\underline{灰色大気の放射平衡目次 1}

灰色大気の放射平衡

小高正嗣

97/01/25

目次

1 灰色大気 2 2 放射束密度に関する伝達方程式 3 3 灰色大気の伝達方程式 4 4 放射平衡解 5 5 参考文献 7

\underline{2  灰色大気の放射平衡  1 灰色大気}

1 灰色大気

吸収係数 κ_{ν} が波長によらず一定の値をもつような場合, 放射伝達方程式を解くことは更に容易になる. このような設定をした大気を灰色大気とよぶ. 例えば次のような光学的性質をもった大気がそれに対応する.

• 太陽放射に関しては「透明」 . 地表から大気は加熱される.

• 地表からの熱放射については, その波長領域について温度圧力に依存しない一様な吸収率で吸収する.

実際は図 1 にあるように赤外領域で一様な吸収が起きているわけではない. しかし, 下層大気では多くの吸収帯が重なっていることから, このような近似は現実からそれほど外れてはいない.

図 1: (a)5750K(太陽の表面温度) と 245K(惑星大気の平均温度) の黒体輻射の波長-エネルギー曲線. 図は積分して面積が等しくなるように書いてある. (b) 晴天時における大気の鉛直方向での吸収. 主要大気成分の吸収バンドが示されている (Houghton, 1986)

\underline{灰色大気の放射平衡  2 放射束密度に関する伝達方程式  3}

2 放射束密度に関する伝達方程式

単位波長あたりの上向き及び下向き放射束密度は, 以下のように定義される.

F_{ν}^{↑} = ∫_{2π} I_{ν}^{↑}(θ) cos θ dω  (1)
F_{ν}^{↓} = ∫_{2π} I_{ν}^{↓}(ψ) cos ψ dω  (2)

放射強度 I_{ν}^{↑}(θ), I_{ν}^{↓}(ψ) に角度方向に平均した値 I_{ν}^{↑}, I_{ν}^{↓}

I_{ν}^{↑} = ∫_{2π} I_{ν}^{↑} \frac{dω}{2π} , I_{ν}^{↓} = ∫_{2π} I_{ν}^{↓} \frac{dω}{2π}

を用いると,

F_{ν}^{↑} = I_{ν}^{↑} ∫_{2π} cos θ dω
= 2πI_{ν}^{↑} ∫_{0}^{π/2} cos θ sin θ dθ = πI_{ν}^{↑}  (3)
F_{ν}^{↓} = ∫_{2π} I_{ν}^{↓}(ψ) cos ψ dω
= 2πI_{ν}^{↓} ∫_{0}^{π/2} cos ψ sin ψ dψ = πI_{ν}^{↓}  (4)

となる. よって角度方向に平均した放射伝達方程式

\frac{2}{3} \frac{dI_{ν}^{↑}}{dτ_{ν}} = I_{ν}^{↑} − B_{ν}
\frac{2}{3} \frac{dI_{ν}^{↓}}{dτ_{ν}} = −I_{ν}^{↓} + B_{ν}

の両辺に π をかけることで, 放射束密度の方程式にすることができる. すなわち,

\frac{2}{3} \frac{dF_{ν}^{↑}}{dτ_{ν}} = F_{ν}^{↑} − πB_{ν}  (5)
\frac{2}{3} \frac{dF_{ν}^{↓}}{dτ_{ν}} = −F_{ν}^{↓} + πB_{ν}  (6)

解は

F_{ν}^{↑}(τ_{ν}) = F_{ν}^{↑}(τ_{νb})e^{\frac{3}{2} (τ_{ν}−τ_{νb})} + ∫_{τ_{ν}}^{τ_{νb}} \frac{3}{2}πB_{ν}e^{− \frac{3}{2} (τ′_{ν}−τ_{ν})} dτ′_{ν}  (7)
F_{ν}^{↓}(τ_{ν}) = F_{ν}^{↓}(0)e^{− \frac{3}{2} τ_{ν}} + ∫_{0}^{τ_{ν}} \frac{3}{2}πB_{ν}e^{\frac{3}{2} (τ′_{ν}−τ_{ν})} dτ′_{ν}  (8)

となる.

/housha-heikou/doc/grey.tex  97/01/25(小高正嗣)

\underline{4  灰色大気の放射平衡  3 灰色大気の伝達方程式}

3 灰色大気の伝達方程式

灰色大気の場合吸収係数は波長によらないので, 放射束密度に関する伝達方程式 (5), (6) は波長について簡単に積分することができる. (5), (6) を全波長で積分して,

\frac{2}{3} \frac{dF^{↑}}{dτ} = F^{↑} − πB  (9)
\frac{2}{3} \frac{dF^{↓}}{dτ} = −F^{↓} + πB  (10)

を得る. ただし,

F^{↑} = ∫_{0}^{∞} F_{ν}^{↑} dν  (11)
F^{↓} = ∫_{0}^{∞} F_{ν}^{↓} dν  (12)

は波長積分された放射束密度であり, B = σT^{4}/π である. 解は,

F^{↑}(τ) = F^{↑}(τ_{b})e^{\frac{3}{2} (τ−τ_{b})} + ∫_{τ}^{τ_{b}} \frac{3}{2}πBe^{− \frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (13)
F^{↓}(τ) = F^{↓}(0)e^{− \frac{3}{2} τ} + ∫_{0}^{τ} \frac{3}{2}πBe^{\frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (14)

または積分部分を書き直して,

F^{↑}(τ) = (F^{↑}(τ_{b}) − πB(τ_{b}))e^{\frac{3}{2} (τ−τ_{b})} + πB(τ) + ∫_{τ}^{τ_{b}} \frac{dπB(τ′)}{dτ′}e^{− \frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′ (15)
F^{↓}(τ) = (F^{↓}(0) − πB(0))e^{− \frac{3}{2} τ} + πB(τ) − ∫_{0}^{τ} \frac{dπB(τ)}{dτ′}e^{\frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (16)

となる. さて放射源として地表からの赤外放射のみを考える場合, 大気上端での下向き放射束密度は 0, 大気下端での上向き放射束密度は πB(τ_{b}) に等しいので, (15), (16) は以下のようになる.

F^{↑}(τ) = πB(τ) + ∫_{τ}^{τ_{b}} \frac{dπB(τ′)}{dτ′}e^{− \frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (17)
F^{↓}(τ) = πB(τ) − πB(0)e^{− \frac{3}{2} τ} − ∫_{0}^{τ} \frac{dπB(τ)}{dτ′}e^{\frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (18)

\underline{灰色大気の放射平衡  4 放射平衡解  5}

4 放射平衡解

エネルギー方程式

ρc_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{d}{dz} (F^{↓} − F^{↑})  (19)

より, 放射平衡にある大気の正味放射束密度 F^{↑} − F^{↓} は, 場所によらず一定値をとる. よってこれを

F^{↑}(τ) − F^{↓}(τ) = F^{↑}(0) ≡ F_{top}^{↑}

とする. 放射伝達方程式 (9), (10) から

\frac{2}{3} \frac{d(F^{↑} − F^{↓})}{dτ} = F^{↑} + F^{↓} − 2πB  (20)
\frac{2}{3} \frac{d(F^{↓} + F^{↓})}{dτ} = F^{↑} − F^{↓} = F_{top}^{↑}  (21)

が得られる. (20) より F^{↑} + F^{↓} = 2πB なので, これを (21) へ代入すると,

\frac{2}{3} \frac{d2πB}{dτ} = F_{top}^{↑}  (22)

となる. 大気上端では F^{↑} + F^{↓} = F_{top}^{↑} = 2πB であることを考慮すると, (22) を積分して大気の温度構造を決める式

πB = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}(\frac{3}{2}τ + 1)  (23)

が得られる. また,

F^{↑} = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}(\frac{3}{2}τ + 2)  (24)
F^{↓} = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}(\frac{3}{2}τ)  (25)

である. p_{s} =10^{5}Pa, κ =10^{−4}kg/m^{3}, g =10 m/sec, 大気上端での上向き放射束密度を 240W/m^{2} としたときの結果を図 2 に示す.

\underline{6  灰色大気の放射平衡  4 放射平衡解}

{図 2: (上) 光学的深さと放射束密度の関係. 点線は下向き, 実線は上向き, 太い実線は黒体 \atop の放射束密度である. (下) 温度と圧力の関係.}

\underline{灰色大気の放射平衡  5 参考文献  7}

5 参考文献

Ambratsumyan, V.A.,1958: Theoretical Astrophysics. Pergamon Press, Houghton, J.T., 1986: The Physics of Atmosphere, 2nd ed. Cambridge,pp.271.