#744 19#19 745#745 (219)
746#746 19#19 747#747 (220)
737#737 19#19 748#748 (221)

となる. MY1974:Level1(1)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの 749#749 の式である. MY1974:Level1(2)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の 750#750 の式で 751#751 の項を無視したものに対応する. MY1974:Level3(1) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの 752#752 の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する.

雲が存在しない場合, 753#753, 754#754 は保存量であるので, 753#753, 754#7541#1 と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って, 750#750 を導いたのと同様 の近似を行なうことにより, 次式を得る.

755#755 19#19 756#756 (222)
757#757 19#19 758#758 (223)

但し 759#759, 760#760 は各物理量に関する乱れのスケールである.

761#761 とし, 715#715248#248 で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

744#744 19#19 762#762 (224)
763#763 19#19 764#764  
  19#19 765#765 (225)
661#661 19#19 766#766 (226)

となり, 乱流エネルギーの式は散逸項の係数を除きB:dEdtに一致 する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である.

2 乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在する場合)

飽和湿潤過程における熱力学的保存量は 256#256, 754#754 である. そこで浮力項の中の 103#103, 767#767 768#768, 769#769 で表す.

飽和状態における物理量には * 印を付すことにする. 飽和比湿 770#770 を基本場近傍で Taylor 展開すると,

771#771 392#392 772#772  
  19#19 773#773 (227)

となる. 比湿の定義より,
774#774 19#19 775#775  
  19#19 776#776  
  19#19 777#777  
  19#19 778#778 (228)
779#779 19#19 780#780  
  19#19 781#781 (229)

が成り立つ. 但し moistturb2 の変形の途中で Clausius-Clapeyron の式
782#782     (230)

を用いた. moistturb2, moistturb3 を moistturb1 に代入す ると,
783#783 19#19 784#784 (231)

となる. ここで
785#785 (232)

となることに注意すると,
783#783 19#19 786#786  
  19#19 787#787 (233)

となる. moistturb6 より
788#788 19#19 789#789 (234)

が得られる. B.1.1 節同様, 790#790 とすると,
788#788 19#19 791#791 (235)

となる. 相当温位の定義より,
792#792 392#392 793#793  
  19#19 794#794  
  19#19 795#795 (236)

となる. moistturb9 より
796#796 19#19 797#797 (237)

となる. moistturb8, moistturb10 より
798#798     (238)

768#768, 769#769 は保存量なので, B.1.1 節での 1#1 と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って,

799#799 19#19 800#800 (239)
757#757 19#19 801#801 (240)

を得る. 但し 802#802, 803#803 は各物理量に関する乱れのスケールである.

804#804 とし, 715#715248#248 で表すと,

744#744 19#19 762#762 (241)
763#763 19#19 764#764  
  19#19 805#805  
    806#806  
    807#807 (242)
661#661 19#19 808#808 (243)

となる.

3 3 次元の場合の表現

3 次元の場合のB:dEdt式の各項を書き下す. 先ず浮力による乱流エネルギー生成項を書き下す. 雲が存在しない場合,

665#665 19#19 809#809  
  19#19 810#810  
  19#19 811#811 (244)

である. また雲が存在する場合,
665#665 19#19 809#809  
  19#19 810#810  
  19#19 812#812  
    266#266  
    813#813 (245)

となる. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 197#197 は,
202#202 19#19 814#814  
  19#19 815#815  
  19#19 816#816  
  19#19 817#817  
    818#818  
    819#819  
  19#19 820#820  
    821#821  
    822#822  
  19#19 823#823  
    824#824  
    825#825 (246)

である. 乱流エネルギー拡散項 664#664 は,
668#668 19#19 826#826  
  19#19 827#827 (247)

である. 以上の B, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで雲が存在しない場合の乱流エネルギーの式を得る.
661#661 19#19 828#828  
    829#829  
    824#824  
    262#262  
    830#830  
    831#831 (248)

B:E を用いて 832#832248#248 で書き換えると, 以下の式が得 られる.
257#257 19#19 258#258  
    259#259  
    260#260  
    261#261  
    262#262  
    263#263  
    833#833 (249)

また B-moist, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで雲が存在する場合の乱流エネルギーの式を得る.
661#661 19#19 812#812  
    266#266  
    834#834  
    829#829  
    824#824  
    262#262  
    830#830  
    835#835 (250)

B:E を用いて 832#832248#248 で書き換えると, 以下の式が得 られる.
257#257 19#19 258#258  
    265#265  
    266#266  
    267#267  
    260#260  
    261#261  
    262#262  
    263#263  
    833#833 (251)

Yamashita Tatsuya 2010-04-21